先細(xì)分，再求和
——微積分初步思想滲透的教學(xué)實(shí)踐與思考

◇邱月亮

先細(xì)分，再求和
——微積分初步思想滲透的教學(xué)實(shí)踐與思考

◇邱月亮

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相對簡單，但在這些簡單知識的教學(xué)過程中，只要我們深入挖掘、精心設(shè)計(jì)，往往可以滲透一些看似深奧的數(shù)學(xué)思想和方法。筆者曾以圓的周長、圓的面積教學(xué)為載體，向?qū)W生滲透高等數(shù)學(xué)中微積分的初步思想，并獲得較為滿意的效果。

一 教學(xué)實(shí)踐

1.在圓周長教學(xué)中，讓學(xué)生初步感知。

在圓的周長教學(xué)設(shè)計(jì)中，我特意讓每個學(xué)生事先準(zhǔn)備一個較薄的紙質(zhì)圓片，并讓他們獨(dú)立思考如何求出圓片的周長。當(dāng)然，學(xué)生會想出多種方法來解決，如課本上所示的滾動法，或用一根線沿圓片的邊圍一圈等辦法量出周長。但筆者重點(diǎn)關(guān)注如下的方法，即把圓片多次對折，得到若干個相等的扇形，再把每個扇形的弧看作一條線段，量出其長度，最后乘以扇形的個數(shù)，近似地求出圓片的周長。如圖1，把圓平均分成16份，并把每個扇形的弧看作一條線段，量得其長為1.5厘米，則圓的周長約是1.5×16=24（厘米）。

圖1

對于這種方法，當(dāng)提出的學(xué)生解釋清楚之后，教師立即組織大家討論，并達(dá)成如下的共識：這樣平均分的次數(shù)越多，每個小扇形的弧就越可以近似地看作一條線段，所有這樣的線段的長度之和也就越可以近似地看作圓的周長；當(dāng)分的次數(shù)是無限多時，這無數(shù)條線段的長度之和就是圓的周長。

這種方法十分簡單，學(xué)生很容易想到，整個過程我們可以簡單地歸納為：先細(xì)分，再求和。

2.在圓面積教學(xué)中，讓學(xué)生再次感知。

在圓面積教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用同樣的方法，以實(shí)際操作和演算推導(dǎo)兩個環(huán)節(jié)來求得圓面積的計(jì)算公式。

（1）實(shí)際操作環(huán)節(jié)。

組織學(xué)生討論：我們能否像求圓的周長那樣，用“先細(xì)分，再求和”的方法來求圓的面積？然后，讓學(xué)生用任意的一個紙質(zhì)圓片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)性操作，并討論以下的問題：

①這里的“求和”是指什么？（所有小扇形面積的和）

②小扇形的面積怎么求？（把每一個小扇形近似地看作一個小三角形）

③每個小三角形的底和高分別可以用什么來代替？（扇形的弧和它的半徑）

④我們這樣的操作與計(jì)算，是否真的得到了圓的面積？（只是得到圓面積的近似值，只有當(dāng)分的次數(shù)無限多時，這樣的無限多個小三角形面積之和才是圓的面積）

（2）演算推導(dǎo)環(huán)節(jié)。

在上述實(shí)際操作及感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，師生共同運(yùn)用以前所學(xué)的知識進(jìn)行演算，推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式。

假設(shè)我們把一個圓分成n份（這個n當(dāng)然可以是一個要多大就多大的數(shù)），得到n個小扇形，把每個小扇形的弧看作一條線段，其長度分別是 a1，a2，a3，…，an，把圓的半徑看作相應(yīng)每個小三角形的高，那么，就可以計(jì)算出每個小三角形的面積，并求它們的和，再運(yùn)用以前所學(xué)的乘法分配律進(jìn)行如下的演算：

當(dāng)?shù)玫浇Y(jié)果以后，組織學(xué)生回顧整個圓面積的求得過程，以進(jìn)一步感知“先細(xì)分，再求和”。

3.在解決問題的過程中，讓學(xué)生嘗試運(yùn)用。

對于任何一種數(shù)學(xué)知識（特別是數(shù)學(xué)思想和方法），學(xué)生只有通過運(yùn)用才能真正掌握。因此，在六年級的總復(fù)習(xí)中，筆者曾選了如下一道習(xí)題，一方面旨在復(fù)習(xí)相關(guān)的體積與表面積知識，但更多的用意在于讓學(xué)生運(yùn)用上述方法解決其中的關(guān)鍵問題。

如圖2，圓錐可以看作由直角三角形以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)而成。從圖中可以看出，兩條直角邊的長分別是圓錐的高和底面半徑，圓錐的側(cè)面是由三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的，所以這條斜邊在圓錐中叫作母線。已知圓錐的高、底面半徑和母線分別是h、r和l，求它的體積和表面積。

圖2

圖3

不難看出，求圓錐表面積的關(guān)鍵是先求出側(cè)面積，即側(cè)面展開后所得的扇形面積。對學(xué)生來說，由于沒有告知圓心角的度數(shù)，解決這個問題有一定的難度。但如果運(yùn)用“先細(xì)分，再求和”的方法，就像上述求圓面積那樣，能很快地求出側(cè)面的面積，如圖 3，即 S側(cè)=πrl。

二 教學(xué)思考

在現(xiàn)實(shí)生活中，往往平凡現(xiàn)象的背后隱藏著某種規(guī)律，如蘋果落地隱藏著萬有引力。在數(shù)學(xué)中，有時也是這樣的道理。上述“先細(xì)分，再求和”，雖然是學(xué)生“發(fā)明”的，方法簡單，卻寓意深刻。

1.簡單中蘊(yùn)含著“深奧”。

上述方法，雖然簡單，但具有一般性。例如，求圖4中陰影部分（曲邊三角形）的面積，顯然超出小學(xué)數(shù)學(xué)的知識范圍，但若用“先細(xì)分，再求和”的方法就能解決它。

圖4

我們先把這個曲邊三角形以橫坐標(biāo)的方向從0到1分成n等份，這樣就可以得到n個曲邊小梯形（第一個曲邊三角形也可以看作曲邊梯形）。如果把n取成一個相當(dāng)大的數(shù)，則每個這樣的小梯形可以近似地看成是小長方形，它們的寬都是，長分別是（）2，其中 i=1，2，3，…，n。

這些長方形的面積和是：

比較這個曲邊三角形的面積求得過程與上述圓、扇形面積的求得過程，本質(zhì)上沒有區(qū)別，只是前者需要比小學(xué)有更多的數(shù)學(xué)知識而已。用同樣的方法，我們還可以求出圓錐的體積和球的體積。

其實(shí)，“先細(xì)分，再求和”只不過是微積分學(xué)中定積分基本思想的簡單詮釋。如果用所謂的高等數(shù)學(xué)知識來表述上述求曲邊三角形面積的過程，那就是：

由此可見，盡管“先細(xì)分，再求和”簡單，但它蘊(yùn)含著深奧的數(shù)學(xué)知識。

2.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累。

數(shù)學(xué)知識的獲得是一個循序漸進(jìn)的過程，特別是對于一些基本的思想和方法，只有在多次感受（或運(yùn)用）的基礎(chǔ)上，才能真正領(lǐng)悟其優(yōu)越性，并掌握其要領(lǐng)。對于“先細(xì)分，再求和”，筆者的用意也是如此。雖然在圓周長、圓面積和圓錐側(cè)面積等教學(xué)過程中，都是讓學(xué)生接觸“先細(xì)分，再求和”，但每一次各有側(cè)重。第一次是在直觀操作的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過討論與想象進(jìn)行感知，只是一種初步的感知；第二次是在學(xué)生再次直觀認(rèn)識的基礎(chǔ)上，通過演算推導(dǎo)提升到理性認(rèn)識的高度，從而對這種方法有更深刻的認(rèn)識；第三次，則是讓學(xué)生通過問題的解決，來進(jìn)一步體會到這種方法的優(yōu)點(diǎn)。三次不同的感受，就“先細(xì)分，再求和”而言，學(xué)生在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果遇到圓錐、球體積公式的證明，或者是微積分的學(xué)習(xí)，可能就會勾起對它的回憶，就會感到一點(diǎn)也不陌生。這或許就是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這樣的教學(xué)過程，就是讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的過程。

3.辯證統(tǒng)一思想的滲透。

“先細(xì)分，再求和”是一個分與合的過程。雖然分與合是兩個不同的方面，但它們相互依賴。分的目的是為了合，而要合必須先分，分是手段，合是目標(biāo)。從哲學(xué)的角度看，它是矛盾的兩個方面，是辯證統(tǒng)一思想的體現(xiàn)。

這種思想及方法，無論是從數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)來看，還是從今后的人生發(fā)展來看，對學(xué)生來說都非常有益。例如，對于不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，我們往往會把一個非基本的圖形分解成若干個基本圖形，然后分別求出分解后所得圖形的面積，以達(dá)到得出欲求圖形面積之目的。在現(xiàn)實(shí)生活中，我們也常常把一項(xiàng)復(fù)雜的“工程”分解成若干個子“工程”，然后通過完成這些子“工程”來達(dá)到完成整個“工程”的目的。

事實(shí)上，在“先細(xì)分，再求和”的過程中，“有限”與“無限”也充分體現(xiàn)了這種辯證統(tǒng)一思想。

4.教學(xué)要關(guān)注“內(nèi)容”以外的東西。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相對簡單，但我們要以這些內(nèi)容為載體，在教學(xué)過程中，關(guān)注一些教學(xué)內(nèi)容以外的東西，因?yàn)檫@些教學(xué)內(nèi)容以外的東西有時會比教學(xué)內(nèi)容本身更有意義。就像圓的周長和面積，作為小學(xué)數(shù)學(xué)來說是一個非常重要的教學(xué)內(nèi)容，但是，如果我們在教學(xué)的過程中，關(guān)注了諸如“先細(xì)分，再求和”等思想與方法，那么它對學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累以及認(rèn)識世界等方法論的掌握都是極為有益的。也就是說，我們小學(xué)數(shù)學(xué)教師對自己的數(shù)學(xué)教學(xué)要有這樣一種意識：站在源頭，望著盡頭。

（作者單位：浙江海鹽縣教育研究與教師培訓(xùn)中心）