高考數(shù)學圓錐曲線問題中離心率e的應用分析

孫小中

圓錐曲線是高中學習內(nèi)容中的重點，學生若要解決該類型題目，需要具備良好的抽象思維以及邏輯思維.所謂圓錐曲線，一般可統(tǒng)一定義為：平面當中至某一定點F與至某一定直線l之間距離之比為常數(shù)e的軌跡，且規(guī)定點F不屬于直線l.若01，則軌跡為雙曲線；若e=1，則軌跡為拋物線.由上述定義可知離心率對圓錐曲線而言，極為重要.故而，學生在解決有關圓錐曲線的問題時，便可靈活使用離心率e作為解決問題的方法.

一、離心率在雙曲線中的應用

高考數(shù)學試卷當中，部分填空題也涉及了有關圓錐曲線的知識，部分學生往往按照解答題的方式解答，導致學生需要消耗大量時間，解題效率不高.解決該類型題目，需要學生認真分析題目給定條件，選取合適且簡便的方法，解答問題.雙曲線是圓錐曲線中的一種，在填空題當中出現(xiàn)頻率較高，學生應熟悉如何運用離心率e解決相關問題.

例1

（2015衡水四模）設存在橢圓，其中心為原點，該橢圓同雙曲線的焦點相同，設左右焦點分別為F1、F2，在第一象限內(nèi)，兩條曲線的交點為點P，△PF1F2為等腰三角形，以線段PF1作為底邊.若|PF1|=10，橢圓離心率設為e1，雙曲線離心率設為e2，求e1·e2的取值范圍.

題目分析針對該題目，學生應先設定橢圓以及雙曲線的半焦距為c，|PF1|=m，|PF2|=n（m>n）.

因為△PF1F2是等腰三角形，且將線段PF1作為底邊，若|PF1|=10，則有m=10，n=2c.

根據(jù)橢圓定義可知m+n=2a1.

根據(jù)雙曲線定義可知m-n=2a2.

即：a1=5+c，a2=5-c，且c<5.

再利用三角形兩邊之和大于第三邊這一定理，可知2c+2c>10，

即c>52，即有52

根據(jù)離心率公式可得e1·e2=ca1·ca2=c225-c2=125c2-1.

因為1<25c2<4，則有125c2-1>13.

則e1·e2的取值范圍便是（13，+∞）.

圓錐曲線是高中數(shù)學極為重要的知識點，而離心率則是大部分圓錐曲線解題的關鍵.故而，學生應熟悉如何在解題過程中靈活運用離心率進行問題的解答，以便提高自身解題能力以及效率，從而提高自身成績.

二、離心率在雙曲線中的應用

例2（2014年遼寧）已知橢圓C：x29+y24=1，點M與C的焦點不重合，若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|+|BN|=.

題目分析根據(jù)三角形中位線定理把求|AN|+|BN|的大小問題轉(zhuǎn)化為求|PF1|+|PF2|的大小問題，再利用橢圓的定義可求得|AN|+|BN|的值.

設線段MN的中點為P，左右焦點分別為F1、F2.又因為F1為線段MA的中點，F(xiàn)2為線段MB的中點，所以|AN|=2|PF1|，|BN|=2|PF2|.則|AN|+|BN|=2（|PF1|+|PF2|）.由橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a，所以|AN|+|BN|=4a.又因為a2=9，所以a=3，所以|AN|+|BN|=12.

三、離心率在拋物線中的應用

例3（2014年大綱）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|=54|PQ|.（1）求C的方程；（2）略.

題目分析可以利用待定系數(shù)法.先利用拋物線的定義結合已知條件求得含有p的點P的橫坐標，再將點P的坐標代入拋物線方程，即可求得p的值.

設Q（x，4），直線y=4與準線交于H.因為拋物線的準線為x=-p2，則由拋物線定義知|QF|=|QH|=x+p2.又因為|PQ|=x，|QF|=54|PQ|，所以x+p2=54x，解得x=2p，則Q（2p，4）.代入y2=2px，得16=2p·2p，解得p=2.

所以拋物線的方程為y2=4x.

圓錐曲線是高中數(shù)學極為重要的知識點，而離心率則是大部分圓錐曲線解題的關鍵.故而，學生應熟悉如何在解題過程中靈活運用離心率進行問題的解答，以便提高自身解題能力以及效率，從而提高自身成績.