定理（公式）教學(xué)的優(yōu)秀案例分析

趙紅芳

定理、公式教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有很重要的地位，而精心的教學(xué)設(shè)計在課堂教學(xué)更是有突出的作用。文章將借助優(yōu)秀的案例，從三個方面對定理、公式教學(xué)設(shè)計進(jìn)行分析。

1.定理（公式）教學(xué)在課堂教學(xué)的地位

2.定理（公式）教學(xué)的幾個基本環(huán)節(jié)

3.定理（公式）教學(xué)的主要環(huán)節(jié)研究以及每個環(huán)節(jié)要注意的問題。

新課標(biāo)中指出：數(shù)學(xué)作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的一門工具學(xué)科，不僅是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)；也是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。

“素養(yǎng)”比能力的含義更為廣泛，它與能力的不同點表現(xiàn)為：能力既可以是與生俱來的，也可以是后天形成的；素養(yǎng)則是“可教、可學(xué)、可測”的，是經(jīng)后天學(xué)習(xí)獲得的，它可以通過有意地人為教育加以規(guī)劃、設(shè)計、培養(yǎng)，是經(jīng)由課程教學(xué)引導(dǎo)學(xué)習(xí)者賬期習(xí)得的。從素質(zhì)改進(jìn)為素養(yǎng)，再到現(xiàn)在的核心素養(yǎng)，這在教育理念上來說非常大的進(jìn)步，同時也為我們的教育指明了方向。

新課標(biāo)對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要求是三維目標(biāo)，這就是我們進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的努力方向。如何引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，我們在教學(xué)設(shè)計中要認(rèn)真進(jìn)行研究。

第一部分：定理（公式）教學(xué)在課堂教學(xué)的地位

定理教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，是運算的主要依據(jù)，是證明后繼命題的依據(jù)。在解答和論證數(shù)學(xué)問題時離不開定理公式。定理本身的推證也是傳授數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基本手段，一個定理掌握的好壞，對提高分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力起著至關(guān)重要的作用。

傳統(tǒng)的教法是先出示定理公式的內(nèi)容，接著就介紹定理公式的運用，學(xué)生只是被動地接受定理公式，對于定理公式的得來很是突兀，甚至學(xué)生都未分清楚定理的條件和結(jié)論，更不用說提高學(xué)生的推理能力和自我學(xué)習(xí)能力。

從教育與發(fā)展心理學(xué)的特點出發(fā)，定理與公式教學(xué)的基石是探究發(fā)現(xiàn)：通過一類具有本質(zhì)共性的個體解決，抽象概括，得到此類問題一般性條件與解決的基本范式，進(jìn)而得到基本定理與公式。重視學(xué)生數(shù)學(xué)原理的認(rèn)知生成、探究過程對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有基本的重要性。

第二部分：定理（公式）教學(xué)的幾個基本環(huán)節(jié)、

一般而言，定理與公式的教學(xué)應(yīng)經(jīng)過以下幾個環(huán)節(jié)：

1.中心問題提出；

2.通過典例同類問題，引導(dǎo)學(xué)生探究個體解法；

3.把握共性問題本質(zhì)與解決問題的共性特征，歸納出解決普遍性問題的一般性經(jīng)驗方法；

4.給出教材定理公式；

5.對定理公式精加工，包括條件、定理中的關(guān)鍵詞、邏輯意義以及記憶方法進(jìn)行深入而細(xì)化的分析；

6.結(jié)合例題或習(xí)題，幫助學(xué)生形成應(yīng)用公式、定理解題的規(guī)范性步驟與技能；

7.定理公式的精練；引導(dǎo)學(xué)生建立良好的知識結(jié)構(gòu)，深刻把握公式定理背后所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法與一般性策略。

第三部分：定理（公式）教學(xué)主要環(huán)節(jié)研究

定理公式教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有著重要的基礎(chǔ)性的地位，我們在做課堂教學(xué)設(shè)計的時候必須下足功夫、做足文章，讓定理公式教學(xué)達(dá)到最好的教學(xué)實效。改變原有的教學(xué)方式，用新的理念指導(dǎo)教學(xué)，做好定理公式教學(xué)，以提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力為目標(biāo)。為了真正實現(xiàn)此目標(biāo)，我從以下三個主要環(huán)節(jié)進(jìn)行分析。

1.定理的引入

定理是人們在觀察的基礎(chǔ)上通過比較分析、歸納概括成命題，再加以證明而得到的。因此，在引入定理公式時，我們應(yīng)該遵循上述的客觀規(guī)律，即根據(jù)教和學(xué)的實際，提出問題，創(chuàng)造情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想去發(fā)現(xiàn)定理公式。這樣引入不但使學(xué)生對定理印象深刻，而且對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)是極有好處的。同時也體現(xiàn)了教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、訓(xùn)練為主線的教學(xué)思想。具體做法有

以下：

（1）通過實例引入。

案例1：九年級在講“垂徑定理”在引入時，可提出這樣一個實際問題：趙州橋歷史悠久，是世界上現(xiàn)存最早、保存最好的巨大石拱橋。它的主橋是圓弧形，跨度（弧所對的弦的長）為37.4m，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.2m，我還若想知道我主橋拱的半徑是多少，你能幫我設(shè)計一個方案并計算嗎？

顯然，學(xué)生用舊知識是無法解決。因此。我們必須繼續(xù)學(xué)習(xí)，從而引出“垂徑定理”。

（2）通過模型引入

案例2：七年級講“同位角相等，兩直線平行”的定理時，教師引入時，可設(shè)問啟導(dǎo)：平面內(nèi)兩直線在什么情況下可以平行？顯然用“永不相交”來判定是沒有可操作性的，于是可引導(dǎo)學(xué)生制作“三線八角”的模型，并轉(zhuǎn)動其中一條被截直線，在轉(zhuǎn)動的過程中發(fā)現(xiàn)“同位角相等，兩直線平行”的判定定理。

如圖，三根木條相交成∠1、∠2，固定木條b、c，轉(zhuǎn)動木條a ， 在木條a的轉(zhuǎn)動過程中，∠1與∠2的大小關(guān)系發(fā)生了什么變化？木條a、b的位置關(guān)系發(fā)生了什么變化？

建構(gòu)模型：三線八角

（3）通過作圖引入案例：九年級講“經(jīng)過三點的圓的定理”引入時，教師可這樣教學(xué)，過一點可以做無數(shù)圓，過兩點可以做無數(shù)圓，均讓學(xué)生在動手作圖中去體會，圓的確定是由圓心的位置和圓的半徑大小確定的，進(jìn)而提出作圖要求：過三點能否做圓？若能，可以做幾個？然后指導(dǎo)學(xué)生通過畫圖，發(fā)現(xiàn)定理：不在同一直線上的三點確定一個圓。

（4）通過計算引入

案例：九年級在講“韋達(dá)定理”在引入時，教師可提出問題：已知下列四個一元二次方程以及它們的根，請大家計算每一個方程的根之和、之積，并觀察、思考它們與方程中的系數(shù)有什么關(guān)系？

方程 根 兩根和

（） 兩根積

（）

2 3 5 6

-3 6 3 -18

-1 -4 -5 4

1 -3 -2 -3

通過計算，用不完全歸納的思想，猜想估計從而引入“韋達(dá)

定理”。

2.定理的證明或者驗證

在數(shù)學(xué)中，定理證明是一種思維形式，它是從題設(shè)出發(fā)，通過已知的概念或者真命題來判斷被證命題真實性的推理過程，在教學(xué)時必須做到以下幾點：

（1）分清定理的條件和結(jié)論，尤其是有些定理存在逆定理，更要引導(dǎo)學(xué)生分析清楚。

案例：勾股定理：條件是直角三角形。結(jié)論是：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

勾股定理逆定理：三角形的三邊滿足兩條較短邊的平方和等于最長邊的平方。結(jié)論是：這個三角形是直角三角形。

很多學(xué)生學(xué)完這一部分，腦子里留存的東西僅有一個等式：，甚至對代表什么都不理解，這就導(dǎo)致在應(yīng)用的過程中，稍作變式就又是完全不會。

（2）在定理證明時，教師不能照抄課本上的過程，而應(yīng)該將定理的證明過程設(shè)置成問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，并拾級而上，讓學(xué)生深刻理解證明過程。

案例1：勾股定理

我曾聽過一個剛參加工作的新教師對勾股定理的一個處理：直接給出勾股定理，教給學(xué)生如何應(yīng)用。定理的應(yīng)用著實是最后的歸結(jié)，但定理的證明、驗證過程的中數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)和能力提高卻是完全沒有實現(xiàn)的。

數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的計算能力、數(shù)學(xué)論證乃至數(shù)學(xué)決策等三大能力，而勾股定理教學(xué)正是一個恰當(dāng)?shù)睦?。一直以來，勾股定理的教學(xué)備受關(guān)注，有人稱“勾股定理是教學(xué)改革的晴雨表”。從20世紀(jì)五六十年代數(shù)學(xué)課程中的嚴(yán)格論證，到后來提倡“量一量、算一算”，再后來“告訴結(jié)論，做中學(xué)”，到現(xiàn)在的探究式等，勾股定理的教學(xué)見證著教改的“春花秋月”。

“量一量、算一算”的探究模式，試圖設(shè)置一個動手情景，讓學(xué)生在做中學(xué)，但這樣測量計算的辦法受到數(shù)學(xué)測量精確性的制約，又局限于數(shù)據(jù)的多少限制。實際上，特殊數(shù)據(jù)成立直接暗示，無異于告訴學(xué)生事實。所以此方法科學(xué)的探究方法。我們不管如何探究勾股定理，都必須體現(xiàn)“猜想—證明”這種數(shù)學(xué)思想方法的本原性意義。

回顧自己以前教勾股定理，主要采用歐幾里得的等積變形進(jìn)行證明。無論是弦圖、還是總統(tǒng)證法，都是采用等面積變形的方式推導(dǎo)出了勾股定理。這種構(gòu)思巧妙真很令人折服，但技巧性太強(qiáng)，難度太高，與新課程倡導(dǎo)的探究式學(xué)習(xí)方式不符。所以一直起到更好的探究方式出現(xiàn)。直到我校去年一節(jié)數(shù)學(xué)拓展課《拼圖與勾股定理》。

教學(xué)引入時用一段視頻，上海科技館的一個勾股定理立體驗證試驗。

如圖，我們可以看到中間是一個黃色的直角三角形，它分別以直角三角形的三邊為底做了一個底面是正方形的長方體。在這幾個長方體中有藍(lán)色的液體。當(dāng)旋轉(zhuǎn)這個的時候大家可以看到，兩個小長方體中的液體全部進(jìn)去大長方體中?？梢哉f明，兩個小長方體的體積之和等于大長方體的體積，而這三個長方體的高是一樣的，因此我們可以得到兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積，由此我們驗證了勾股定理。

用流水實驗探究兩個小長方體的體積等于一個大長方體的體積。這個實驗利用水的流動性轉(zhuǎn)移面積的實驗，巧妙地利用等高條件，將面積關(guān)系的比較轉(zhuǎn)化為體積比較，實驗的直觀性和效果都非常。根據(jù)體積與面積的分析，不用數(shù)字計算就可驗證勾股定理。這自然也成了本節(jié)課新亮點。

（3）要幫助學(xué)生總結(jié)定理公式的推證方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，重要的推證方法都是伴隨著定理的證明或者推演例題逐一介紹給學(xué)生的。其中有的方法教材中已經(jīng)給出名稱，例如九年級在將圓內(nèi)接四邊形判定以后，總結(jié)出了反證法，在講一元二次方程解法是就提出了配方法、換元法等等。 這些重要的數(shù)學(xué)方法，應(yīng)該幫助學(xué)生很好的掌握。還有一些重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，例如轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想，輔助線添加等等，在教學(xué)中教師應(yīng)該明確指出，讓學(xué)生逐漸體會、掌握。

3.定理的應(yīng)用

學(xué)生利用定理公式解題時，主要問題實在很多情況下不能聯(lián)想到有關(guān)定理公式，對所需定理共識的基本特征、主要變式不熟悉。建議可以采取以下措施：

（1）在講完定理公式證明后，要對定理公式進(jìn)行“變式”處理。即改變題目的條件和結(jié)論的形式，改變圖形的位置和形狀，對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，可加深學(xué)生對定理的理解。

（2）在應(yīng)用定理公式之前，要對定理公式的應(yīng)用范圍以及條件結(jié)論知己恩的邏輯關(guān)系進(jìn)行明確，從而加深學(xué)生對定理的理解。

（3）再講定理應(yīng)用時，關(guān)鍵是要選好例題，例題選取要有代表性，要由易到難，要有滿足條件的正面的例子，也要選一些不適合訂立的反例，對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，客廳搜學(xué)生思維的變通性和鑒別能力。

新課標(biāo)對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要求三維目標(biāo)，這就是我們教學(xué)設(shè)計的努力方向。引導(dǎo)學(xué)生對原理進(jìn)行積極探究，把握探究過程，才能真正提高他們的思維能力，培養(yǎng)他們對數(shù)學(xué)的熱愛。教學(xué)過程不僅僅是傳授知識的過程，也是學(xué)生學(xué)習(xí)水平提升與認(rèn)識策略優(yōu)化的過程，在某種程度上講，教是為了不教，教師為了更好地學(xué)。