極限思想在高中物理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

單蕾+戴軍

極限原本是數(shù)學(xué)中的一個名詞，顧名思義，就是把一個數(shù)值無限放大或縮小，也可能是無限接近于某一個值.極限法在進行某些物理過程的分析時，其基本步驟是，解題者可以將某個量進行無限增大與縮小，通過這個極限得到一個結(jié)論，然后通過該結(jié)論反推原題.介于它的高效性，恰當應(yīng)用極限法能夠避免復(fù)雜計算，使問題化難為易，化繁為簡，思路靈活，判斷準確，提高解題效率.

一、極限思想在物理概念理解中的應(yīng)用

高中物理概念是非常多的，在理解這些概念的時候往往不容易把握，但是如果滲透極限的思想，將會事半功倍.

例1對電子軌道能量的理解

，如圖1所示是玻爾理論的能級圖，學(xué)生對于這樣的問題往往產(chǎn)生一個疑問，既然是能級，能量值為什么是負值？而且電子作為實物粒子本身就在運動，它是具有動能的.

解析對于玻爾能級，電子位于無窮遠處時，系統(tǒng)的總能量為零.當電子從無窮遠處向靠近核的能級躍遷時，核對電子的引力（電場力）做正功，電勢能Ep=-kQer減小.但電子的動能EK=mv22=kQe2r（庫侖力充當向心力，mv2r=kQer2）增大.波爾理論認為：電子向靠近核的軌道躍遷時，總能量減小，減小的能量以光子的形式輻射出去；電子吸收能量后向遠離核的軌道躍遷，總能量增大.應(yīng)用極限的思想就很容易說清楚——取無窮遠處為零勢能參考面，那么庫倫力做正功，電勢能減小，自然是負的，而且這個負值比電子動能要大，學(xué)生就很容易理解了.

拓展一將該問題進行拓展，就可以很好地解釋天體運動中天體引力勢能為負值的問題——取無窮遠（極限）為參考面，萬有引力做正功，引力勢能減小，所以天體的引力勢能為負.

拓展二對分子勢能的理解

例2如圖2所示，甲分子固定在坐標原點O，乙分子沿x軸運動，兩分子間的分子勢能Ep與兩分子間距離的變化關(guān)系如圖中曲線所示.圖中分子勢能的最小值為-E0.若兩分子所具有的總能量為0，則下列說法中正確的是

解析首先對于圖象，x2位置是分子勢能最小處，但是其值也是取無窮遠為0這個極限之后才確定的.因此就很好地說明了為什么分子勢能有一部分為負值，而且最后是無限趨近于0的.分子處于r0位置時所受分子合力為零，加速度為零，此時分子勢能最小，分子的動能最大，總能量保持不變，由題圖可知x2位置即是r0位置，此時加速度為零，A錯.x=x2位置，勢能為-E0，則動能為E0，B項正確.在Q點，Ep=0但分子力不為零，分子并非處于平衡狀態(tài)，C項錯.在乙分子沿x軸向甲分子靠近的過程中，分子勢能先減小后增大，分子動能先增大后減小，即分子速度先增大后減小，到Q點分子速度剛好減為零，此時由于分子斥力作用，乙分子再遠離甲分子沿原路返回，即乙分子運動的范圍為x≥x1，D項正確.

二、極限思想在運動問題中的應(yīng)用

極限思想在解決復(fù)雜問題過程中可以大大減少計算量，甚至免于計算.而且將某些物理量無限放大和縮小之后會增加解題的趣味性.例如，常見的追及相遇問題就變得容易理解，后面車減速追擊前面勻速或者加速車，當后面車的速度已經(jīng)小到和前面車速度一樣這個極限時，依舊沒有追上，那么后車就沒有機會追上前車了——于是我們得出了追及問題的臨界狀態(tài)就是二車速度相等的狀態(tài).

例3從底角為θ的斜面頂端，以初速度v0水平拋出一小球，不計空氣阻力，若斜面足夠長，如圖3所示，則小球拋出后，離開斜面的最大距離H為多少？

解析一當物體的速度方向與斜面平行時，物體離斜面最遠.以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，則由：vy = v0tanθ = gt ，解得運動時間為

解得小球離開斜面的最大距離為：

H =v202gtanθ·sinθ

解析二采用極限的思想，首先引導(dǎo)學(xué)生弄清楚何時有離開斜面的最大距離——小球的運動只有垂直斜面的分量決定離開還是靠近斜面，而斜面平行的分量則與此無關(guān).因此這道題若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐標軸，求解則更加簡便：

只需將初速度v0的垂直斜面分量v0sinθ分解出來，這個方向上小球做勻減速直線運動；

然后將該方向的加速度分a=gcosθ

分解出來代入公式的2aH=（v0sinθ）2

解得最大距離H=v202gtanθ·sinθ與解析一一致.

三、極限問題在平衡問題中的應(yīng)用

極限在平衡問題中往往代表的是一個臨界狀態(tài)，而臨界狀態(tài)恰恰是解決問題的關(guān)鍵.

例4如圖4所示，半徑為R的勻質(zhì)半球體，其重心在球心O點正下方C點處，OC =38R， 半球重為G，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重為G8的物體，它與半球平在間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，求無滑動時物體離球心O點最大距離是多少？

解析設(shè)物體距球心為x時恰好無滑動，以和地面接觸點為軸，根據(jù)平衡條件有：

G·3R8sinθ =G8·xcosθ

得到：x = 3Rtanθ

可見，x隨θ增大而增大.臨界情況對應(yīng)物體所受摩擦力為最大靜摩擦力，則：

tanθm =fmN= μ = 0.2，

所以 x = 3μR = 0.6R .

綜上所述，極限思想在解題中應(yīng)用的目的在于將普通特殊化，然后由特殊的結(jié)論反推普遍情況，在解決一個量隨另一個量變化等問題中有著顯著的優(yōu)勢.極限思維的應(yīng)用也能夠使學(xué)生對知識理解更加便捷，節(jié)省許多計算以及記憶時間，從而大大提高解題效率.極限法的范疇很廣，高中物理的極限法除了可以應(yīng)用在學(xué)習(xí)過程中還可以在教學(xué)過程中使用，從而提高教與學(xué)的效率.