一次函數(shù)背景下的存在性問(wèn)題

摘 要：一次函數(shù)是八年級(jí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在平面直角坐標(biāo)系中，研究點(diǎn)和直線的動(dòng)態(tài)特征，以及在動(dòng)態(tài)情境下產(chǎn)生的幾何圖形存在性問(wèn)題，是考察學(xué)生思維能力的有效載體，已成為考試的重難點(diǎn).本文將結(jié)合具體題目，從不同方面探討存在性問(wèn)題的解法.

關(guān)鍵詞：一次函數(shù);存在性;對(duì)稱;兩圓一線;弦圖

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2021）02-0017-02

收稿日期：2020-10-15

作者簡(jiǎn)介：王帥兵（1988.7-），男，河南省魯山人，本科，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、兩定一動(dòng)型，注意好“一上一下”

兩定一動(dòng)型，是指在給定兩個(gè)點(diǎn)的情況下，另一點(diǎn)在一條線上運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的面積問(wèn)題，解決這類問(wèn)題，要做好題目分析，有一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)直接求解;沒(méi)有邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，用好“鉛錘法”（或“割補(bǔ)法”），同時(shí)注意好“一上一下”.

例1 如圖1所示，一次函數(shù)y=2x+4的圖像與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，在一次函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得△AOP的面積為3？

思路分析 由題設(shè)條件，易求出點(diǎn)A和點(diǎn)O坐標(biāo)分別為（-2，0）和（0，0），點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，不妨設(shè)其坐標(biāo)為（x，y），當(dāng)點(diǎn)P位于x軸上方時(shí)，S△AOP=2×y2=3，解得y=3，代入表達(dá)式y(tǒng)=2x+4可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1/2，3）.由于坐標(biāo)系中的對(duì)稱性，點(diǎn)P也可以位于x軸下方，此時(shí)可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（-7/2，-3）.綜上，點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1/2，3）或者（-7/2，-3）.例2 如圖2所示，直線y=1/2x與直線y=-x+3相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是直線y=1/2x上的一個(gè)點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為4.如果點(diǎn)P是直線y=-x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足△ABP的面積為9，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

思路分析 如圖2，易求出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)分別為（2，1）和（4，2）.如圖3，過(guò)點(diǎn)P向x軸做垂線交直線AB于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P（a，-a+3），那么點(diǎn)F坐標(biāo)為（a，12a） ，則△ABP的面積為：PF×（xB-xA）2=（3-a-12a）（4-2）2=9.解得a=-4，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，7）.同理，如圖4時(shí)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，-5）.綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，7）或（8，-5）.

二、等腰三角形，用好“兩圓一線”

在一次函數(shù)的背景下，等腰三角形的存在性問(wèn)題可以借助圖形的基本性質(zhì)來(lái)解，利用同端點(diǎn)、等長(zhǎng)度作圓和線段垂直平分線.

例3 如圖5所示，直線y=x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路分析 如圖6所示，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心作圓，同時(shí)作出線段AB的垂直平分線，可得與x軸的4個(gè)交點(diǎn)：P1、P2、P3和P4.分別求解，可得其坐標(biāo)分別為

P1（-4-42，0）、P2（0，0）、P3（42-4，0）、P4（4，0）.

三、直角三角形，利用頂點(diǎn)來(lái)分類

對(duì)于直角三角形的存在性，可以利用頂點(diǎn)來(lái)分類，然后結(jié)合具體條件求解.

例4 如圖7所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中， 三角板的直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）， 一條直角邊與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，另一直角邊與y軸交于點(diǎn)B， 三角板繞點(diǎn)P在坐標(biāo)平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)△POA為直角三角形時(shí)，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo).

思路分析 分析題設(shè)條件可得，∠POA=45°，不可能為直角，△POA的另兩個(gè)角可以是直角.如圖8，當(dāng)OA⊥AP時(shí)，可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）;如圖9，當(dāng)OP⊥PA時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)O重合，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，0）.綜上所述，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）或（0，0）.

四、等腰直角三角形，借助弦圖輕松解

等腰直角三角形的分類問(wèn)題，可以在構(gòu)造基本直角的情況下，借助弦圖求解.

例5 如圖10所示，直線y=-2x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為等腰直角三角形？

思路分析 由題設(shè)條件易得，A（2，0）、B（0，4），OA=2，OB=4.利用Rt△AOB作弦圖，如圖11所示，其中P1、P2、P3是滿足條件的點(diǎn).利用弦圖中的全等三角形的性質(zhì)，以及線段長(zhǎng)與坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化，可得三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：P1（4，6）、P2（6，2）、P3（3，3）.

五、全等三角形，對(duì)應(yīng)后綜合求解

全等三角形的存在性問(wèn)題，要注意好頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，然后借助多種基本方法解題.

例6 如圖12所示，在平面直角坐標(biāo)系中作矩形OABC，點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，8），將△ABC對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕交AB于點(diǎn)D，坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)P（除點(diǎn)B外），使△APC與△ABC全等？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路分析 由題設(shè)條件易得點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，8），直線AC表達(dá)式為：y=-2x+8.由矩形性質(zhì)可得△AOC△CBA，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，坐標(biāo)為（0，0）.由翻折性質(zhì)可得△ADB′△CDB′，此時(shí)，如圖13，可以延長(zhǎng)CP，過(guò)點(diǎn)A作CP⊥AP于點(diǎn)P，利用等面積法可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（325，165）.如圖14，作△ABC關(guān)于直線AC的對(duì)稱圖形，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，利用等面積法可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（-125，245）.? 六、等距離軌跡問(wèn)題，借助坐標(biāo)軸三角形構(gòu)造相似

在一次函數(shù)背景下的等距離軌跡問(wèn)題，可以借助一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，構(gòu)造相似圖形，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而找到點(diǎn)所在直線的表達(dá)式.

例7 如圖15所示，直線y=2x+6與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)P到直線AB的距離等于25，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P所在軌跡的表達(dá)式;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路分析 到直線AB距離等于25的點(diǎn)的集合是與直線AB平行的兩條直線.由題設(shè)條件易得，點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（-3，0）和（0，6）.如圖16，過(guò)點(diǎn)B作直線AB的垂線l1，在直線l1上分別截取BP1=BP2=25，再分別過(guò)點(diǎn)P1和點(diǎn)P2作垂直于直線l1的直線l2和l3，直線l2和l3即為點(diǎn)P的軌跡.因?yàn)橹本€l2和l3與直線AB平行，要求其表達(dá)式，只要求出點(diǎn)P1和點(diǎn)P2的坐標(biāo)即可，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)P1作P1Q1⊥y軸于點(diǎn)Q1，則△P1Q1B∽△BOA，可得P1Q1=4，BQ1=2，可得點(diǎn)P1坐標(biāo)為（4，4），可求出l2：y=2x-4.同理可求出l3：y=2x+16.

綜上，解決一次函數(shù)的存在性問(wèn)題，一定要研究好背景圖形，調(diào)用基本技巧和方法，構(gòu)圖確定位置，畫圖解答.

? 參考文獻(xiàn)：

[1]王玉新.學(xué)好一次函數(shù)，善于梳理總結(jié)是關(guān)鍵[J] 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（19）：135.

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[責(zé)任編輯：李 璟]