Palmer線性化定理的一個改進(jìn)

申艷楓

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華321004)

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Palmer線性化定理的一個改進(jìn)

申艷楓

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華321004)

改進(jìn)了Palmer線性化定理，減弱了原來Palmer線性化定理的條件.

部分指數(shù)型二分性；線性系統(tǒng)；拓?fù)涞葍r

0 引 言

考慮非自治微分方程

(1)

我們假設(shè)

|U(t)U-1(s)|< kexp-α(t -s) (t ≥s)

(2)

(3)

這里k,α都是大于零的常數(shù)．

當(dāng)線性部分具有指數(shù)型二分性時，已經(jīng)有許多學(xué)者討論了其線性化的問題[1-18].1973年,K.J.Palmer將Hartman定理推廣到非自治系統(tǒng)[1-2]．此外，林發(fā)興，史金麟教授等也研究了x′=A(t)x，y′=B(t)y部分具有指數(shù)型二分性條件下線性化定理[3-9]，但是史金麟教授只討論了

(4)

當(dāng)y′=B(t)y沒有線性項時的線性化．所以本文討論

(5)

其中y′=B(t)y有線性項g(t，x)時的線性化．

1 主要定理

定理1 設(shè)(2)，(3)式成立，又設(shè)對任意x1，x2∈n1，y1，y2∈n2，t∈有

(6)

(7)

(8)

(9)

這里μ，γ，M是大于零的常數(shù)，若

2kγ<α

(10)

(11)

的解．

(ⅱ)當(dāng)x→∞，H(t，x)→∞一致的成立．

(ⅲ)設(shè)H-1(t，·)=G(t，·)，則v→∞,G(t，v)→∞一致地成立．

(ⅳ)設(shè)u(t)是系統(tǒng)(1)的解，則H(t，u(t))是系統(tǒng)(9)的解，v(t)是系統(tǒng)(9)的解，則G(t，v(t))是系統(tǒng)(1)的解．

定理的證明關(guān)鍵是構(gòu)造同胚函數(shù)．首先證明一些引理．

引理1 對任意固定的(τ，ζ，η)，系統(tǒng)

Z′=A(t)Z-f(t,X(t,τ,ζ,η),Y(t,τ,ζ,η))

(12)

有惟一有界解h(t，(τ，ξ，η)，且|h(t，(τ，ξ，η))|≤kμα-1.

證明 對任意給定的(τ，ξ，η)取

直接微分上式易證Z0(t)是(10)的一個解．利用條件(2)，(4)可得

所以Z0(t)是(10)的有界解．由于對于給定的(τ，ξ，η)，系統(tǒng)(10)是線性非齊次系統(tǒng)．線性部分Z′=A(t)Z由于具有指數(shù)型二分性，所以除零解以外沒有其他有界解．因此(10)的有界解是惟一的．這個有界解自然與(τ，ξ，η)有關(guān)，因此可記為h(t，(γ，ξ，η))，且|h(t，(γ，ξ，η))|≤kμα-1，證畢．

Z′=A(t)Z+f(t,x1(t)+Z,y1(t))-f(t,x1(t)+Z,y1(t))

(13)

有惟一的有界解Z=0．

證明 顯然Z=0是系統(tǒng)(12)的一個有界解．現(xiàn)在證明有界解的惟一性．設(shè)Z1(t)是系統(tǒng)(12)的一個有界解，則

同引理1的推理可得

又根據(jù)條件(2)，(6)，(8)可得

從而可得Z1(t)=0．證畢．

證明 設(shè)

我們可以證明

(14)

(15)

(16)

又由(12)，(14)可得

現(xiàn)在引進(jìn)函數(shù)

H1(t,x,y)=x+h(t,(t,x,y))

(17)

(18)

(19)

(20)

證明 由于用(t，X1(t，τ，ξ，η)，Y1(t，τ，ξ，η))代替系統(tǒng)(10)中的(τ，ξ，η)，系統(tǒng)(10)不會發(fā)生任何變化，

所以有

h(t,(t,X1(t,τ,ξ,η),Y1(t,τ,ξ,η)))=h(t,t0,x10,y10)

H1=(t,(t,X1(t,t0,x10,y10),X2(t,t0,x10,y10))=X1(t,t0,x10,y10)+h(t,(t0,x10,y10)))

H2(t,X1(t,t0,x10,y10),X2(t,t0,x10,y10))=X2(t,t0,x10,y10)+

上式左端記為H1(t)，微分上式得

H1(t)′=A(t)X1(t,t0,x10,y10)+f(t,X1(t,t0,x10,y10),Y1(t,t0,x10,y10))+

A(t)h(t,(t0,x10,y10))-f(t,X1(t,t0,x10,y10),X2(t,t0,x10,y10))=A(t)H1(t)

H2(t)′=B(t)Y2(t,t0,x10,y10)+g(t,X1(t,t0,x10,y10))+

證明

(t,Y1(t,t0,y10,y20),Y2(t,t0,y10,y20)),G2(t,Y1(t,t0,y10,y20),Y2(t,t0,y10,y20))))ds

將上式左端記為G1(t)，微分上式得

Y2(t,t0,y10,y20)),G2(t,Y1(t,t0,y10,y20),Y2(t,t0,y10,y20))))ds+

f(t,(t,G1(t,Y1(t,t0,y10,y20),Y2(t,t0,y10,y20)),G2(t,Y1(t,t0,y10,y20),

Y2(t,t0,y10,y20))))ds=A(t)G1(t)+f(t,G1(t),G2(t))

G2=(t,Y1(t,t0,y10,y20),Y2(t,t0,y10,y20))=Y2(t,t0,y10,y20)-

將上式左端記為G2(t)，微分上式得

Y2(t,t0,y10,y20)))ds+g(t,(t,G1(t,Y1(t,t0,y10,y20),Y2(t,t0,y10,y20)))=

B(t)G2(t)+g(t,G1(t))

引理5 對于任意y1∈n1,y2∈n2,t∈恒有

是系統(tǒng)(1)的一個解．又由引理(4)

所以J(t)是Z′=A(t)Z的一個解．由引理3可得

|J(t)|=|H1(t,G1(t,y1(t),y2(t)),G2(t,y1(t),y2(t)))-y1(t)|≤

|H1(t,G1(t,y1(t),y2(t)),G2(t,y1(t),y2(t)))-G1(t,y1(t),y2(t))|+

|G1(t,y1(t),y2(t))-y1(t)|≤2kμα-1+2kμα-1=4kμα-1

此外

H2(t,G1(t,y1(t),y2(t)),G2(t,y1(t),y2(t)))-y2(t)=G2(t,y1(t),y2(t))+

所以H2(t，G1(t，y1(t)，y2(t))，G2(t，y1(t)，y2(t)))=y2(t)，綜上引理得證．

引理6 對于任意x1∈n1,x2∈n2，t∈恒有

是系統(tǒng)(9)的一個解．又由引理(5)

另外

G2(t,H1(t,x1(t),x2(t)),H2(t,x1(t),x2(t)))-x2(t)=H2(t,x1(t),x2(t))-

所以G2(t，H1(t，x1(t)，x2(t))，H2(t，x1(t),x2(t)))=x2(t)，綜上引理得證．

所以J(t)是Z′=A(t)Z的一個解．由引理3可得

|J(t)|=|H1(t,G1(t,y1(t),y2(t)),G2(t,y1(t),y2(t)))-y1(t)|≤

|H1(t,G1(t,y1(t),y2(t)),G2(t,y1(t),y2(t)))-G1(t,y1(t),y2(t))|+

|G1(t,y1(t),y2(t))-y1(t)|≤2kμα-1+2kμα-1=4kμα-1

此外

H2(t,G1(t,y1(t),y2(t)),G2(t,y1(t),y2(t)))-y2(t)=G2(t,y1(t),y2(t))+

所以H2(t，G1(t，y1(t)，y2(t))，G2(t，y1(t)，y2(t)))=y2(t)，綜上引理得證．

驗證(ⅰ)由引理5與引理6可推知，對任意固定的t，H(t，·)是雙射，且H-1(t，·)=G(t，·)．

驗證(ⅱ)由引理1和引理3得|H1(t，x)-x|=|h(t，(t，x))|≤kα-1μ．所以當(dāng)x→∞時H1(t，x)→∞與H2(t，x)→∞，且均關(guān)于t是一致的，所以H(t，x)是一致連續(xù)函數(shù)．

驗證(ⅲ)由引理1和引理3得，當(dāng)y→∞時G1(t，y)→∞與G2(t，y)→∞,且均關(guān)于t是一致的．所以G(t，y)是一致連續(xù)函數(shù)．

驗證(ⅳ)由引理4和引理5立得．

由上所述，系統(tǒng)(1)拓?fù)涞葍r于(9)，定義證畢．

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[責(zé)任編輯：王軍]

The improvement of Palmer linearization theorem

SHEN Yanfeng

(School of Mathematics and Information Engineering,Zhejiang Normal University,Jinhua 321004,China)

This paper improved the Palmer linearization theorem. We reduced the conditions in Palmer linearization theorem to more conservative conditions.

exponential dichotomy; linear system; topological equivalence

2016-03-17

浙江省自然科學(xué)基金(LY15A010022)資助項目

申艷楓(1991—)，女，河北承德人，浙江師范大學(xué)碩士生，主要從事常微分方程與動力系統(tǒng)的研究.

O241

A

1672-3600(2016)12-0016-06