直接離散GM(1,1)模型參數(shù)估計(jì)的最小一乘法

周德強(qiáng)

(長江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

直接離散GM(1,1)模型參數(shù)估計(jì)的最小一乘法

周德強(qiáng)

(長江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

研究表明直接離散GM(1,1)模型對(duì)嚴(yán)格服從非齊次指數(shù)規(guī)律的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行建模,所得到的模型具有完全相同的指數(shù)規(guī)律,而當(dāng)數(shù)據(jù)為近似非齊次指數(shù)規(guī)律時(shí),直接離散GM(1，1)模型擬合效果較差。主要原因是直接離散GM(1，1)模型采用最小二乘法估計(jì)參數(shù)，穩(wěn)健性不好造成的。針對(duì)這一情況，文章提出利用最小一乘法估計(jì)直接離散GM(1,1)模型參數(shù)改進(jìn)上述不足。對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明，采用最小一乘法估計(jì)參數(shù)得到的直接離散GM(1，1)模型具有很好的精度和穩(wěn)健性，使得直接離散GM(1，1)模型的適用范圍得到進(jìn)一步擴(kuò)大。

直接離散GM(1，1)模型；參數(shù)估計(jì)；最小一乘法；最小二乘法；線性規(guī)劃

0　引言

GM(1，1)模型是灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型及拓展模型中的基礎(chǔ)和核心方法[1，2]，應(yīng)用它的前提是要求原始數(shù)據(jù)序列符合或基本符合指數(shù)規(guī)律變化[3]。但許多文獻(xiàn)[4,5]研究表明當(dāng)利用GM(1,1)模型對(duì)純指數(shù)序列進(jìn)行擬合時(shí),在預(yù)測(cè)精度上有時(shí)仍不能取得滿意的擬合效果，對(duì)于傳統(tǒng)GM(1,1)中存在預(yù)測(cè)精度上的缺陷[6,7]，文獻(xiàn)[2]分析了傳統(tǒng)灰色GM(1, 1)模型本身結(jié)構(gòu)上存在的問題，從離散到離散的觀點(diǎn)，提出了DGM(1,1)模型，對(duì)GM(1,1)模型做出了實(shí)質(zhì)性的改進(jìn)，用DGM(1,1)對(duì)純指數(shù)增長序列進(jìn)行預(yù)測(cè)模擬，結(jié)果完全符合增長規(guī)律。

但是實(shí)際生活中完全具有純齊次指數(shù)特征的數(shù)據(jù)是極少的，相對(duì)而言，更多的原始序列是更符合近似非齊次指數(shù)規(guī)律的序列[8,9]。針對(duì)齊次或者近似非齊次灰色指數(shù)序列的灰色建模，眾多學(xué)者做了相應(yīng)研究，其中文獻(xiàn)[8]提出的DGM(1,1)模型的直接建模法（直接離散GM(1, 1)，針對(duì)小樣本下具有近似非齊次指數(shù)特點(diǎn)的序列，構(gòu)建了一種簡單的預(yù)測(cè)模型，能較好模擬原始序列的非齊次指數(shù)特征。

在利用灰色模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，通常模型中參數(shù)估計(jì)的好壞會(huì)直接影響到模型的預(yù)測(cè)精度[10,11]。和傳統(tǒng)的GM(1, 1)模型類似，DDGM(1,1)模型仍采用的是最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，盡管最小二乘方法參數(shù)估計(jì)存在許多優(yōu)點(diǎn)，但是其穩(wěn)健性較差，在模型求解中往往會(huì)造成嚴(yán)重的病態(tài)問題[12]。實(shí)驗(yàn)表明當(dāng)原始數(shù)據(jù)嚴(yán)格服從非齊次指數(shù)規(guī)律，DDGM(1, 1)建模法所得到的模型具有完全相同的指數(shù)規(guī)律，然而當(dāng)非齊次指數(shù)規(guī)律的數(shù)據(jù)含有奇異數(shù)據(jù)，褪變?yōu)榻品驱R次指數(shù)規(guī)律時(shí)，DDGM(1，1)模型擬合效果較差，這與DDGM (1，1)模型利用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的方法有很大關(guān)系。

因此，利用DDGM(1，1)模型對(duì)含有異常的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模和參數(shù)估計(jì)時(shí)，應(yīng)該盡量選擇較為穩(wěn)健的準(zhǔn)則以減少奇異數(shù)據(jù)對(duì)模型預(yù)測(cè)的影響[13]。最小一乘準(zhǔn)則受異常點(diǎn)的影響較小，穩(wěn)健性比最小二乘準(zhǔn)則的穩(wěn)健性好[14-17]。其次，最小二乘準(zhǔn)則需要假定數(shù)據(jù)分布服從正態(tài)分布，并且該方法基于殘差平方和最小尋優(yōu)，很容易陷入局部最小，對(duì)于非線性較強(qiáng)的序列，應(yīng)用最小二乘法得到的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生很大的偏差[18]。而最小一乘準(zhǔn)則對(duì)數(shù)據(jù)分布沒有嚴(yán)格要求，理論證明：對(duì)于誤差不服從正態(tài)性的問題中，最小一乘估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性能優(yōu)于最小二乘估計(jì)[14]。

在對(duì)實(shí)際生活中符合近似非齊次指數(shù)規(guī)律的具有貧信息的序列進(jìn)行建模時(shí)，由于所用數(shù)據(jù)不多，數(shù)據(jù)總體特征不夠明顯，往往還會(huì)含有異常數(shù)據(jù)，針對(duì)傳統(tǒng)的DDGM( 1，1)模型參數(shù)估計(jì)方法上的缺陷，同時(shí)鑒于最小一乘法優(yōu)越的統(tǒng)計(jì)性能，本文將用最小一乘準(zhǔn)則對(duì)DGM(1,1)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，求解模型時(shí)，通過函數(shù)變換將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性規(guī)劃問題[19]，以克服最小二乘法容易陷入局部最小的問題。最后，用數(shù)據(jù)模擬仿真，通過對(duì)比分析證實(shí)了該方法的有效性。

1　DDGM(1,1)建模法及其缺陷

1.1DDGM(1,1)建模法[8]

定義1:設(shè) X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，···，x(0)(n))為一單調(diào)遞增序列，若對(duì)于：

①k=1，2…，n-1，x(0)(k)=ceak，c，a≠0，

則稱 X(0)為齊次指數(shù)序列。

②k=1，2…，n-1，x(0)(k)=ceak+b，c，a，b≠0，則稱X(0)為非齊次指數(shù)序列。

定義2:設(shè)序列X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，···，x(0)(n)),稱：

為直接DGM(1,1),簡稱DDGM(1,1)模型。

則灰色微分方程(1)中參數(shù)的最小二乘估計(jì)為：

令：

則：

文獻(xiàn)[8]的研究表明，利用DDGM(1,1)建模法，對(duì)于原始數(shù)據(jù)序列嚴(yán)格服從非齊次指數(shù)規(guī)律時(shí)，所得到的模型具有完全相同的指數(shù)規(guī)律。

1.2DDGM(1,1)建模法參數(shù)估計(jì)缺陷分析

DDGM(1,1)模型本質(zhì)上是用自回歸模型方法建立修正指數(shù)模型[8],由式(3)知該自回歸模型采用的是基于大樣本數(shù)據(jù)的最小二乘法估計(jì)參數(shù)，即：

當(dāng)原始數(shù)據(jù)存在奇異數(shù)據(jù)時(shí)，平方會(huì)放大奇異值對(duì)可信度的影響，導(dǎo)致DDGM(1,1)模型的預(yù)測(cè)效果不好[11]。雖然DDGM(1,1)建模法對(duì)嚴(yán)格服從非齊次指數(shù)規(guī)律的數(shù)據(jù)能夠完全擬合，但是，實(shí)際生活中完全具有純齊次指數(shù)特征的數(shù)據(jù)是極少的。同時(shí)，DDGM(1,1)模型是針對(duì)小樣本建模的方法，當(dāng)收集的數(shù)據(jù)較少，并且數(shù)據(jù)中夾雜有異常點(diǎn)時(shí)，用最小二乘準(zhǔn)則所得的結(jié)果就令人難以接受，在此情況下應(yīng)用所得到的回歸方程或模型進(jìn)行預(yù)測(cè)、擬合等，則預(yù)測(cè)或擬合的精度相當(dāng)?shù)?，甚至根本不能使用[15-17]。因此針對(duì)此種情況，利用DDGM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，不宜用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)。

2　估計(jì)DDGM(1,1)模型的最小一乘法

相對(duì)于傳統(tǒng)DDGM(1,1)模型，優(yōu)化問題(6)的目標(biāo)函數(shù)含有絕對(duì)值，因此引入變換[19]：

其中

uk≥0，vk≥0，代入式(7)得：

從而，估計(jì)DDGM(1,1)模型的參數(shù)歸結(jié)為如下線性規(guī)劃問題：

可利用單純形法求解上述線性規(guī)劃問題,得到基于最小一乘法準(zhǔn)則的最優(yōu)參數(shù)β1，β2。

3　模型建模效果比較

為了驗(yàn)證基于最小一乘法估計(jì)DDGM(1,1)模型的可行性和有效性,以下模擬近似非齊次指數(shù)序列進(jìn)行驗(yàn)證。取兩組數(shù)據(jù)[20]：

上述數(shù)據(jù)為完全的非齊次指數(shù)序列。

將第一組數(shù)據(jù)的第三和第四個(gè)數(shù)據(jù)交換位置得到第二組數(shù)據(jù)：

第二組數(shù)據(jù)相對(duì)第一組數(shù)據(jù)為有異常的近似非齊次指數(shù)序列。

首先驗(yàn)證兩種準(zhǔn)則下,DDGM(1,1)模型對(duì)完全的非齊次指數(shù)序列的擬合和預(yù)測(cè)情況。以前6個(gè)數(shù)據(jù)建模，最后一個(gè)數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)值，利用DDGM(1，1)模型建模,分別采用最小二乘準(zhǔn)則和最小一乘準(zhǔn)則對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。對(duì)第一組數(shù)據(jù)有:

(1)最小二乘準(zhǔn)則

(2)最小一乘準(zhǔn)則

由于上述數(shù)據(jù)不存在異常,所以兩種準(zhǔn)則下估計(jì)的參數(shù)較為接近。根據(jù)兩個(gè)準(zhǔn)則得到模擬和預(yù)測(cè)結(jié)果見表1，表中結(jié)果表明，對(duì)于原始數(shù)據(jù)嚴(yán)格服從非齊次指數(shù)規(guī)律，建立DDGM(1,1)模型，使用兩種準(zhǔn)則估計(jì)參數(shù)，排除計(jì)算誤差,所得到的模型均具有完全相同的指數(shù)規(guī)律。

表1　不同準(zhǔn)則下模擬計(jì)算結(jié)果比較

用第二組數(shù)據(jù)進(jìn)行最小一乘穩(wěn)健性的測(cè)試。仍然以前6個(gè)數(shù)據(jù)建模，最后一個(gè)數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)值，利用DDGM (1，1)模型建模,分別采用最小二乘準(zhǔn)則和最小一乘準(zhǔn)則對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

(1)最小二乘準(zhǔn)則

(2)最小一乘準(zhǔn)則

由以上結(jié)果可以看出,當(dāng)原始數(shù)據(jù)有異常時(shí),對(duì)于DDGM(1,1)模型,應(yīng)用最小二乘準(zhǔn)則所得到的參數(shù)系數(shù)與無異常點(diǎn)時(shí)差異甚大,而對(duì)最小一乘準(zhǔn)則,異常點(diǎn)的有無對(duì)求得的參數(shù)影響很小。根據(jù)兩個(gè)準(zhǔn)則得到模擬和預(yù)測(cè)的結(jié)果見表2，從表中數(shù)據(jù)可見,用最小二乘準(zhǔn)則所得的DDGM(1,1)模型進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)精度相當(dāng)差,模型已根本不能使用。而用最小一乘準(zhǔn)則所得的DDGM(1,1)模型進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè),精度仍然很高,進(jìn)一步說明了最小一乘準(zhǔn)則能夠克服數(shù)據(jù)較少且存在異常點(diǎn)時(shí)最小二乘準(zhǔn)則出現(xiàn)的病態(tài)問題，穩(wěn)健性較好。

表2　不同準(zhǔn)則下模擬計(jì)算結(jié)果比較(含異常數(shù)據(jù))

圖1不同準(zhǔn)則下模擬結(jié)果

圖1顯示了對(duì)第二組數(shù)據(jù)利用DDGM(1,1)模型進(jìn)行建模,分別基于最小二乘法和最小一乘法估計(jì)DDGM(1,1)模型的參數(shù)得到的模型擬合和預(yù)測(cè)值。由圖像擬合情況可見,對(duì)于含有異常點(diǎn)的近似非齊次指數(shù)序列,基于最小一乘法估計(jì)DDGM(1,1)模型的參數(shù),效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于最小二乘法。

兩組數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果充分表明,基于最小一乘法估計(jì)DDGM(1,1)模型的參數(shù)具有可行性和有效性。

4　結(jié)論

最小二乘法具有良好的解析性，易于求解，使得該方法在DDGM(1,1)模型中成為普遍采用的參數(shù)估計(jì)方法。本文從分析最小二乘法對(duì)DDGM(1,1)模型參數(shù)估計(jì)容易造成的缺陷入手，提出基于最小一乘法估計(jì)DDGM(1,1)模型的參數(shù)，理論上可以克服最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)的缺陷，利用給出的線性規(guī)劃法使得基于最小一乘法估計(jì)DDGM(1,1)模型的參數(shù)在應(yīng)用中成為可能,實(shí)例表明基于最小一乘準(zhǔn)則估計(jì)DDGM(1,1)模型的參數(shù),DDGM(1,1)模型能更好地?cái)M合近似非齊次指數(shù)規(guī)律的數(shù)據(jù),有效擴(kuò)充了DDGM(1，1)模型的適用范圍。

[1]鄧聚龍.灰色系統(tǒng)理論教程[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1990.

[2]謝乃明,劉思峰.離散GM(1,1)模型與灰色預(yù)測(cè)模型建模機(jī)理[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2005,(1).

[3]穆勇.無偏灰色GM(1,1)模型的直接建模法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2003,25(9).

[4]羅黨,劉思峰,黨耀國.灰色模型GM(1,1)優(yōu)化[J].中國工程科學(xué), 2003,5(8).

[5]劉斌,劉思峰,翟振杰,黨耀國等.GM(1,1)模型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)的最優(yōu)化[J].中國管理科學(xué),2003,11(4).

[6]何文章,宋國鄉(xiāng).基于遺傳算法估計(jì)灰色模型中的參數(shù)[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2005,20(4).

[7]張大海,汪世芳,史開泉.灰色預(yù)測(cè)公式的理論缺陷及改進(jìn)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2002,22(8).

[8]曾波.近似非齊次指數(shù)序列的DGM(1,1)直接建模法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2011,31(2).

[9]崔杰,黨耀國,劉思峰.一種新的灰色預(yù)測(cè)模型及其建模機(jī)理[J].控制與決策,2009,24(11).

[10]鄭照寧,劉德順.基于遺傳算法的改進(jìn)GM(1,1)模型IGM(1,1)直接建模[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2003,23(5).

[11]何霞,劉衛(wèi)鋒.灰色GM(1,1)模型中參數(shù)估計(jì)的幾種方法比較[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2011,(20).

[12]鄭照寧,武玉英,程小輝,包涵齡.灰色模型的病態(tài)性問題[J].系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用,2001,10(2).

[13]董建,謝開貴.基于最小一乘準(zhǔn)則的非線性回歸模型研究[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2001,18(4).

[14]BATES D M.非線性回歸分析及其應(yīng)用[M].韋博成譯.北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社,1997.

[15]謝開貴,何斌,楊萬年.組合預(yù)測(cè)權(quán)重系數(shù)的確定[J].預(yù)測(cè),1998,7 (7).

[16]董祺.“殘差絕對(duì)值和最小”準(zhǔn)則的松馳算法[J].預(yù)測(cè),1990,9(2).

[17]袁修貴.“殘差絕對(duì)值和最小”準(zhǔn)則的目標(biāo)規(guī)劃法[J].預(yù)測(cè),1994, 13(1).

[18]安德洪,韓文秀,岳毅宏.組合預(yù)測(cè)法的改進(jìn)及其在負(fù)荷預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2006,26(6).

[19]楊桂元.殘差絕對(duì)值之和最小準(zhǔn)則下回歸方程的求解[J].運(yùn)籌與管理,2001,10(1).

[20]戰(zhàn)立青,施化吉.近似非齊次指數(shù)數(shù)據(jù)的灰色建模方法與模型[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2013,33(3).

（責(zé)任編輯/易永生）

O21

A

1002-6487（2016）22-0015-03

湖北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013CFA053);長江大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科研究發(fā)展基金資助項(xiàng)目(2014JCY002)

周德強(qiáng)(1974—)，男，湖北襄陽人，碩士，副教授，研究方向：機(jī)器學(xué)習(xí)、模式識(shí)別、系統(tǒng)建模。