如何讓學生更好地理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

于爾江

（舒蘭市第十三中學校 吉林舒蘭 132600）

如何讓學生更好地理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

于爾江

（舒蘭市第十三中學校 吉林舒蘭 132600）

二次函數(shù)既是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，又是十分重要的最基本的初等函數(shù)，它在中學中起著承上啟下的作用，它與一元二次方程、一元二次不等式的綜合運用，是初中考試的熱點內(nèi)容。

數(shù)學教學 二次函數(shù) 一元二次方程

我根據(jù)自己多年的教學實踐和研究，采用“循序漸進，由淺入深”的原則，先抓住課本，通過歸納，由厚到薄，再在一定深度上向四周擴展，由薄到厚，實現(xiàn)知識點的全覆蓋。

一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)，就是自變量的最高次數(shù)是“二次”的多項式函數(shù)。二次函數(shù)的一般解析式是：

y=ax2+bx+c（a≠0）a≠0這個約束條件很重要，如果a=0且b≠0，上式就變成一次函數(shù)了。所以，我用長框框上，以示重要！a≠0

看到二次函數(shù)的解析式后，我們立刻就會想到一元二次方程ax2+bx+c（a≠0），如果把上面的二次函數(shù)解析式中的“y”換成“0”，二次函數(shù)的解析式就成了一元二次方程了。如果把一元二次方程等號右邊的“0”換成“y”，一元二次方程就變成二次函數(shù)了。可見，二次函數(shù)是一元二次方程的繼續(xù)和延展，一元二次方程是二次函數(shù)在“y=0”情況下的特例。即一元二次方程是兩個函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）和y=0的聯(lián)立：

y=0是函數(shù)，是一個特殊的函數(shù)。是唯一一個既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)！

函數(shù)y=0的定義域是全體函數(shù)，值域是y=0，圖像是全部的x軸。

二次函數(shù)的圖像叫拋物線，二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）也叫拋物線的方程。

二、二次函數(shù)的解析式和圖像

解析式和圖像是函數(shù)的對立統(tǒng)一的兩個方面，是互相依存的，不能分割的。我們將通過解析式來畫出函數(shù)的圖像，再通過對圖像的對比和觀察來歸納出一般規(guī)律。

二次函數(shù)的圖像非常重要，很多題目都要結(jié)合圖像來做，特別是一元二次不等式、一元二次方程解的分布等等。

由于圖像具有直觀、簡單的特點，所以，用圖像理解記憶公式定理更快捷、更牢靠。熟練的掌握二次函數(shù)的圖像后，可以把很多知識點都串在圖像上，提高解題效率。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖像的形狀是由a決定的，a、b、c共同決定著拋物線頂點的位置；二次函數(shù)y=ax2和y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像形狀是相同的，是可以重合的，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像就是y=ax2（a≠0）圖像移動后的結(jié)果。

對一般式進行配方，可以得到頂點式；展開頂點式，可以整理成一般式。當二次函數(shù)與X軸有交點時，才能寫交點式的解析式，若是與X軸沒有交點，就寫不出來交點了（在實數(shù)范圍內(nèi)）。當然，展開交點式，經(jīng)整理，就是一般式了。一般式是二次函數(shù)的通用的解析式。如果題里給定的條件里有頂點坐標，用頂點式解題會使用簡化的；如果題里給定的的條件里有與X軸的交點坐標，用交點式解題同樣會使問題簡化的。

二次函數(shù)圖像上幾個重要的點.

1．頂點.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為

2．與X軸的交點。y=ax2+bx+c（a≠0）與X軸的交點就是方程ax2+bx+c=0的兩個解，

3．與y 軸的交點。二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸必有交點f（0），f（0）=c。

三、例題

例1，已知函數(shù)f（x）=（m2-4m+3）xm2-3+1問m為何值時，（1）f（x）為正比例函數(shù)；（2）f（x）為反比例函數(shù);（3）f（x）為二次函數(shù)。

解：（1）f（x）為正比例函數(shù)，即f（x）=ax（x≠0），

例2．二次函數(shù)圖像經(jīng)過點（1，4）、（2，0）、（3，4）三點，求其解析式。

解：設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），將點（1，4）、（2，0）、（3，4）坐標代入，得：

另解：由于點（1，4）、（3，4）是等高的點，所以該二點關(guān)于對稱軸對稱，所以對稱軸為所以，點（2，0）是頂點。

設(shè)解析式為y=a（x-2）2+0，將點（1，4）坐標代入：a（1-2）2=4，a=4，

四、數(shù)學學習與數(shù)學教育

數(shù)學學習與數(shù)學教育，這是一個很大的課題。數(shù)學學習，一百個狀元就有一百個方法，我的體會是：多練、多悟、總結(jié)、反思。

數(shù)學教育，不單是教學生怎樣解題，怎樣應(yīng)試，更重要的是培養(yǎng)學生有一顆熱愛數(shù)學喜歡數(shù)學的恒心，有一種嚴密思維的習慣。

數(shù)學是工具性的學科，更是理工科的基礎(chǔ)性學科，隨著自然科學與社會科學的不斷融合，文科學科理科化的現(xiàn)象正不斷加深，我們所熟知的經(jīng)濟學、金融學、會計學更是與數(shù)學緊密相聯(lián)，學不好數(shù)學，就學不好物理、化學、生物，同樣也學不好經(jīng)濟學、金融學、會計學等熱門專業(yè)。

例如，經(jīng)濟學中的需求函數(shù)的建立、供給函數(shù)的建立、邊際分析、道格拉斯方程、經(jīng)濟統(tǒng)計等，都需要有非常好的數(shù)學基礎(chǔ)。

被譽為現(xiàn)代會計學之父的盧卡.帕喬利，在《數(shù)學大全》的第三卷第九部第十一篇，運用方程的思想，從會計等式切入，引出六個會計要素，建立了完美的會計學體系。但，盧卡.帕喬利首先是一位數(shù)學家，有多部數(shù)學著作傳世。

數(shù)學學習，豐富多彩；數(shù)學教育，任重道遠。

如何培養(yǎng)學生熱愛數(shù)學、喜歡數(shù)學？這已成為數(shù)學教育工作者特別是初等教育工作者迫切解決的課題。