基于目標(biāo)矩陣的高中數(shù)學(xué)教材分析——以“兩角差的余弦公式”課題為例

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院　黃丹玲

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院　徐章韜

基于目標(biāo)矩陣的高中數(shù)學(xué)教材分析——以“兩角差的余弦公式”課題為例

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院黃丹玲

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院徐章韜

一、從一個現(xiàn)象說起

“兩角差的余弦公式”課題是高中數(shù)學(xué)必修4的內(nèi)容，也是三角恒等變換的起始內(nèi)容，在人教版教材中，它被安排在三角函數(shù)和平面向量之后學(xué)習(xí)，而在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂中教師也往往按照這條主線依次進行教學(xué)，并未做什么變化.但近日筆者發(fā)現(xiàn)，有些教師將“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”這一部分內(nèi)容放在三角恒等變換之后進行教學(xué)，教師利用三角恒等變換的各種公式直接推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，從而避免了部分學(xué)生對教材中利用三角函數(shù)線來推導(dǎo)誘導(dǎo)公式的方法難以消化和理解的難題，也幫助學(xué)生理解和記憶了有關(guān)三角函數(shù)的各種公式.如此看來，這種教學(xué)方式似乎更加有利于提高教學(xué)效果，但采用這樣的教學(xué)方式又需要怎樣的前提條件和注意事項呢？接下來，筆者就對該課題進行教材分析，望借此得出結(jié)論與大家一起探討學(xué)習(xí).

二、有關(guān)教材分析

教材是為了實現(xiàn)一定的教學(xué)目標(biāo)，將構(gòu)成教材的各種要素，以及它們之間的相互關(guān)系所構(gòu)成的一種系統(tǒng).而在這個教材系統(tǒng)中，各要素之間的邏輯關(guān)系顯得尤為重要，我們將這種關(guān)系稱為學(xué)習(xí)的層級關(guān)系或要素間的形成關(guān)系，它決定了整個教材的層級結(jié)構(gòu).教材分析是指對于給定的教材，教師在教學(xué)中，應(yīng)通過對教學(xué)內(nèi)容的分析，找出教材的層級結(jié)構(gòu)，即找出構(gòu)成教材的要素及其相互間的層級關(guān)系（形成關(guān)系），以及根據(jù)所找出的層級結(jié)構(gòu)對教學(xué)內(nèi)容進行序列化.

教材分析的目的不是讓每個人得出相同的結(jié)果，相反，它依據(jù)教師的教材觀，以一定的方法向教師展現(xiàn)一定的內(nèi)容或傳達一定的信息，以期望對教師的實際教學(xué)工作能提供有效的幫助.教師對教材的分析是教師備課中的一項重要工作，教師在編寫教案時，總要先依據(jù)教學(xué)計劃確定教學(xué)目的，然后對教材和學(xué)情進行透徹的分析，這之后才能繼續(xù)編寫教學(xué)過程，完成整個教學(xué)設(shè)計.因此，教材分析是教師備好課、上好課、達到預(yù)期的教學(xué)目的和出色地完成教學(xué)任務(wù)的重要基礎(chǔ).同時，由于教材分析是對教材整體性、客觀性的把握，是教師的創(chuàng)造性勞動，需要教師擁有系統(tǒng)化的知識和豐富的實踐經(jīng)驗，因此，教材分析也是對教師教學(xué)能力和創(chuàng)造能力的一種體現(xiàn).

由于教材是一種包含了人類思想、觀點的一種定性系統(tǒng)，我們并不能像許多物理系統(tǒng)那樣去進行定量分析，而只能采用邏輯的、層級的分析方法來進行科學(xué)的分析.所以中小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析的方法主要有學(xué)習(xí)層級法、課題分析法、邏輯分析法、ISM法以及目標(biāo)矩陣法.在眾多的教材分析法中，目標(biāo)矩陣法不僅能夠提高教材分析的結(jié)構(gòu)化和有序化，而且其簡潔、方便的特點也便于廣大信息技術(shù)教師的理解和掌握.

三、目標(biāo)矩陣法

1.目標(biāo)矩陣原理

教學(xué)目標(biāo)分析方法有很多，所謂教學(xué)目標(biāo)分析，就是按照認(rèn)知理論原理和知識領(lǐng)域中各教學(xué)目標(biāo)（知識點）的內(nèi)在邏輯關(guān)系，分解出教學(xué)目標(biāo)及各級子目標(biāo)，直至最低一級子目標(biāo)（預(yù)備知識），厘清各級教學(xué)子目標(biāo)之間的相互關(guān)系和順序.

ISM法（Interpretive Structural Modeling Method）是Warfield將圖論用于研究社會系統(tǒng)中復(fù)雜要素間關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)分析的一種方法.它的主要依據(jù)是有向圖模型和布爾矩陣，以人們的實際經(jīng)驗，在計算機的幫助下將一個復(fù)雜的系統(tǒng)分解成若干個子系統(tǒng)（要素），后來這種方法也用于教材分析.

目標(biāo)矩陣的方法與ISM法具有相同的原理，但與ISM法相比，目標(biāo)矩陣法避免了許多復(fù)雜的計算，僅以一些簡單的操作就能達到ISM法的效果，因此，目標(biāo)矩陣法可以看做優(yōu)化了的ISM法.用目標(biāo)矩陣法分析教材，無論是分析知識點與知識點之間的關(guān)系，還是課題與課題之間的關(guān)系，最后都可以用圖形來表示它們之間的邏輯關(guān)系，因此，這種方法綜合了其他所有教材分析方法的優(yōu)點.目標(biāo)矩陣方法在學(xué)校教學(xué)中不僅應(yīng)用廣泛而且還取得了良好的教學(xué)效果.

2.目標(biāo)矩陣的具體實施步驟

運用目標(biāo)矩陣法分析教材，主要有以下五個步驟：制定教學(xué)目標(biāo)，決定具有形成關(guān)系的直接低級目標(biāo)，列出目標(biāo)矩陣，按目標(biāo)水平分類，形成關(guān)系圖.

（1） 制定教學(xué)目標(biāo)

“兩角差的余弦公式”是推導(dǎo)出任意兩角之差的余弦公式，并進行證明的一項學(xué)習(xí)內(nèi)容.該學(xué)習(xí)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)（G）是：探索發(fā)現(xiàn)并能用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出“兩角差的余弦公式”，理解數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，增強學(xué)生向量方法應(yīng)用的意識，會運用公式進行簡單的化簡求值.

通過分析，得出“兩角差的余弦公式”課題的前提知識和各類教學(xué)目標(biāo)，如表1所示.

表1　課題的前提知識和各類教學(xué)目標(biāo)

（2） 決定具有形成關(guān)系的直接低級目標(biāo)

通過分析不僅可以給出指定教學(xué)目標(biāo)的低級目標(biāo)，而且可以給出各目標(biāo)間的直接形成關(guān)系，即各目標(biāo)的直接低級目標(biāo).以這種方法求得“兩角差的余弦公式”課題中各目標(biāo)的直接低級目標(biāo)，如表2所示.

表2　課題各目標(biāo)的直接低級目標(biāo)

圖1　目標(biāo)矩陣（Ⅰ）

（3） 目標(biāo)矩陣

目標(biāo)矩陣是基于直接低級目標(biāo)（表2）作出的，將各種水平的低級目標(biāo)在橫軸與縱軸上進行排列，排列的順序沒有特殊要求.

以位于橫軸上的目標(biāo)為高級目標(biāo)，若位于縱軸上的某一目標(biāo)是橫軸上某一目標(biāo)的直接低級目標(biāo)，則在二者交點的位置處置1，例如，位于橫軸上的低級目標(biāo)1是以R1作為直接低級目標(biāo)的，因此在這兩個目標(biāo)的交點位置處置1.以此類推，對應(yīng)于橫軸上的各個高級目標(biāo)，按照表2給出的直接低級目標(biāo)，分別在相應(yīng)的交點位置處置1，由此可得到圖1這樣的目標(biāo)矩陣（Ⅰ）.

（4） 按目標(biāo)水平分類

圖2　目標(biāo)矩陣（Ⅱ）

根據(jù)目標(biāo)的水平不同，可對目標(biāo)進行分類.目標(biāo)分類可通過對目標(biāo)矩陣的一定操作而得到.這種操作可按從低向高的方向進行.首先觀察目標(biāo)矩陣（I）的橫軸，對應(yīng)于R1、R2、R3、R4等4個低級目標(biāo)所在的列均無“1”出現(xiàn)，這表示R1～R4這些低級目標(biāo)不存在直接低級目標(biāo)，所以，它們是目標(biāo)層次結(jié)構(gòu)中的底層.實際上這些目標(biāo)是作為課題學(xué)習(xí)的前提知識，因此作為目標(biāo)體系的底層是容易理解的.位于底層的低級目標(biāo)是一種水平最低的低級目標(biāo)，根據(jù)實際的目標(biāo)分類情況，我們稱之為第八類目標(biāo).觀察目標(biāo)矩陣（Ⅰ）的縱軸，將第八類目標(biāo)R1～R4所在行上的“1”全部置為空白，由此構(gòu)成圖2這樣的目標(biāo)矩陣（Ⅱ）.觀察圖2橫軸上各低級目標(biāo)所在的列，除第八類目標(biāo)R1～R4對應(yīng)的列外，目標(biāo)1、目標(biāo)5、目標(biāo)6和目標(biāo)8所在的列全部為空白（不存在“1”）.這類目標(biāo)被列為第七類目標(biāo).

如此下去，可得到低級目標(biāo)按不同水平分類表，如表3所示.

表3　各級目標(biāo)按不同水平分類表

基于上述的實際分類情況，各級目標(biāo)的水平隨分類號的數(shù)值增加而下降，第一類目標(biāo)為給定的教學(xué)目標(biāo)，是目標(biāo)體系中級別最高的教學(xué)目標(biāo).

（5） 形成關(guān)系圖

根據(jù)目標(biāo)的水平，將同一水平的目標(biāo)排在同一水平線上，第八類低級目標(biāo)位于最底層，第一類目標(biāo)位于最高層，并將各級間的形成關(guān)系以箭頭表示，由此得到圖3的形成關(guān)系圖.

圖3　形成關(guān)系圖

四、結(jié)論與感想

從以上基于目標(biāo)矩陣的教材分析可以看出，學(xué)生只要掌握了前提知識R2，即誘導(dǎo)公式中的cos（2kπ±α）=cosα，k∈Z，就可以實現(xiàn)對“兩角差的余弦公式”的推導(dǎo)與證明.所以將誘導(dǎo)公式放在三角恒等變換之后學(xué)習(xí)是完全可行的，這些誘導(dǎo)公式都可以通過兩角和（差）的正弦、余弦公式推導(dǎo)出來，這也為誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)和證明開辟了另外一條道路，教師可在實際教學(xué)中參考這種教學(xué)方式.當(dāng)然，教學(xué)方法的選擇不僅僅依賴于教材分析，教師還應(yīng)當(dāng)綜合考慮學(xué)生學(xué)習(xí)情況和心理特點等各種因素.數(shù)學(xué)是一個嚴(yán)謹(jǐn)而又聯(lián)系密切的邏輯系統(tǒng)，所謂“條條大路通羅馬”，教師應(yīng)當(dāng)靈活處理教材，真正做到因材施教，這樣才能提高課堂教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效率.

1.傅德榮，章慧敏．教育信息處理［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.