有誤必有因有思才有悟

☉福州華僑中學(xué)　李文明

有誤必有因有思才有悟

☉福州華僑中學(xué)李文明

一、提出問題

題目：三對夫妻站成一排照相，僅有一對夫妻相鄰的概率是多少？

這是2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽（高二年級）第8題.在網(wǎng)上只能搜到答案，但是這個問題及與之有關(guān)的問題也大都沒有詳解，網(wǎng)上錯誤解答也層出不窮，這的確是一道較難的問題，不但很多學(xué)生不能給出解答過程，其實相當(dāng)一部分老師也無法給出詳細(xì)解答，筆者對問題進(jìn)行了認(rèn)真思考，現(xiàn)把探究思路和過程提供給大家，以此引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會調(diào)整思考方向和方法，學(xué)會思考，同時要讓學(xué)生懂得教師也會犯錯誤，關(guān)鍵是學(xué)會在山窮水盡疑無路的“逆境”中，辨明方向，理清思路，探索進(jìn)取，走出泥潭，進(jìn)而修正錯誤.提升數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).我們認(rèn)為真正的好老師要敢于把自己犯過的錯誤呈現(xiàn)給學(xué)生，也就是說要有勇于承認(rèn)錯誤的精神，同時還要善于把自己所犯錯誤的性質(zhì)及糾正的思考過程展現(xiàn)給學(xué)生，只有這樣才能為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供借鑒.

先分步再分類：第一步，從三對夫妻中任選一對，其余兩對先排分兩類情況.

（1）這兩對先排且有一對相鄰：從兩對中任選一對，剩下一對站成一排，再把前面從兩對中選出的那一對插在兩個人中間，插入的一對再全排列，故方法數(shù)為

（2）這兩對先排且夫妻互不相鄰：從兩對中任選一對全排列，然后從最后一對中任選一人插入夫妻中間，再把最后一人排在兩邊，故方法數(shù)為

第二步，把最初選出的一對夫妻插入其中，并保證僅有最后插入隊伍的夫妻是相鄰的，所以方法數(shù)共有

這是本人在認(rèn)真思考過程中得出的一個答案，看上去似乎沒有問題，在不知道問題答案的情況下如何辨別問題的正確與否呢？困惑：一是覺得概率很大，但是概率問題是無法直接驗證的，二是與之相關(guān)的問題都清楚了嗎？要解決其他與之相關(guān)問題難度與原問題難度相當(dāng)，確有欲罷不能之感，其實這才是引發(fā)我們積極思考的最好契機(jī).

二、問題探究

為了研究問題，我們探究與之相關(guān)的下列問題：

（1）三對夫妻站成一排，三對都相鄰的概率；

（2）三對夫妻站成一排，僅有兩對相鄰的概率；

（3）三對夫妻站成一排，僅有一對相鄰的概率；

（4）三對夫妻站成一排，夫妻互不相鄰的概率.

這四個問題彼此互斥，難易程度不同，我們不妨先易后難.

正解：（1）三對夫妻都相鄰的方法數(shù).

分兩步：第一步，先“捆綁”把每對夫妻看作“一個元素”，三對全排列；第二步，在“捆內(nèi)排列”，由分步計數(shù)原理得A33（A22）3=48.

（2）僅有兩對夫妻相鄰的方法數(shù).

分三步：第一步，先從三對夫妻中任取兩對夫妻，每一對夫妻“捆綁成一個元素”進(jìn)行全排列；第二步，在“捆內(nèi)全排列”；第三步，把最后一對元素插在“夫妻對”與“夫妻對”之間和兩邊3個空中的2個中.

（3）僅有一對夫妻相鄰的方法數(shù).（本題難點所在）

先分類再分步：第一類，相鄰的夫妻排在隊首.

分五步：第一步，先從三對夫妻中任選一對夫妻，排在下面六個位置的最前面方法數(shù)有如圖1所示；

圖1

第二步，從余下的4人中任選一個，排在第3個位置，方法有A14種；

第三步，第4個位置只能從余下的一對夫妻中任選一個，方法有A12種；

第四步，第5個位置只能排站在位置3的人的配偶，方法只有1種；

第五步，第6個位置只能排站在位置4的人的配偶.

第三類，相鄰夫妻排在第2、3兩個位置上，如圖2所示.

圖2

第一步，先從三對夫妻中任選一對夫妻，排在六個位置的第2、3位置，方法數(shù)有種；

第四步，第5個位置只能排站在第1個位置的人的配偶，方法有1種，第6個位置只能排站在第4個位置的人的配偶.

方法共有

第五類，相鄰夫妻站在中間的兩個位置，如圖3所示.

圖3

第一步，先從三對夫妻中任選一對夫妻，排在六個位置的第3、4位置，方法有種；

因此由分類計數(shù)原理得夫妻僅有一對相鄰的方法總數(shù)有48+48+48+48+48+96=288.

（4）三對夫妻站成一排，夫妻互不相鄰.

先分步再分類，如圖4所示.

圖4

第一類：第一步，先從6人中任選一人站在第1個位置，方法有種；

第二步，從余下的兩對夫妻中任選一人站在第2個位置，方法有種；

第三步，第3個位置排站在第1個位置的人的配偶，方法1種；

第四步，第5個位置排站在第2個位置的人的配偶，方法1種；

圖5

第二類：如圖5，第三步，從余下的一對夫妻中任選一人排在第3個位置，方法有種；

第四步，從站在第1、2位置的人的兩個配偶中任選一人排在第4個位置，方法有種；

三、探究錯因

老師為什么會犯錯誤，到底錯在哪里，是思考方向錯誤，還是計算錯誤，俗話說，退一步海闊天空，著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾經(jīng)說過：善于“退”，足夠地“退”，“退”到原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅，先足夠地退到我們最容易看清楚的地方，認(rèn)透了，鉆深了，然后再上去.這就是以退為進(jìn)的思想.當(dāng)我們在探求某些數(shù)學(xué)問題的解法時，碰到一些疑惑費解或難于入手的困難，不妨將復(fù)雜的問題退到較為簡單易求的地步，從中找出能反映問題本質(zhì)屬性的東西，使原問題化難為易而獲解.為了把錯誤搞清楚，我們不妨先研究與之相關(guān)的簡單問題：把“三對”減少為“兩對”.

兩對夫妻排成一排照相，求：（1）兩對夫妻都相鄰的概率；（2）僅有一對夫妻相鄰的概率；（3）夫妻互不相鄰的概率.

說明：兩對夫妻排成一排，夫妻互不相鄰的排法：先從4人中任選一人站在第1個位置，再從余下的一對夫妻中任選一人站在第2個位置，第3個位置只能排第1個位置的人的配偶，第4個位置只能排第2個位置的人的配偶，如圖6所示.

圖6

由此可見，錯解錯在第一步分類的第二類，具體到這種想法為什么會錯，如何克服呢？

我們不妨用AaBb表示兩對夫妻，例如，先取一對是Aa，則這對夫妻有兩種站法：

（1）Aa，第二步再把余下兩人插入其中的結(jié)果是ABab、bABa、BAba、AbaB；

（2）aA，第二步再把余下兩人插入其中的結(jié)果是aBAb、baBA、abAB、BabA.共計8種結(jié)果.

若先取得一對是Bb，再插入其余兩人結(jié)果與上述相同，因此出現(xiàn)了重復(fù)排列，糾正的方法是：不用從兩對夫妻中任選一對先排列，只需指定其中一對先排列，再排其余兩人就可以完成.

點評：這正是采用“插空法”特別值得注意的問題，由于“造空”的元素個數(shù)與“插入”元素個數(shù)相同，因此只需先“指定”其中兩個元素“造空”，即可克服重復(fù)排列的發(fā)生！于是就有了問題的另一種解法.

先分步再分類：第一步，從三對夫妻中任選一對，其余兩對先排分兩類情況：

（1）這兩對先排且有一對相鄰：從兩對中任選一對，剩下一對站成一排，再把前面從兩對中選出的那一對插在兩個人中間，插入的一對再全排列，故方法數(shù)為

（2）這兩對先排且夫妻互不相鄰：將其中一對全排列，然后從最后一對中任選一人插入夫妻中間，再把最后一人排在兩邊，故方法數(shù)為

第二步，把最初選出的一對夫妻插入其中，并保證僅有最后插入隊伍的夫妻是相鄰的，所以方法數(shù)共有

有誤必有因，有思才有悟，我們雖然找到了錯因，也悟出了克服差錯的方法，我們的思考是否可以停止呢？其實從整體上我們還是沒有發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，我們還要繼續(xù)思考，到底什么才是問題的本質(zhì)呢？我們前面用了“退一步海闊天空”的思想，現(xiàn)在我們要“進(jìn)一步領(lǐng)略風(fēng)光”，“三對”問題與“兩對”問題聯(lián)系是怎樣的？其實“三對”只不過是“兩對”增加了一對，方法數(shù)有怎樣的關(guān)系呢？于是問題就有了第三種解法：

解法三：對于“三對”問題我們可以先考慮已經(jīng)排好了“兩對”再增加一對.

（1）三對夫妻都相鄰的方法數(shù)：只需在已經(jīng)排好的兩對都相鄰的（方法數(shù)為基礎(chǔ)上，把最后一對插入前面“兩對”及兩邊的3個空當(dāng)中，插法為

（2）三對夫妻僅有兩對相鄰的方法數(shù).

所以，三對夫妻僅有兩對相鄰的方法數(shù)為144.

（3）三對夫妻僅有一對相鄰的方法數(shù).

由分類計數(shù)和分步計數(shù)原理得三對夫妻僅有一對相鄰的方法數(shù)為

（4）三對夫妻互不相鄰的方法數(shù).

由分類計數(shù)和分步計數(shù)原理得三對夫妻互不相鄰的方法數(shù)為8（20+8+2）=240.

由此可見我們不但解決了問題本身，還發(fā)現(xiàn)了本質(zhì)規(guī)律，為學(xué)生開辟出探究之路，“四對夫妻”、“五對夫妻”……都是可以解決的！這里我們不僅很好地運(yùn)用了“分類與整合思想”，還把數(shù)列中學(xué)到的“遞推思想”有效遷移到排列組合中，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的相互融合.

四、探尋規(guī)律

數(shù)學(xué)思維追求簡約自然，數(shù)學(xué)最顯著的特點是高度抽象性與廣泛應(yīng)用性，提高學(xué)生對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和概括的能力，也是數(shù)學(xué)教育教學(xué)根本目的之一.

設(shè)f（m，n）（m，n∈N，m≥1）表示“m對夫妻站成一排，僅有n對夫妻相鄰的方法數(shù)”.

由此可得遞推公式：

（規(guī)定：當(dāng)m

五、問題啟示

教學(xué)過程如何發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用一直是人們關(guān)注的熱點，關(guān)于“引導(dǎo)作用”有時會被曲解，引路就是要引導(dǎo)、開拓，有路要引路，無路要開路，很多老師都覺得只有把老師經(jīng)過“咀嚼”后得到的“精華”奉獻(xiàn)給學(xué)生才能發(fā)揮“引導(dǎo)作用”，我們覺得關(guān)鍵是教師不要越俎代庖，最關(guān)鍵的是不要代替學(xué)生“思考”，要允許學(xué)生犯錯誤，也允許教師犯錯誤，最為重要的是幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，學(xué)會在困難面前不退縮，不氣餒，勇于進(jìn)取，敢于擔(dān)當(dāng)，善于探索，理清問題的本質(zhì)，舉一反三，有誤必有因，有思才有悟，堅持不懈就一定能為提高學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)做出積極的貢獻(xiàn).

1.李文明.創(chuàng)新之路在腳下無限風(fēng)景在眼前［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（6）.

2.李文明.回眸課標(biāo)導(dǎo)數(shù)題把握備考方向標(biāo)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（10）.