紙帶的處理

劉清發(fā)

利用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器打出紙帶的目的是利用紙帶上的點(diǎn)跡分析物體的運(yùn)動(dòng)情況.處理紙帶的過(guò)程中，學(xué)生普遍感到處理起來(lái)比較困惑，比較混亂，現(xiàn)在把處理紙帶的有關(guān)方法匯總?cè)缦?，便于大家掌握用紙帶分析物體運(yùn)動(dòng)的基本技能.

一、逐差法

1.相鄰逐差法

由于物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，所以滿足在連續(xù)相等的時(shí)間間隔內(nèi)位移之差相等，即Δx=aT2，可解得a=ΔxT2.

例1

一打點(diǎn)計(jì)時(shí)器固定在傾角為θ的斜面上，一小車(chē)拖著穿過(guò)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的紙帶從斜面上滑下，打出的紙帶的一段如圖1所示.紙帶上0、1、2、3、4、5、6是按先后順序打出的計(jì)數(shù)點(diǎn)，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)之間還有四個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)未畫(huà)出.

（1）根據(jù)紙帶上記錄的數(shù)據(jù)判斷小車(chē)做運(yùn)動(dòng).

（2）若小車(chē)做勻加速運(yùn)動(dòng)，則加速度大小a=.

（3）小車(chē)在計(jì)數(shù)點(diǎn)3對(duì)應(yīng)的速度大小為v=.

解析

（1）x1=6.00 cm，

x2=16.00 cm -6.00 cm=10.00 cm，

x3=30.00 cm-16.00 cm=14.00 cm，

x4=48.00 cm-30.00 cm=18.00，

x5=70.00 cm-48.00 cm=22.00 cm，

x6=96.00 cm-70.00 cm=26.00 cm.

可得Δx=x2-x1=x3-x2=x4-x3=x5-x4=x6-x5=4.00 cm，即相鄰的相等時(shí)間內(nèi)的位移之差為常數(shù)，所以可以判斷物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng).

（2）每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)之間還有四個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)未畫(huà)出，所以相鄰的計(jì)數(shù)點(diǎn)間的時(shí)間間隔T=0.1 s，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的推論公式Δx=aT2得a=ΔxT2=0.040.12 m/s2=4 m/s2.

（3）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間中點(diǎn)時(shí)刻的速度等于該過(guò)程中的平均速度，所以v=x3+x42T=1.6 m/s.

2.隔項(xiàng)逐差法

理論上說(shuō)，由于物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，所以滿足在連續(xù)相等的時(shí)間間隔內(nèi)位移之差相等，即Δx=aT2.但在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不可避免的出現(xiàn)或多或少的誤差，造成相鄰時(shí)間內(nèi)的位移差測(cè)量的并不相等，如果再利用一個(gè)Δx求解加速度，偶然誤差太大，為了減小實(shí)驗(yàn)中的偶然誤差，分析紙帶時(shí)，紙帶上的各段位移最好都用上，如圖2紙帶上測(cè)得連續(xù)6個(gè)相同的時(shí)間間隔T內(nèi)的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，則x4-x1=（x4-x3）+（x3-x2）+（x2-x1）=3a1T2，同理，x5-x2=3a2T2，x6-x3=3a3T2，物體的加速度a=a1+a2+a33=（x4-x1）+（x5-x2）+（x6-x3）9T2=（x4+x5+x6）-（x1+x2+x3）9T2.由此可以看出，各段位移都用上了，有效地減小了偶然誤差，這種方法被稱為逐差法.所以利用紙帶計(jì)算加速度時(shí)，應(yīng)使用逐差法.

所謂逐差法，就是把測(cè)量的數(shù)據(jù)逐項(xiàng)相減或按順序分為兩組進(jìn)行對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減，然后將所得差值作為因變量的多次測(cè)量值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的方法.它也是物理實(shí)驗(yàn)中處理數(shù)據(jù)常用的一種方法.

二、v-t圖象法

例2

某同學(xué)在做“探究小車(chē)運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)中某同學(xué)選擇了一條清晰的紙帶，在紙帶上確定出A、B、C、D、E、F、G共7個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn).其相鄰點(diǎn)間的距離如圖所示，每?jī)蓚€(gè)相鄰的計(jì)數(shù)點(diǎn)之間還有四個(gè)點(diǎn)未畫(huà)出.

（1）根據(jù)紙帶上各個(gè)計(jì)數(shù)點(diǎn)間的距離，計(jì)算出打下B、C、D、E、F五個(gè)點(diǎn)時(shí)小車(chē)的瞬時(shí)速度，請(qǐng)將vC、vE的速度值填入下表（要求保留3位有效數(shù)字）

vBvCvDvEvF

數(shù)值（m/s）0.4000.560

0.721

（2）將B、C、D、E、F對(duì)應(yīng)的各瞬時(shí)速度標(biāo)在如圖4所示的坐標(biāo)紙上，并畫(huà)出小車(chē)的瞬時(shí)速度隨時(shí)間變化的關(guān)系

（3）根據(jù)第（2）問(wèn)中畫(huà)出的v-t圖線，求出小車(chē)運(yùn)動(dòng)的加速度為 m/s2.（保留兩位有效數(shù)字）

解析

（1）每?jī)蓚€(gè)相鄰的計(jì)數(shù)點(diǎn)之間還有四個(gè)點(diǎn)未畫(huà)出，所以兩個(gè)相鄰的計(jì)數(shù)點(diǎn)之間的時(shí)間間隔為0.10 s.根據(jù)在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間中點(diǎn)時(shí)刻的瞬時(shí)速度等于該過(guò)程中的平均速度可以求出各點(diǎn)的瞬時(shí)速度大小.vC=xBD2T=4.38+5.202×0.1 cm/s=0.479 m/s，vE=xDF2T=5.99+6.802×0.1 cm/s=0.640 m/s.

（2）以開(kāi)始打A點(diǎn)時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，每隔0.10秒選一個(gè)點(diǎn)，適當(dāng)?shù)倪x取縱橫數(shù)值，根據(jù)表格中所給出的各個(gè)點(diǎn)速度大小，用描點(diǎn)法即可畫(huà)出速度-時(shí)間圖象如圖4中斜線所示.

（3）根據(jù)圖象的物理意義可知，在速度-時(shí)間圖象中，圖象的斜率大小表示物體的加速度大小，故a=ΔvΔt=0.80 m/s2.

點(diǎn)評(píng)

（1）利用紙帶進(jìn)行計(jì)算，要注意三點(diǎn)：①計(jì)數(shù)點(diǎn)是如何取的；②長(zhǎng)度采用什么單位；③所給的紙帶數(shù)據(jù)是誰(shuí)與誰(shuí)之間的距離.

（2）作v一t圖線時(shí)，要使描得的點(diǎn)盡可能的分布在直線的兩側(cè)，偏差過(guò)大的點(diǎn)不予考慮.

（3）由a=ΔvΔt求a時(shí)，要在圖線上取兩個(gè)相對(duì)較遠(yuǎn)的點(diǎn).

三、貼紙法

例3

做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的小車(chē)，牽引一條紙帶通過(guò)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，交流電源的頻率是50 Hz，由紙帶上打出的某一點(diǎn)開(kāi)始，每5個(gè)點(diǎn)剪下一段紙帶，按圖5所示，每一條紙帶下端與x軸相重合，左邊與y軸平行，將紙帶粘在坐標(biāo)系中，求：

（1）第一個(gè)0.1 s內(nèi)中間時(shí)刻的速度是多少？

（2）運(yùn)動(dòng)物體的加速度是多少？

解析

方法一（1）勻加速直線運(yùn)動(dòng)中，中間時(shí)刻的速度等于這個(gè)過(guò)程中的平均速度.紙帶剪斷處的瞬時(shí)速度等于被剪斷處兩側(cè)的這兩條紙帶的總長(zhǎng)度除以打在這兩條紙帶所用的時(shí)間.第一個(gè)0.1 s內(nèi)中間時(shí)刻的速度v=x1T=22.5×10-30.1 m/s=0.225 m/s.

（2）加速度可以由Δx=aT2求出，其中Δx為相鄰兩條紙帶的長(zhǎng)度差，由圖可知相鄰兩條紙帶的長(zhǎng)度差都為8.0 mm，所以a=ΔxT2=8.0×10-30.12 m/s2=0.80 m/s2.

方法二

（1）勻加速直線運(yùn)動(dòng)中，中間時(shí)刻的速度等于這個(gè)過(guò)程中的平均速度.紙帶剪斷處的瞬時(shí)速度等于被剪斷處兩側(cè)的這兩條紙帶的總長(zhǎng)度除以打在這兩條紙帶所用的時(shí)間.第一個(gè)0.1s內(nèi)中間時(shí)刻的速度是：v=x1T=22.5×10-30.1 m/s=0.225 m/s.

（2） 紙帶的高度之比等于中間時(shí)刻速度之比，也就是說(shuō)圖6中第一段紙帶高度代表0.05s時(shí)的瞬時(shí)速度，第二段紙帶高度代表0.15s時(shí)的瞬時(shí)速度，第三段紙帶高度代表0.25s時(shí)的瞬時(shí)速度，第四段的高度代表0.35s時(shí)的瞬時(shí)速度，第五段代表0.45s時(shí)的瞬時(shí)速度，第六段代表0.55s時(shí)的瞬時(shí)速度.因此可以用紙帶的長(zhǎng)度表示每小段時(shí)間中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，將紙帶上端中間各點(diǎn)連接起來(lái)，可得到如圖6所示的v-t圖象，利用圖象求斜率可以求得小車(chē)加速度a=0.80 m/s2.