淺析數(shù)形結(jié)合思想在高考數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

邢軍

一、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，通過把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，利用函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)的解析式畫出幾何圖形，由此相互依托.

例1求函數(shù)y=1-x22+x的值域.

分析由題意易知定義域是-1≤x≤1，所以可設(shè)x=cosθ（0≤θ≤π），則有y=sinθcosθ+2.y值可看作是過點(diǎn)T（cosθ，sinθ）（0≤θ≤π）與點(diǎn)A（-2，0）的直線的斜率.動(dòng)點(diǎn)T在半圓周上運(yùn)動(dòng)，從圖1可看出，直線AT的斜率滿足：0≤kAT≤kAM，即0≤y≤

33，問題得到解決.

二、數(shù)形結(jié)合思想在不等式解題中的應(yīng)用

解不等式是高中代數(shù)的主要內(nèi)容之一，也是數(shù)學(xué)高考題中必考的內(nèi)容之一，不等式的求解除常規(guī)思路，運(yùn)用代數(shù)方面進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算量較大也比較抽象.通常如果將不等式進(jìn)行合理變形后，能容易畫出不等號(hào)兩邊的函數(shù)圖象，從而直接判斷結(jié)果.

例2當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式（x-1）2

分析若將不等號(hào)的兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解.

解設(shè)y1=（x-1）2，y2=logax，則y1=（x-1）2的圖象為拋物線（如圖7所示）.要使對一切x∈（1，2），y11，并非必須也只需當(dāng)x=2時(shí)，y2的函數(shù)值大于或等于y1的函數(shù)值.

故loga2>1，a>1，所以1

三、數(shù)形結(jié)合思想在平面向量解題中的應(yīng)用

向量集數(shù)與形于一身，既包含了代數(shù)的抽象性又蘊(yùn)含了幾何的直觀性，因此數(shù)形結(jié)合思想是解決向量問題的有力工具.

例3[2009年湖北省高考（理）第17題]已知向量b=（cosβ，sinβ），c=（-1，0），則向量b+c的長度的最大值是.

分析由已知條件可以知道b與c都是單位圓上的點(diǎn)，結(jié)合圖象易知：當(dāng)且僅當(dāng)b=c=（-1，0）時(shí)，|b+c|max=2，故向量b+c的長度的最大值為2.

恩格斯說“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”.數(shù)與形既是對立的又是統(tǒng)一的，每一個(gè)幾何圖形都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量.通過以上高考題的解答我們可以很清楚地看到如果能給數(shù)學(xué)命題以直觀形象的描述，揭示出命題的幾何特征，就能變抽象為形象，能形成概念的相互轉(zhuǎn)化，使得數(shù)形結(jié)合思想的就“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合，從而提高解題速度與質(zhì)量.