粘結(jié)壓電材料的梯度壓電壓磁層合中的界面裂紋分析

周春梅

(寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,寧夏固原 756000)

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粘結(jié)壓電材料的梯度壓電壓磁層合中的界面裂紋分析

周春梅

(寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,寧夏固原 756000)

分析了粘結(jié)壓電材料的梯度壓電壓磁層合中的界面裂紋，在非滲透性邊界條件情況下，假定材料物性參數(shù)呈指數(shù)變化，運(yùn)用Fourier變換將問題轉(zhuǎn)化為奇異積分方程.然后利用Guass-Chebyshev積分公式對(duì)奇異積分方程進(jìn)行數(shù)值求解，得到了裂紋尖端的應(yīng)力、電位移和磁通量強(qiáng)度因子.最后考察了裂紋長(zhǎng)度和梯度參數(shù)等因素對(duì)強(qiáng)度因子的影響.

功能梯度壓電壓磁材料;界面裂紋;奇異積分方程;應(yīng)力強(qiáng)度因子

壓電壓磁材料作為一種新型智能材料，近些年來，成為國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn).由于它有響應(yīng)快、精度高、頻域?qū)挼忍攸c(diǎn)，壓電壓磁材料被廣泛應(yīng)用于航天和醫(yī)療等方面.靳靜等[1]采用積分變換和奇異積分方程技術(shù)研究了壓電壓磁雙層材料界面裂紋斷裂的特性.馬鵬等[2]在假設(shè)壓磁材料沒有電勢(shì)，且在界面上壓電材料的電勢(shì)和壓磁材料的磁勢(shì)均為零的情況下，研究了壓電壓磁界面裂紋二維斷裂問題.趙興等[3]研究了界面性能由“彈簧”模型表征，材料性能沿厚度方向呈指數(shù)變化的非理想界面功能梯度壓電/壓磁層狀半空間結(jié)構(gòu)中的SH波.時(shí)朋朋等[4]分析了功能梯度壓電壓磁球?qū)ΨQ問題的靜力響應(yīng)，給出了不同梯度參數(shù)下結(jié)構(gòu)內(nèi)部徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力、電勢(shì)和磁勢(shì)的分布.孟廣偉等[5]提出了含孔功能梯度壓電材料板的力電耦合無網(wǎng)絡(luò)伽遼金法，結(jié)果表明此方法不但精度高，還可求解任意梯度函數(shù)的功能梯度壓電材料問題.

1 問題及邊界條件

粘結(jié)壓電材料的梯度壓電壓磁層中含有半長(zhǎng)為a的裂紋問題如圖1所示.x-y平面為橫觀各向同性.裂紋表面上受到反平面的力載荷τxy=τ(x)、平面內(nèi)的電位移Dy=D(x)及平面磁通量By=B(x).

圖1 粘結(jié)壓電材料的梯度壓電壓磁層合中的界面裂紋幾何模型

對(duì)于反平面問題，應(yīng)力分量只剩下兩個(gè)分量τxz和τyz；位移矢量只有一個(gè)w分量，其余的應(yīng)力分量都等于零.

壓電壓磁復(fù)合材料的本構(gòu)方程為

(1)

(2)

(3)

其中,τyz(k),By(k)和Dy(k)分別為反平面剪應(yīng)力、平面磁通量和平面電位移；ψk,wk和φk為反平面磁勢(shì)，位移和電勢(shì)；下標(biāo)k=1,2,3分別對(duì)應(yīng)區(qū)域D1,D2和D3.

反平面動(dòng)力學(xué)問題的控制方程為

(4)

設(shè)材料性質(zhì)沿y軸方向按指數(shù)函數(shù)梯度分布

(5)

其中,c0,e0,ε0,q0,d0,μ0,ρ0和β分別為剪切模量、壓電系數(shù)、介電常數(shù)、壓磁系數(shù)、磁電系數(shù)、導(dǎo)電率、密度和功能梯度參數(shù).

將(1-3)式代入(4)式并利用(5)式，得到材料的控制方程為

(6)

(7)

(8)

由此可得

(9)

該問題的邊界條件為[6]

(10)

(11)

(12)

2 求解

采用Fourier積分變換及其逆變換求解上面的控制方程得到位移、電勢(shì)和磁勢(shì)的表達(dá)式分別為

(14)

(15)

(16)

其中,Aij(s),Bij(s),Cij(s)(i,j=1,2),E(s)和F(s)都為未知函數(shù).

引入三個(gè)位錯(cuò)函數(shù)g1(x),g2(x)和g3(x)[7]

(17)

(18)

(19)

將(13)～(15)式代入(17)～(19)式中，并利用條件(11)可得

(20)

當(dāng)x∈[-a,a]時(shí)，可得

(21)

(22)

(23)

應(yīng)用Fourier積分變換和邊界條件(10)～(12)得到系數(shù)Aij(s),Bij(s)和Cij(s),(i=1,2,3;j=1,2,3).進(jìn)而由本構(gòu)方程和邊界條件得到應(yīng)力、電位移和磁通量的形式解為[8]

(24)

(23)式為奇異積分方程，可由Gauss-Chebyshev積分公式數(shù)值求解[9].

3 強(qiáng)度因子的數(shù)值計(jì)算

利用Chebyshev多項(xiàng)式動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子、電位移強(qiáng)度因子和磁通量強(qiáng)度因子為[4]

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

4 數(shù)值結(jié)果

假定在圖1中壓電材料和壓電/壓磁材料分別為PZT-4和BaTiO-CoFe2O4.數(shù)值結(jié)果由圖2和圖3給出.

由圖2可知，在不同β下，強(qiáng)度因子K3隨高度h變化，當(dāng)固定β值時(shí)，裂紋尖端處的強(qiáng)度因子隨著材料帶寬h的增大而減小，從某一時(shí)刻開始，幾乎趨于一個(gè)定值；當(dāng)固定h值時(shí)，裂紋尖端處的強(qiáng)度因子隨著材料梯度參數(shù)β的增大而減小.

從圖3可以看出，在不同h下，強(qiáng)度因子K3隨裂紋半長(zhǎng)a的變化，當(dāng)固定h值時(shí)，裂紋尖端處的強(qiáng)度因子隨著裂紋半長(zhǎng)a的增大而增大；當(dāng)固定a值時(shí)，裂紋尖端處的強(qiáng)度因子隨著材料帶寬h的增大而減小.

圖2 不同β下，強(qiáng)度因子K3隨高度h的變化

圖3 不同h下，強(qiáng)度因子K3隨裂紋半長(zhǎng)a的變化

5 結(jié)論

分析了粘結(jié)壓電材料的梯度壓電壓磁層合中的界面裂紋.在非滲透性邊界條件下，利用Guass-Chebyshev積分公式和奇異積分方程對(duì)問題進(jìn)行了求解，最后給出了裂紋尖端強(qiáng)度因子受材料特性及裂紋長(zhǎng)度的影響規(guī)律，即裂紋尖端強(qiáng)度因子隨著裂紋半長(zhǎng)的增大而增大，隨著材料梯度參數(shù)的增大而減小，隨著材料帶寬的增大而減小.

[1] 靳靜,馬鵬.壓電壓磁雙層材料界面裂紋斷裂特性進(jìn)一步分析[J].工程力學(xué),2013,30(6):327.

[2] 馬鵬,馮文杰,靳靜.壓電壓磁雙層材料界面二維裂紋分析[J].工程力學(xué),2011,28:163.

[3] 趙興,田若萌,趙存寶,等.非理想界面功能梯度壓電/壓磁層狀半空間結(jié)構(gòu)中的SH波[J].工程力學(xué),2014,31(5):251.

[4] 時(shí)朋朋,李星.功能梯度壓電壓磁球?qū)ΨQ問題的靜力響應(yīng)[J].工程力學(xué)，2014,31(5):56.

[5] 孟廣偉,王暉,周立明,等.含孔功能梯度壓電材料板的力電耦合無網(wǎng)絡(luò)伽遼金法[J].中南大學(xué)學(xué)報(bào)，2015,46(11):4015.

[6] DEEG W F.TheAnalysisofDislocation,CrackandInclusionProbleminPiezoelectricSolids[D].California:Stanford University,1980.

[7] ERDOGAN F,GUPTA G D.On the numerical solution of singular integral equations[J].QuarterlyofAppliedMathematics.1972,1:525.

[8] LI C Y,WENG G J.Anti-plane crack problem in functionally graded piezoelectric materials[J].ASMEJournalofAppliedMechanics,2002,69:481.

[9] Muskhelishvili.奇異積分方程[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1966.

(責(zé)任編輯 孫對(duì)兄)

Analysis of the interfacial crack of functionally graded piezoelectric/piezomagnetic layers bonded to the piezoelectric materials

ZHOU Chun-mei

(School of Mathematics and Computer Science,Ningxia Teachers Univercity,Guyuan 756000,Ningxi,China)

In this paper,the interfacial crack of functionally graded piezoelectric and piezomagnetic layers bonded to the piezoelectric materials is analyzed.In the impermeable boundary conditions,based on the assumption of the material property parameters to the exponential,the question is turned into the singular integral equations using Fourier transform.Then,the numerical results of the singular integral equations are obtained through the Guass-Chebyshev integral formula.As a result,the stress intensity factors,electric displacement factors and piezomagnetic intensity factors at crack tips are obtained.In the end,the effects of material graded parameter and the length of the crack on the intensity factors are explored.

functionally graded piezoelectric/piezomagnetic materials;interfacial crack;singular integral equation;stress intensity factor

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.06.008

2016-01-10;修改稿收到日期:2016-03-20

寧夏高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究資助項(xiàng)目(njg201422218,ZD20142221)；寧夏自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(NZ16257，NZ16253，NZ16255)

周春梅(1982—),女，寧夏固原人,講師，碩士.主要研究方向?yàn)閺?fù)分析及其在力學(xué)中的應(yīng)用.

E-mail:453315811@qq.com

O 343.7

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1001-988Ⅹ(2016)06-0038-04