對(duì)數(shù)學(xué)校本化作業(yè)之試題命制的思索

蔡振樹

命題是中學(xué)教師平時(shí)教學(xué)工作的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，同時(shí)也是教師專業(yè)發(fā)展的重要支點(diǎn).對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科而言，一道好的試題的命制，往往是教師辛勞的付出，當(dāng)然也是一份收獲.試題是數(shù)學(xué)作業(yè)的重要組成部分，其校本化就是為將先進(jìn)的教育思想、課程方案加以具體化、行為化.好的題目能發(fā)揮其學(xué)習(xí)考查功能，對(duì)提升教學(xué)和復(fù)習(xí)有效性也是大有裨益的.因此，在教學(xué)中如能加強(qiáng)試題命制方法的研究，既是平時(shí)教學(xué)的需要，更是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，做到知己知彼，定能百戰(zhàn)不殆！

一、命制的依據(jù)

校本化作業(yè)之試題命制，它的直接依據(jù)應(yīng)該是課程標(biāo)準(zhǔn)及考試說(shuō)明，命制時(shí)要以中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)為載體，立足數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，堅(jiān)持從學(xué)科的整體意義上選材立意，堅(jiān)持能力立意，全面考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

同時(shí)追求合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)和能力層次，注重發(fā)揮開放性、探索性試題的評(píng)價(jià)功能.試題應(yīng)體現(xiàn)“基礎(chǔ)”、“交匯”、“能力”、“應(yīng)用”、“探究”、“開放”、“數(shù)學(xué)本質(zhì)”、“數(shù)學(xué)文化”等關(guān)鍵詞.命題的目的是通過(guò)試題的功能來(lái)鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)，以及檢測(cè)學(xué)習(xí)效果，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo).

二、例說(shuō)校本化作業(yè)之試題的命制方法

1.由歷年高考試題改編而成

對(duì)歷年高考試題的結(jié)論進(jìn)行改造、類比、推廣、遷移是快速得到好題的一個(gè)途徑.當(dāng)然如能在本質(zhì)上加以改造更是優(yōu)異，尤其是針對(duì)學(xué)生實(shí)際，注重校本化研究，提高學(xué)習(xí)的有效性.這是平時(shí)教學(xué)研究和練習(xí)鞏固等最常采用的方法.

例1某學(xué)校高三年級(jí)共有500名同學(xué)，在某次數(shù)學(xué)單元測(cè)試中，成績(jī)的頻數(shù)分布表如下：

（Ⅰ）用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?20，130，130，140和140，150的同學(xué)中共抽取5人，其中成績(jī)?cè)?20，130的有幾人？

（Ⅱ）從（Ⅰ）中抽出的5人中，任取2人，求成績(jī)?cè)?20，130和130，140中各有1人的概率；

例題1來(lái)源自2013年高考廣東卷的題目：從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個(gè)，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下：

分組（重量）[80，85）[85，90）[90，95）[95，100）

頻數(shù)（個(gè)）5102015

（Ⅰ）根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在[90，95）的頻率；

（Ⅱ）用分層抽樣的方法從重量在[80，85）和[95，100）的蘋果中共抽取4個(gè)，其中重量在[80，85）的有幾個(gè)？

（Ⅲ） 在（Ⅱ）中抽出的4個(gè)蘋果中，任取2個(gè)，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1個(gè)的概率.

2.在教科書中尋找題源背景

教科書的各個(gè)角落都可成為命題出發(fā)點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行深入的改造，可得到很好的適合校本的好題.教材的許多素材可以作為試題的背景，或者對(duì)其進(jìn)行二次改編可得.

例2圖中三角形稱為Sierpinski三角形，其中第n個(gè)三角形中的黑色小三角形的個(gè)數(shù)為an，等差數(shù)列bn滿足：b1=a2，b4=a3.

（Ⅰ）求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）寫出數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式，并求數(shù)列an+bn的前n項(xiàng)和Sn.

例題2就是來(lái)自如下課本的問(wèn)題，選取其為背景，設(shè)置數(shù)列的基礎(chǔ)問(wèn)題，考查其通項(xiàng)公式及求和.

以教材問(wèn)題為背景來(lái)自課本的靈感的試題在高考題命制中也經(jīng)常發(fā)生.如2013年高考福建卷的題目：如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，10），分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A1，A2，…A9和B1，B2，…B9，連結(jié)AC⊥PB，過(guò)E做PC軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi（i∈N*，1≤i≤9）.

（Ⅰ）求證：點(diǎn)Pi（i∈N*，1≤i≤9）都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若△OCM與△OCN的面積比為4∶1，求直線l的方程.

本題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想.這試題就源自于普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》習(xí)題2.2B組第4題：

如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6.E，F(xiàn)，G，H分別為矩形四條邊的中點(diǎn)，R，S，T是線段OF的四等分點(diǎn)，R′，S′，T′是線段CF的四等分點(diǎn).請(qǐng)證明ER與GR′、ES與GS′、ET與GT′的交點(diǎn)L，M，N都在橢圓x216+y29=1上.

3.在知識(shí)交匯處尋找亮點(diǎn)

考試大綱明確指出：“注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合”，“強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的交叉、滲透和綜合，體現(xiàn)綜合性 ”，因此在各知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題，也將是命題的必然趨勢(shì).一般地，每一個(gè)試題都有一個(gè)主考知識(shí)點(diǎn)與幾個(gè)次考知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成.如今的趨勢(shì)，常常冷熱交織，“熱”即主干知識(shí)，“冷”即非主流考點(diǎn).

例3四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，用斜二測(cè)畫法畫水平放置的底面ABCD的直觀圖是如圖所示的平行四邊形A1B1C1D1（其中O′D1

（Ⅰ）求證：AC⊥PB；

（Ⅱ）若點(diǎn)E在PC上，且PA∥平面EDB，試問(wèn)當(dāng)側(cè)棱PD多長(zhǎng)時(shí)，才能使得四面體E-BDC的體積等于32？

本題考查的是立體幾何的基本問(wèn)題，研究空間幾何的平行與垂直位置關(guān)系，它把高考中少見的直觀圖問(wèn)題嫁接進(jìn)來(lái)設(shè)置試題，試題由直觀圖與立體幾何問(wèn)題自然交匯而成，不失為一道好題.

4.從期刊雜志中獲取靈感

中學(xué)數(shù)學(xué)期刊雜志的文章中，有對(duì)各種數(shù)學(xué)結(jié)論的探究，有對(duì)各類試題的研究評(píng)價(jià)等，只要認(rèn)真研讀，或許其中的某一個(gè)點(diǎn)就能激起的思維的火花，成為命題的落腳點(diǎn)，切實(shí)做好試題命制的校本化.

例4已知點(diǎn)M到點(diǎn)F1，0和直線x=-1的距離相等，記點(diǎn)M的軌跡為C.（Ⅰ）求軌跡C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作相互垂直的兩條直線l1，l2，曲線C與l1交于點(diǎn)P1，P2，與l2交于點(diǎn)Q1，Q2.

證明：1P1P2+1Q1Q2=14；

（Ⅲ）圓錐曲線在某些性質(zhì)方面呈現(xiàn)出統(tǒng)一性. 在（Ⅱ）中，我們得到關(guān)于拋物線的一個(gè)優(yōu)美結(jié)論.請(qǐng)你寫出關(guān)于橢圓Γ：x24+y23=1的一個(gè)相類似的結(jié)論（不需證明）.

本題來(lái)自《數(shù)學(xué)通訊》中一道日本高考題，受其啟發(fā)，改編背景和設(shè)問(wèn)方式，并進(jìn)一步加強(qiáng)得到一般結(jié)論，體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

5.應(yīng)用多媒體工具發(fā)現(xiàn)結(jié)論

幾何畫板、超級(jí)畫板、Microsoft Visio等作圖軟件是命題者進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的重要工具.通過(guò)這些作圖軟件進(jìn)行圖形繪制，得到的圖形十分精準(zhǔn)、直觀，修正改動(dòng)時(shí)也更加直接、方便.在例5的命制過(guò)程中，筆者就是借助幾何畫板，研究函數(shù)y=lnx+x與其切線的關(guān)系，從而觀察出三個(gè)結(jié)論，進(jìn)而命制成題的.

例5已知函數(shù)fx=lnx-ax在點(diǎn)A1，f1處切線為l.

（Ⅰ）當(dāng)切線l的斜率為2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；

（Ⅱ）證明：無(wú)論a取何值，函數(shù)fx的圖象恒在直線l的下方（點(diǎn)A除外）；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)Qx0，fx0，當(dāng)x0>1時(shí)，直線QA的斜率恒小于2，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

三、對(duì)教學(xué)的啟發(fā)

課本是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體，特別是在新課的教授階段.很多試題在課本中都能找到題源.因此校本化的一個(gè)不變的原則就是“源于課本，又不囿于課本”.我們必須重視課本知識(shí)的回顧和整理，對(duì)課本知識(shí)重新認(rèn)識(shí)，挖掘其更深層次的內(nèi)容，充分發(fā)揮課本上的例題和習(xí)題的典型作用，二次進(jìn)行開發(fā)，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)效率，達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果.克服脫離教材的“題海戰(zhàn)術(shù)”，取材于教材習(xí)題的合理改造是校本化的重要方式，因而課本還是學(xué)習(xí)的根本.

夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，注重校本實(shí)際.通過(guò)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解，從而強(qiáng)化數(shù)學(xué)意識(shí)，掌握解題方法，提高解題能力，積累解題信心，以不變應(yīng)萬(wàn)變，兵來(lái)將擋，水來(lái)土掩.要全面落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)，不隨意忽視所謂的“冷門知識(shí)”.知識(shí)的交匯就是創(chuàng)新，通過(guò)在交匯處命題是跳出“模式化”的關(guān)鍵，是需要深入研究的教學(xué)立足點(diǎn)，是更高層次的校本化.

基于作業(yè)校本化下的試題命制要求教師根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)水平的差異，針對(duì)性地在各層次學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)之中設(shè)計(jì)一定量的題目，進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)可能性的易變因素，使作業(yè)與學(xué)生學(xué)習(xí)可能性相互適應(yīng).通過(guò)有計(jì)劃地實(shí)施以后，使不同層次的學(xué)生都在原有的基礎(chǔ)上獲得較好的發(fā)展，達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的，培養(yǎng)學(xué)生掌握和運(yùn)用知識(shí)的態(tài)度和能力，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性，真正起到使每一個(gè)學(xué)生都能得到充分發(fā)展的目的.