數(shù)字“1”與高中數(shù)學(xué)的淵源

錢見(jiàn)寶

高中數(shù)學(xué)中有許多與“1”有關(guān)的知識(shí)，指數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)（0，1），對(duì)數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)（1，0），三角函數(shù)中借助單位圓定義正弦、余弦、正切，sin2α+sin2α=1，橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程右邊為1，橢圓離心率在0到1之間，雙曲線離心率大于1，拋物線離心率等于1，平面向量中的單位向量，必然事件的概率為1等.如此多的知識(shí)都與它有關(guān)，可見(jiàn)“1”確實(shí)與高中數(shù)學(xué)知識(shí)與較深的淵源.

高中數(shù)學(xué)中有許多題目與“1”有關(guān)，若能準(zhǔn)確地應(yīng)用與“1”有關(guān)的知識(shí)，合理地利用“1”在題目中所扮演的角色，巧妙的轉(zhuǎn)化“1”， 將大大地簡(jiǎn)化計(jì)算量和計(jì)算過(guò)程，能收到事半功倍的良效.

一、可以被代換的“1”

例1已知

sinα+3cosα3cosα-sinα=5，則sin2α-sinαcosα的值是.

解由

sinα+3cosα3cosα-sinα=5得

tanα+33-tanα=5，即tanα=2，所以sin2α-sinαcosα=

sin2α-sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α-tanαtan2α+1=25.

評(píng)價(jià)由于任何非0實(shí)數(shù)與1相除都等于這個(gè)數(shù)，所以把所求式子看成分母為1的分式，并用平方關(guān)系整體代換1，將其化成齊次式，目的是可利用商數(shù)關(guān)系向正切函數(shù)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求值.

例2若正數(shù)x，y滿足x+y=4xy，則x+y的最小值為.

解由x+y=4xy得14y+14x=1（x>0，y>0），

則x+y=（x+y）（14y+14x）=x4y+y4x+12≥2x4y·y4x+12=1，

當(dāng)且僅當(dāng)x4y=y4x，即x=y時(shí)等號(hào)成立.

評(píng)價(jià)由于任何非0數(shù)與1相乘都等于這個(gè)數(shù)，所以通過(guò)已知等式生成1，整體代換，將其化成齊次式，目的是為應(yīng)用基本不等式兩數(shù)相乘時(shí)提供定值.

二、容易被遺忘的“1”

例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2n+b，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2+b；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（2n+b）-（2n-1+b）=2n-1.

當(dāng)b=-1時(shí)，a1適合此等式；當(dāng)b≠-1時(shí)，a1不適合此等式.

所以當(dāng)b=-1時(shí)，an=2n-1；當(dāng)b≠-1時(shí)，an=2+b，n=1，2n-1，n≥2.

例4求證：（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·5·…·（2n-1）（n∈N*）.

證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊=2，右邊=21·1=2，所以等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)，等式成立，

即（k+1）（k+2）·…·（k+k）=2k·1·3·5·…·（2k-1）.

當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=（k+2）（k+3）·…·2k·（2k+1）（2k+2）

=2·（k+1）（k+2）（k+3）·…·（k+k）·（2k+1）

=2·2k·1·3·5·…·（2k-1）·（2k+1）

=2k+1·1·3·5·…·（2k-1）（2k+1）.

這就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立.

根據(jù)（1）、（2）知，對(duì)n∈N*，原等式成立.

評(píng)價(jià)解答數(shù)列中an與Sn相關(guān)的問(wèn)題和利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，不能忘記對(duì)n=1的研究.三、隱藏在深處的“1”

例5若a=30.6，b=log30.2，c=0.63，則a ，b，c 從大到小的順序?yàn)?

解由于30.6>1，

log30.2<0，0<0.63<1，所以a>c>b.

評(píng)價(jià)在指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小關(guān)系比較時(shí)，通常會(huì)選擇1作為中間量.

例6已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（X<4）=0.8，則P（0

.

解由P（X<4）=0.8，得P（X≥4）=0.2.由題意知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線x=2，P（X≤0）=P（X≥4）=0.2，所以P（0

評(píng)價(jià)正態(tài)分布相關(guān)問(wèn)題，抓好正態(tài)曲線的對(duì)稱性和正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1完成解答.

例7如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC

于不同的兩點(diǎn)M、N，若AB=mAM，AC=nAN，則m+n的值為.

解因?yàn)锳O=12AB+12AC=12mAM+12nAN，

所以12m+12n=1，得m+n=2.

評(píng)價(jià)本題應(yīng)用了直線向量參數(shù)方程（已知A、B是直線l上的任意兩點(diǎn)，O是l外一點(diǎn)，則對(duì)直線l上任意一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)t，使OP=（1-t）OA+tOB.）中隱含的1（OA，OB的系數(shù)和為1），極大地提高了解題效率.