☉江蘇省蘇州市吳縣中學 韋 莉
滲透圖形理念建立數(shù)學思想
☉江蘇省蘇州市吳縣中學韋莉
如果細數(shù)高中數(shù)學當中的思想方法,相信很多師生都會想到“數(shù)形結(jié)合”.的確,數(shù)形結(jié)合是解決高中數(shù)學問題的一個十分重要的方法,具有相當廣泛的普適性.這也明確彰顯了圖形在高中數(shù)學學習過程當中的重要性.實際上,數(shù)形結(jié)合思想的廣泛運用,只是展現(xiàn)了圖形對問題解答的輔助作用.透過這個視角繼續(xù)深入挖掘便會發(fā)現(xiàn),圖形對于整個高中階段的數(shù)學知識學習都具有積極意義.我們應當站在一個更高的視野層次,將圖形上升為一種理念,在知識學習當中建立起一種圖形化思想,推動學習效果走向完善.
概念是數(shù)學知識的基石,只有將每一個基本概念準確理解,才能穩(wěn)扎穩(wěn)打地對相應內(nèi)容展開學習.因此,教師們常常會將概念教學作為新知識教學當中的第一個重點.那么,如何開展概念教學是比較可取的呢?單一的語言描述往往會讓本就十分抽象的概念內(nèi)容變得更加晦澀,教師應當考慮一些創(chuàng)新的教學方式.圖形便是其中比較具有代表性的一種.
案例1在講解三棱錐的概念后,筆者向?qū)W生提供了如下幾個命題:(1)正棱錐的每個側(cè)面都是等腰三角形;(2)底面是正多邊形的棱錐是正棱錐;(3)正棱錐的每條側(cè)棱與底面所成的角相等;(4)兩條相鄰側(cè)棱所成角相等的棱錐是正棱錐;(5)正棱錐相鄰的兩個側(cè)面所成的二面角相等.筆者請大家運用所學概念來判斷每個命題的正誤,并以圖形的方式來闡釋每個命題.在圖形的輔助下,學生清晰地認知了三棱錐相關(guān)概念的內(nèi)涵,對這部分知識的運用也更加自如了.
對于很多較為抽象復雜的數(shù)學概念來講,想要通過語言將其內(nèi)涵闡釋得完整清晰并不容易.如果教師在這之中沒有把控好語言的力度,甚至會誤導學生的理解方向,或是降低學生對數(shù)學概念的學習熱情.圖形的運用,可以說是為概念教學點亮了一盞燈.很多難以用語言描述清楚的數(shù)學概念,通過一個圖形卻能清晰地表示出來,且這個圖形無需過于復雜.簡單圖形的運用,不僅降低了教師的教學難度,更為學生快速準確地掌握概念鋪平了道路.
在高中數(shù)學學習過程當中,知識數(shù)量激增與知識內(nèi)容交錯經(jīng)常會成為引發(fā)學生學習困難的主要因素.筆者曾經(jīng)多次與學生進行溝通,大家表示,自己之所以會感到學習數(shù)學不容易,主要是由于知識發(fā)展脈絡(luò)不清晰,不知道應當如何把握知識內(nèi)容.這也為教師的教學開展提出了一個重要課題:我們不能僅僅負責向?qū)W生呈現(xiàn)知識,還應當將零散的知識內(nèi)容予以整合,幫助學生有條理地駕馭知識.在實現(xiàn)知識的整合總結(jié)時,圖形的運用便可以助師生們一臂之力.
案例2指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的內(nèi)容一直是高中數(shù)學的一個重點內(nèi)容,也是學生容易產(chǎn)生學習困難的部分.由于這些函數(shù)的形式比較相似,學生總是對之產(chǎn)生混淆,更不要說在解題當中熟練運用了.為了讓大家能夠?qū)⒚糠N函數(shù)及其變化趨勢區(qū)分清楚,筆者將幾種典型的函數(shù)圖像整合在了同一個平面直角坐標系中予以呈現(xiàn)(如圖1),學生非但沒有感到困惑,反而對每種函數(shù)的特點掌握得更加透徹了.
圖1
圖形的巧妙運用,讓原本混沌復雜的知識內(nèi)容一下子清晰了很多.在很多情況下,不要害怕將容易混淆的知識放在一起.只要我們能夠采取科學有效的方法將之予以整合和區(qū)分,這樣的方式反而能夠讓學生一目了然地發(fā)現(xiàn)知識之間存在的相同點與差異點,從而更加便捷清晰地進行記憶,實現(xiàn)對知識內(nèi)容的高效掌握.在這當中,具體的圖形可以說是知識整合的一個捷徑.對于比較相似的內(nèi)容,我們甚至可以將幾個圖形集中表現(xiàn)出來,讓其中的差異展示得更為直觀.
隨著知識數(shù)量的不斷增加,重點難點的出現(xiàn)頻率也越發(fā)提升了.重點難點問題雖然給數(shù)學教學增加了不少難度,我們絕不能無視或回避,這些重點難點問題才正是高中數(shù)學學習的關(guān)鍵.準確掌握了它們,便能夠提綱挈領(lǐng)地將整條線上的知識內(nèi)容理解清楚.因此,迎難而上,反而能夠讓教學活動達到事半功倍的效果.將直觀的圖形在其中予以運用,也能夠為重點難點問題的有效解析助力不少.
案例3學生曾經(jīng)遇到過這樣一個問題:棱長為a的正四面體的四個頂點均在一個球面上,則這個球體的表面積是多少?這個問題模型是立體幾何當中經(jīng)常出現(xiàn)的,對它的掌握非常重要.然而,僅靠字面上的理解,很難完整獲得題目條件的內(nèi)涵,更無法發(fā)現(xiàn)隱藏的已知條件.因此,筆者帶領(lǐng)學生將題目狀態(tài)以圖形的方式來表現(xiàn).圖形剛剛畫好,還沒等筆者進一步啟發(fā),學生已經(jīng)開始構(gòu)造輔助線,分析棱長、對角線等數(shù)值了,題目的解答在學生的自主推進中完成得十分理想.
運用直觀圖形來解析重點難點問題的過程當中,常常會閃現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的影子.在高中階段的數(shù)學學習內(nèi)容當中,問題的出現(xiàn),通常會體現(xiàn)出比較強的綜合性,代數(shù)與幾何之間的界限并不明確.重難點問題當中所體現(xiàn)出的這種特點也就更加明顯.因此,為了有效解答這種問題,便需要打通數(shù)與形之間的壁壘,讓二者能夠相互借力,用數(shù)字去描述圖形,以圖形來闡釋數(shù)字.圖形方式的融入,為重難點問題的解答提供了一條捷徑,學生對于這方面內(nèi)容的學習也自信了很多.
按照教學計劃完成相應知識內(nèi)容的呈現(xiàn)后,教師還需要繼續(xù)對知識方法進行拓展延伸,在完善對所學內(nèi)容理解的同時,還能夠提高學生的數(shù)學思維能力,形成良好的意識習慣,成為整個數(shù)學學習過程的動力.隨著教學要求的不斷提升,對知識內(nèi)容進行拓展延伸,已經(jīng)成了當前高中數(shù)學教學當中的一個必需.因此,如何巧妙地帶領(lǐng)學生完成學習延伸,已經(jīng)成了每一個高中數(shù)學教師所要重點思考的問題.筆者經(jīng)過多次教學實踐發(fā)現(xiàn),圖形的拓展性運用,對于這個教學問題來講是一個很好的回答.
案例4在圓弧知識的教學中,學生接觸的大多是規(guī)則的圓弧圖形與相應分析.為了能夠升華學生對這部分內(nèi)容的理解,筆者將圓弧圖形靈活化,形成了如下形態(tài),并以此提出了一個問題:月牙形的實線部分由圓P上的一段優(yōu)弧與圓Q上的一段劣弧圍成,兩圓半徑均為2,點P在圓Q上.現(xiàn)欲截取一個多邊形,使其頂點均在圓P上.那么,若多邊形確定為△RST(如圖2),其最大面積是多少?若多邊形確定為等腰梯形BCDA(如圖3),其最大面積是多少?由此,學生不僅以新的角度感知了圓弧,還從這個變化過程中發(fā)現(xiàn)了一些有趣的規(guī)律.
圖2
圖3
實際上,數(shù)學圖形的拓展性運用是可以通過多種形式來實現(xiàn)的.具體說來,我們可以從兩個角度來對拓展運用圖形的方式進行歸納:一是從形式上拓展,即讓圖形脫離其常規(guī)的呈現(xiàn)形態(tài),可以將之設(shè)計為發(fā)展的,甚至是動態(tài)的,進而賦予圖形更多的功能.二是從內(nèi)容上拓展,即為數(shù)學圖形填加更為豐富的內(nèi)涵.在學生看來,圖形似乎只是用來解釋文字和數(shù)字的,當教師向圖形當中融入更多內(nèi)容時,往往會給學生耳目一新的體驗,也會更加熱衷于圖形方式的運用.
如果詢問大家對于數(shù)學習題作用的看法,大家一定認為,這是為了鞏固所學知識而存在的.當學生學習過一些基本概念和基本方法之后,及時讓他們完成一些習題練習,讓大家更加準確地理解所學內(nèi)容.其實,除此之外,習題的功能還有很多.尤其是在含有圖形在內(nèi)的習題當中,往往蘊含著諸多知識出口,學生能夠在圖形的引領(lǐng)之下感受學以致用.
圖4
案例5在學習過三角函數(shù)知識后,筆者請學生解答這樣一個問題:如圖4所示,某船由點O出發(fā),沿北偏東α的OZ方向航行.距離O點a(a為正常數(shù))海里的北偏東β的A處有一個小島.已知現(xiàn)要從點O正東海里處的點B派船去往A,并沿BA方向追趕第一艘船,兩船在點C處相遇.若當△OCB的面積最小時,船的行駛狀態(tài)最為適宜,則m應當取得何值?在這里,圖形與題目背景是配套出現(xiàn)的,從圖形當中,學生很直觀地看到了三角函數(shù)在航行問題中的應用,學習熱情大增.
讓學生能夠在實際生活中靈活運用知識,是高中數(shù)學教學的一個重要目標.然而,僅僅靠語言去告知學生,無法讓大家產(chǎn)生確切的感知.加入了圖形之后,數(shù)學知識的運用瞬間直觀了很多.特別是運用習題當中所出現(xiàn)的圖形,同時可以借助習題本身所營造出的問題情境,讓學生更好地知曉如何運用理論知識指導生活實踐.
所謂自制圖形,指的是學生自己畫出的數(shù)學圖形.圖形不僅是教師開展課堂教學的手段,更是學生自主解題的重要工具.因此,除了會看圖,學生更要學會自己繪制圖形.正所謂“授之以魚,不如授之以漁”,讓學生學會自制圖形,無疑為其解題能力的強化提供了保障.
案例6立體幾何單元曾出現(xiàn)過這樣一道題目:某工廠要制作一個由同底圓柱和圓錐組成的油罐,要求圓柱與圓錐的總高度同圓柱底面半徑均為r.若圓柱側(cè)面用料單價為a,圓錐側(cè)面用料單價分別為圓柱側(cè)面與底面用料單價的4倍和2倍,設(shè)圓錐母線與底面成角θ,則當θ取何值時,總費用y最少?想要順利解題,必須依題意將圖形畫出來.學生在理解條件時出現(xiàn)了一些歧義,但筆者仍堅持讓學生自己畫圖,最終完成了準確圖形(如圖5).
圖5
前面已經(jīng)提到,高中數(shù)學解題當中廣泛運用著數(shù)形結(jié)合方法.因此,想要讓學生獨立解答問題時,能夠熟練運用數(shù)形結(jié)合,自制圖形的能力必不可少.在教學過程中,教師要有意識地為學生提供更多作圖的機會,讓圖形理念在學生的思想中逐漸滲透,有效強化解題能力.
從前文的論述當中不難看出,圖形在高中數(shù)學的知識學習過程當中可謂是無處不在的.也正因為如此,圖形理念在學生頭腦中進行滲透也更加容易了.教師恰好可以抓住這個機會,觀察搜集每一個圖形得以出現(xiàn)和介入的時機,著重強調(diào),將這些環(huán)節(jié)當中的圖形運用得更為靈活和到位,從而實現(xiàn)學生對于數(shù)學知識內(nèi)容的扎實掌握,并在圖形的幫助之下對所學知識進行更加深入、開放的思考.圖形理念滲透到位了,自然會在學生意識當中建立起一個系統(tǒng)化的思想架構(gòu),數(shù)學學習與問題解答的思路也就更加開闊了.
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