基于函數(shù)觀點(diǎn)的“數(shù)列的概念”教學(xué)實(shí)踐與思考

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)　殷偉康

基于函數(shù)觀點(diǎn)的“數(shù)列的概念”教學(xué)實(shí)踐與思考

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)殷偉康

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步理解．由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注意體現(xiàn)基本概念的來龍去脈.在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實(shí)例到抽象數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì).”因此，高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中無論是課堂教學(xué)的流程設(shè)計(jì)，還是問題的設(shè)置都要盡可能返璞歸真，也就是說要講清概念是怎么來的，怎樣定義的，為什么這樣定義，而且要順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維水平.通過探究，讓學(xué)生體驗(yàn)概念的產(chǎn)生，經(jīng)歷概念的形成、生成過程，在參與探究和建構(gòu)概念過程中，逐步認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).以“數(shù)列的概念”為例，闡述運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)來研讀教材，進(jìn)行概念教學(xué)的設(shè)計(jì)、實(shí)踐和思考.

一、從函數(shù)角度研讀“數(shù)列的概念”教材內(nèi)容

“數(shù)列的概念”是蘇教版《數(shù)學(xué)》（必修5）第2章“數(shù)列”的起始課，數(shù)列是繼函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和幾個(gè)連續(xù)的具體函數(shù)之后，學(xué)習(xí)的一類新型、離散型的函數(shù)模型，是函數(shù)的基本概念、性質(zhì)的進(jìn)一步深化與運(yùn)用．因此，教師要從函數(shù)角度準(zhǔn)確地把握教材設(shè)計(jì)意圖，并潛心研讀“數(shù)列的概念”教材內(nèi)容，才能更好地為實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造性地使用教材做好鋪墊.教材上，通過生產(chǎn)、生活中常見的情境問題發(fā)現(xiàn)數(shù)列，從而來闡述數(shù)列的重要性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，具體安排是：通過對座位、彗星出現(xiàn)的年份、細(xì)胞分裂和奧運(yùn)會獲得金牌數(shù)目的統(tǒng)計(jì)實(shí)例引發(fā)學(xué)生思考這些問題有何共同特點(diǎn)？激發(fā)學(xué)生自主探究，嘗試歸納出數(shù)列定義，數(shù)列實(shí)際上就是按照一定順序排列著的一列數(shù).然后編者又從函數(shù)的角度出發(fā)，將數(shù)列看成是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù).通過數(shù)列的列表、圖像、通項(xiàng)公式等幾種簡單表示法，讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)列是一種函數(shù)，是刻畫離散過程的一種重要數(shù)學(xué)模型.如果按教材編寫的內(nèi)容進(jìn)行照本宣科，將結(jié)論直接告知給學(xué)生，然后快速切換到“數(shù)列概念的運(yùn)用”，這樣的教學(xué)過程，學(xué)生難免對“數(shù)列是一種特殊的函數(shù)”感到“突?！?本節(jié)課的重點(diǎn)是揭示數(shù)列與函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，本質(zhì)上數(shù)列是以正自然數(shù)集或它的有限子集為定義域的“離散型”函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式則是相應(yīng)的函數(shù)解析式.基于以上的認(rèn)識，筆者提出了嘗試運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)來進(jìn)行“數(shù)列的概念”教學(xué)的設(shè)想與實(shí)踐.

二、從函數(shù)角度設(shè)計(jì)“數(shù)列的概念”教學(xué)方案

1.創(chuàng)設(shè)情境，觀察歸納，建構(gòu)概念

情境1某劇場有30排座位，第一排有20個(gè)座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個(gè)座位，那么各排的座位數(shù)依次為：20，22，24，26，28，….

情境2正偶數(shù)從小到大排列依次為：2，4，6，8，10，….

情境3某種細(xì)胞，如果每個(gè)細(xì)胞每小時(shí)分裂為2個(gè)，那么每過1小時(shí)，1個(gè)細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)依次為：1，2，4，8，16，….

情境4常熟市2015年2月16日至20日的全天最低氣溫（單位：攝氏度）依次是：1.1，-1.2，2.3，-0.4，-0.8.

情境5從1984年到2012年我國共參加了8次奧運(yùn)會，各次參賽獲得的金牌總數(shù)依次為：15，5，16，28，32，51，38.

問題1：從數(shù)學(xué)角度觀察思考以上問題有什么特點(diǎn)？

問題2：從數(shù)的角度分析它們有何共同特點(diǎn)？如何表述？

設(shè)計(jì)意圖：通過現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)列模型，讓學(xué)生在貼近生活的實(shí)際問題中探索新知，體驗(yàn)數(shù)學(xué)是生動的、源于生活的.其次，通過觀察思考所給問題中各組數(shù)字的共同特點(diǎn)，感悟數(shù)列是按照一定次序排列的，讓學(xué)生用語言來表達(dá)對數(shù)列概念的直觀認(rèn)識、理解、體驗(yàn)，從而概括出數(shù)列概念——按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列（sequence of number）．

2.辨析探究，揭示本質(zhì)，理解概念

問題3：1，2，6，8，10是數(shù)列嗎？10，8，6，2，1是數(shù)列嗎？它們是同一數(shù)列嗎？

問題4：1，－1，1，－1，1，－1，…是數(shù)列嗎？為什么？

問題5：數(shù)列與我們學(xué)過的哪一個(gè)數(shù)學(xué)概念很像？它們一樣嗎？能總結(jié)出二者之間的區(qū)別嗎？

問題6：（追問）數(shù)列不同于數(shù)集，最根本的原因是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過以上問題的辨析，使學(xué)生理解數(shù)列中的數(shù)只要求按一定次序排列，并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)．通過交流、辨析，讓學(xué)生能夠更好地掌握數(shù)列概念中的關(guān)鍵詞，更透徹地理解數(shù)列概念．從數(shù)列的表示形式上引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想（集合、數(shù)集），探究數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別，通過追問，加深對數(shù)列概念的理解.

3.注重關(guān)聯(lián)，合理表征，深化概念

將數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（首項(xiàng)），排在第二位的數(shù)稱為第2項(xiàng)，…，排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng).所以，數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}.

問題7：對于具體數(shù)列而言，僅用記號{an}表示，并不能反映該數(shù)列的實(shí)際內(nèi)涵，那么，有哪些方法可以表示呢？如情境3和問題4中的數(shù)列，嘗試用多種方法表示這兩個(gè)數(shù)列.

學(xué)生1：用列表的方法表示情境3中的數(shù)列（如表1）.

表1

學(xué)生2：用圖像的方法表示情境3中的數(shù)列（如圖1），其中序號n作為橫坐標(biāo)，對應(yīng)的項(xiàng)an作為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)，即可.

圖1

學(xué)生3：用式子an=2n－1（n∈N*）表示情境3中的數(shù)列.

問題8：分別利用表格、圖像、公式表示了同一數(shù)列.這三種表示法的共同特征是什么？都涉及哪些量，它們之間有什么關(guān)系？

問題9：三種表示方法都反映了項(xiàng)與序號的對應(yīng)關(guān)系.這種對應(yīng)關(guān)系有什么特征？

問題10：數(shù)列中的每一項(xiàng)與其序號之間形成了一種一一對應(yīng)關(guān)系（如表2），你以前見過類似的情況嗎？

表2

問題11：數(shù)列是函數(shù)嗎？你能說出為什么嗎？函數(shù)的要素是什么？

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)列中項(xiàng)的序號n與an是逐一對應(yīng)的，符合函數(shù)的最顯著的特征——單值對應(yīng)，由此可猜想數(shù)列是函數(shù)，顯得自然而然、水到渠成.

問題12：類比函數(shù)可知，數(shù)列{an}中，什么相當(dāng)于函數(shù)的自變量？什么相當(dāng)于函數(shù)的因變量？什么相當(dāng)于函數(shù)的對應(yīng)法則？數(shù)列的“定義域”是什么？“解析式”又是什么？

數(shù)列的“定義域”是正整數(shù)集N*或它的有限子集{1，2，3，…，k}其中k∈N*.“解析式”就是數(shù)列的通項(xiàng)公式.

問題13：如何由函數(shù)y=f（x）得到相應(yīng)的數(shù)列？

如果f（i）（i=1，2，3，…）有意義，只要x可以取從1開始的正整數(shù)，那么我們就可以得到一個(gè)數(shù)列f（1），f（2），f（3），…，f（n），….

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列即函數(shù)，建立起數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系，an=f（n）（n∈N*），即數(shù)列是當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，所對應(yīng)的一列函數(shù)值，逐步揭示數(shù)列是函數(shù)的實(shí)質(zhì)，從而將數(shù)列概念成功納入到函數(shù)的概念體系中去，深化對數(shù)列概念的理解.

問題14：情境3中的數(shù)列可以用式子an=2n－1（n∈N*）來表示，這樣就可以建立從序號n到an的函數(shù).這種以n為自變量的函數(shù)解析式f（n）叫做數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，你能給通項(xiàng)公式下個(gè)定義嗎？

一般地，如果一個(gè)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

問題15：每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式嗎？若數(shù)列有通項(xiàng)公式，則它的通項(xiàng)公式唯一嗎？

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過學(xué)生討論、交流，因?yàn)槊刻斓臍鉁厥请S機(jī)的，所以情境4中的數(shù)列沒有通項(xiàng)公式；通項(xiàng)公式不唯一，以問題4中的數(shù)列為例，其通項(xiàng)公式可以用an=（－1）n－1表示，也可以用分段函數(shù)來表示.

問題16：結(jié)合情境3和問題4中的數(shù)列的圖像，說出它們與以往學(xué)過的函數(shù)圖像有何區(qū)別？

設(shè)計(jì)意圖：通過觀察圖像，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖像是由一群孤立的點(diǎn)組成，而不是連續(xù)的曲線，讓學(xué)生直觀感知數(shù)列是離散型函數(shù)，其離散型的根源是自然數(shù)的離散性.通過反思，進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)列的本質(zhì)是一種特殊的函數(shù)，有利于促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

4.數(shù)學(xué)運(yùn)用，合理猜想，鞏固概念

問題17：寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：

（3）0，2，0，2．

設(shè)計(jì)意圖：通過“階梯式”問題的探究，讓學(xué)生體驗(yàn)、歸納、尋找an與序號n之間的對應(yīng)關(guān)系an=f（n）的方法，整體把握，局部考慮，歸納猜想；合理變形，驗(yàn)證猜想，探求規(guī)律.

三`、從函數(shù)角度反思“數(shù)列的概念”教學(xué)過程

李邦河院士說過：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也.”數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基石，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的最好載體，為什么要提出這個(gè)概念？如何適當(dāng)?shù)囟x概念？這個(gè)新概念給我們帶來了什么？這些問題也許比概念本身更重要.但是許多教師并不重視概念教學(xué)，往往采用“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”的教學(xué)方式，為了有更多的時(shí)間進(jìn)行解題教學(xué)，課堂上概念講解一帶而過，不愿意花時(shí)間挖掘隱藏在概念背后的數(shù)學(xué)文化素材和深刻的數(shù)學(xué)思想方法，導(dǎo)致學(xué)生對概念內(nèi)涵的了解一知半解.

1.展現(xiàn)背景，讓數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生顯得自然

人教A版教科書在“主編寄語”中寫道：“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味.”上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，突出了數(shù)列的函數(shù)背景，通過創(chuàng)設(shè)具體的實(shí)際背景問題，引導(dǎo)學(xué)生參與對數(shù)列概念的探究、發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)過程，讓數(shù)列概念從學(xué)生頭腦中自然流淌出來，即讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、比較、辨析、概括的過程，在認(rèn)知沖突與解決過程中，建構(gòu)數(shù)列概念.通過數(shù)列與數(shù)集異同進(jìn)行辨析，加速對數(shù)列概念的內(nèi)化理解，形成對數(shù)列概念的正確認(rèn)識.引導(dǎo)學(xué)生通過對數(shù)列進(jìn)行多種表征（即對問題7的探究），發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，猜想數(shù)列是函數(shù)，進(jìn)而驗(yàn)證自己的發(fā)現(xiàn)，從而逐步揭示數(shù)列是函數(shù)的實(shí)質(zhì)，讓數(shù)列自然地融入函數(shù)，還其本來面目，使數(shù)列概念得以深化，函數(shù)概念得以進(jìn)一步豐富發(fā)展.通過對問題11、12的探究，從中自然產(chǎn)生數(shù)列通項(xiàng)公式的概念.

2.揭示本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)列概念本質(zhì)的理解

本節(jié)課的重點(diǎn)是數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，而常規(guī)做法是教師引導(dǎo)學(xué)生分析項(xiàng)與序號的對應(yīng)特征后，馬上得出數(shù)列是特殊的函數(shù)（值）.這樣的教學(xué)，實(shí)質(zhì)上仍然是“告訴教學(xué)”.筆者認(rèn)為數(shù)列與函數(shù)關(guān)系的得出過程應(yīng)該是自然的，即教師要合理地引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識數(shù)列的本質(zhì)是一種特殊的函數(shù).在“注重關(guān)聯(lián)，合理表征，深化概念”教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中，筆者通過恰當(dāng)?shù)膯栴}引領(lǐng)，在學(xué)生原有的對函數(shù)概念理解的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，從而建立起數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值、序號為自變量，以序號為橫坐標(biāo)，對應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)畫出的圖像是一群孤立的點(diǎn)，從而使學(xué)生對數(shù)列本質(zhì)有更清晰的認(rèn)識和把握.基于函數(shù)觀點(diǎn)的“數(shù)列的概念”教學(xué)，把數(shù)列的學(xué)習(xí)研究置放在函數(shù)的大背景中，將數(shù)列的概念與函數(shù)的概念緊密聯(lián)系在一起，即將數(shù)列的概念融入函數(shù)的概念之中，有利于將“概念組織為更有層次性、立體化的結(jié)構(gòu)體系”．這種別開生面的概念教學(xué)，既能夠“從函數(shù)觀點(diǎn)、模型的觀點(diǎn)，連續(xù)與離散關(guān)系的角度認(rèn)識數(shù)列，突出數(shù)列的本質(zhì)”，又能夠“從離散現(xiàn)象認(rèn)識連續(xù)現(xiàn)象”，深化對函數(shù)的理解，豐富函數(shù)的內(nèi)涵，更有利于學(xué)生從函數(shù)角度去考慮數(shù)列問題，拓寬解題思路，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.陸學(xué)政.“多元表征理論”指導(dǎo)下的“數(shù)列概念”教學(xué)［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2012（4）．

2.渠東劍.返璞歸真自然而然——“數(shù)列的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)的思考［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版），2011（5）．

3.吳進(jìn)，殷偉康.問題引領(lǐng)誘發(fā)探究促進(jìn)建構(gòu)——數(shù)列的概念教學(xué)實(shí)錄與反思［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（9）．

4.夏樸.基于問題的探究性學(xué)習(xí)——“數(shù)列的概念及簡單表示”教學(xué)實(shí)錄與反思［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2015（9）．