涉及實(shí)零點(diǎn)的亞純函數(shù)Picard型定理

徐成雨, 劉曉俊

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

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涉及實(shí)零點(diǎn)的亞純函數(shù)Picard型定理

徐成雨, 劉曉俊

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

利用亞純函數(shù)的正規(guī)理論和值分布理論的基本概念、研究方法以及研究成果,并以Marty正規(guī)定則為基礎(chǔ),對零點(diǎn)均是實(shí)數(shù)的亞純函數(shù)的Picard型定理進(jìn)行了研究,得到:設(shè)d∈N+,f是復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),若存在M≥0,使得f滿足f的零點(diǎn)均為實(shí)數(shù);f的極點(diǎn)重級至少為3;當(dāng)=0時(shí),必有,則f ′-zd有無窮多個(gè)零點(diǎn).

亞純函數(shù); 正規(guī)族; 實(shí)零點(diǎn);Picard型定理

1 問題的提出

1959年Hayman[1]證明了Picard型定理(定理1).

定理1 設(shè)k∈N+,f為復(fù)平面上的亞純函數(shù),若f≠0且f(k)(z)≠1，則f≡C,C為常數(shù).

1979年Gu[2]證明了對應(yīng)的正規(guī)定則(定理2).

2013年童曉麗等[3]首先考慮將“f(z)≠0”減弱為“f(z)的零點(diǎn)分布在一條給定的直線上”,得到了定理3.

定理3 設(shè)F是定義在單位圓盤D上的亞純函數(shù)族,若存在M≥0,使得對于任意f∈F,有:

b. f的零點(diǎn)分布在一直線上;

c. f的極點(diǎn)重級m≥3;

d. f ′(z)≠1.

則F在D上正規(guī).

2015年洪蘇敏等[4]又將定理3中的條件“f′(z)≠1”改為“f′(z)≠zd”,得到定理4.

定理4 設(shè)F是定義在單位圓盤D上的亞純函數(shù)族,若存在M≥0,使得對于任意f∈F,有:

a.f的零點(diǎn)分布在一直線上;

c. f的極點(diǎn)重級m≥3;

d. f ′(z)≠zd,這里d∈N+.

則F在D上正規(guī).

2008年P(guān)ang等[5]利用擬正規(guī)定則將定理1條件中的“f(z)≠0”減弱為“f零點(diǎn)除了有限個(gè)之外均為重級零點(diǎn)”,并將例外值推廣到“不恒為零的有理函數(shù)”,得到定理5.

定理5[5]設(shè)f為復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),且其零點(diǎn)除了有限個(gè)之外均為重級零點(diǎn),R?0是有理函數(shù),則f ′-R有無窮多個(gè)零點(diǎn).

2012年Chang[6]又進(jìn)一步利用擬正規(guī)定則,討論了當(dāng)f在零點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)一致有界的情況,得到了定理6.

定理6 設(shè)f為復(fù)平面上的無窮級亞純函數(shù),若f ′(z)≠1,則Mf=f ′(f-1(0))={f ′(z):z∈,f(z)=0}無界.

本文在定理6的基礎(chǔ)上增加一些條件,利用正規(guī)定則將定理6的結(jié)果推廣到更為一般的情況,從而得到與定理4相對應(yīng)的Picard型定理(定理7).

定理7 設(shè)d∈N+,f是復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),若存在M≥0,使得f滿足:

a. f的零點(diǎn)均為實(shí)數(shù);

b. f的極點(diǎn)重級至少為3;

則f ′-zd有無窮多個(gè)零點(diǎn).

2 主要的引理

引理1[7]設(shè)f為復(fù)平面上的無窮級亞純函數(shù),則存在an→∞,正數(shù)列δn→0,使得f#(an)→∞,S(Δ(an,δn),f)→∞.

引理2[8]設(shè)F為區(qū)域D內(nèi)的亞純函數(shù)族,k∈N+,h(z)(?0)在D內(nèi)全純,若對于任意的f∈F,有f(z)≠0,f(k)(z)≠h(z),則F在D內(nèi)正規(guī).

引理3[9]設(shè){fn}為區(qū)域D內(nèi)的亞純函數(shù)族,{φn}是D內(nèi)的全純函數(shù)列且在D上內(nèi)閉一致收斂到φ,其中,φ(z)≠0,∞.若對任意的n∈N和任意的z∈D,有fn(z)≠0,f ′n(z)≠φn(z),則{fn}在D內(nèi)正規(guī).

引理4[10]設(shè)f是復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),k∈N+且k≥2,ε>0,則對于所有的r>e且r?E,其中,集合E?(e,∞)且其對數(shù)密度為0(在這里,E僅取決于f,k,ε),有

其中

引理5[1]設(shè)av(v=1,2,…,q)為q(q>2)個(gè)有窮判別的復(fù)數(shù),則有

引理6[11]設(shè)f為上有窮級亞純函數(shù),則對于f的每一個(gè)非直接漸近值a,存在zn,使得f(zn)→a,且f′(zn)=0.

引理7[12]設(shè)f是上的亞純函數(shù),其有限臨界值和漸近值是一個(gè)有界集合,則存在正數(shù)r0,使得當(dāng)>r0和>r0時(shí),有

(1)

且有

于是,有

(4)

(5)

(7)

(8)

因此,由式(7)得

(9)

于是,由式(1),(2),(6),(7)和(9)得

3 定理7的證明

現(xiàn)證明定理7.

證明 分兩種情形討論.

情形1f為無窮級超越亞純函數(shù).

記zn=xn+iyn,下面再分兩種情形討論.

情形1.1 xn→∞.

(10)

(11)

情形1.2 xn→x0∈,yn→∞.

(12)

將z=xn代入式(12),得

情形2 f為有窮級超越亞純函數(shù).

情形2.1 f只有有限個(gè)實(shí)零點(diǎn).

由于f的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有限,則有

(13)

由引理4、引理5和Nevanlinna第一基本定理,得

由于f為超越亞純函數(shù),因此,f′-zd有無窮多個(gè)零點(diǎn).

情形2.2f有無窮多個(gè)實(shí)零點(diǎn).

(15)

(16)

故f ′-zd有無窮多個(gè)零點(diǎn),定理7得證.

[1] HAYMAN W K.Meromorphic functions[M].Oxford:Clarendon Press,1964.

[2] GU Y X.A normal criterion of meromorphic families[J].Scientia Sinica,Mathematical Issue(I),1979,1:267-274.

[3] 童曉麗,劉曉俊.零點(diǎn)位于直線上的亞純函數(shù)的正規(guī)定則[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào),2014,36(4):362-365.

[4] 洪蘇敏,劉曉俊.零點(diǎn)分布在直線上的亞純函數(shù)的正規(guī)定則[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào),2016,38(3):211-217.

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[7] NEVO S,PANG X C,ZALCMAN L.Quasinormality and meromorphic functions with multiple zeros[J].Journal d′Analyse Mathématique,2007,101(1):1-23.

[8] 顧永興,龐學(xué)誠,方明亮.正規(guī)族理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[9] PANG X C,NEVO S,ZALCMAN L.Quasinormal families of meromorphic functions Ⅱ[M]∥EIDERMAN V Y,Samokhin M.Selected Topics in Complex Analysis.Operator Theory:Advances and Applications.Switzerland:Birkh?user Basel,2005,158:177-189.

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[11] BERGWEILER W,EREMENKO A.On the singularities of the inverse to a meromorphic function of finite order[J].Revista Matemática Iberoamericana,1995,11(2):355-373.

[12] Bergweiler W.On the zeros of certain homogneous differential polynomials[J].Arch Math,1995,64(3):192-202.

(編輯:石 瑛)

Picard Theorem of Meromorphic Functions with Real Zeros

XU Chengyu, LIU Xiaojun

(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

By virtue of some fundamental concepts,analysis methods and research results about the theories of value distribution and normal family for meromorphic functions and based on Marty’s criterion for normality,the Picad theorem of meromorphic functions with real zeros was discussed and it is proved:letd∈N+,fbe a transcendental meromorphic function on the complex plane,if there existsM≥0,so that forf,all zeros offare real number,all of whose poles have multiplicity at least 3 andf(z)=0?,thenf ′-zdhasinfinitezeros.

meromorphicfunction;normalfamily;realzero;Picardtheorem

1007-6735(2016)05-0414-05

10.13255/j.cnki.jusst.2016.05.002

2016-04-25

國家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(11401381)

徐成雨(1992-),女,碩士研究生.研究方向:復(fù)分析.E-mail:chengyuxu5928@sina.com

劉曉俊(1982-),男,副教授.研究方向:復(fù)分析.E-mail:xiaojunliu2007@hotmail.com

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