向量解題以“建”為貴

陳樹昱

高考中對(duì)于平面向量的考查，多傾向于平面幾何內(nèi)容，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)既是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，又是求解的熱點(diǎn)，因此構(gòu)建行之有效的方法難能可貴.將向量置于坐標(biāo)系的背景之下，賦予向量坐標(biāo)的結(jié)構(gòu)，權(quán)稱為“建”法，往往有事半功倍之效.下面舉例說明.

一、“建”法解數(shù)量積問題

例1（2015年福建卷） 已知AB⊥AC，AB=1t，AC=t ，若點(diǎn)P是△ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且AP=ABAB+4ACAC ，則PB·PC 的最大值等于

A.13B.15 C.19 D.21

分析縱觀條件中的長(zhǎng)度和角度，不難看出，AB，AC的垂直關(guān)系是解題的主線，但長(zhǎng)度的引入影響了解題的發(fā)揮，怎么辦？“建”法試一試，你會(huì)茅塞頓開！

解由已知，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸，AC為y軸，如圖1建立平面直角坐標(biāo)系，

則P（1，4），B（1t，0），C（0，t），所以PB·PC=（1t-1，-4）·（-1，t-4）=17-1t-4t≤17-21t·4t=13，當(dāng)且僅當(dāng)t=12取等號(hào).

故選A.

點(diǎn)評(píng)同一個(gè)問題，當(dāng)置于不同的背景之下，其難易會(huì)大有區(qū)別，這時(shí)，多想一想“建”法，以“建”為貴，你會(huì)有意想不到的收獲！

二、“建”法解角問題

例2在△ABC中，（AB-3AC）⊥CB，則角A的最大值為.

分析向量出現(xiàn)之時(shí)，“建”法立功之日！因此，大膽采用“建”法，將已知三角形的信息放在坐標(biāo)系中，很快就解決了！

解以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2.

設(shè)B（1，0），C（m，n），則

（AB-3AC）⊥CB（（1，0）-（3m，3n））·（1-m，-n）=0，

整理得3m2+3n2-4m+1=0.

令t=mn，則（3t2+3）n2-4tn+1=0.

故△=（-4t）2-4（3t2+3）≥0，

解得t=mn=1tanA≥3，

故A≤π6，角A的最大值為π6.

點(diǎn)評(píng)可以看出一個(gè)非常難解的問題在坐標(biāo)系的背景之下，會(huì)變得十分的簡(jiǎn)單，況且操作起來更能得心應(yīng)手，采用了“建”法，沒有做不到，只怕想不到！

三、“建”法解長(zhǎng)度問題

例3在△ABC中，B=π3，A，C∈（0，π2]，則ac的取值范圍是.

分析有邊的問題，倘若采用正弦定理和余弦定理，需要反復(fù)多次使用，而且未必得正果，換個(gè)角度，“建”法開道！

解以B為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3.

設(shè)A（c，0）， 由B=π3，設(shè)C（a2，3a2），則

AB·AC≥0，CA·CB≥0，即c2-ac2≥0，a2-ac2≥0，解得ac∈[12，2].故ac的取值范圍是[12，2].

點(diǎn)評(píng)作為向量，其數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是一種化歸，因此利用“建”法完成化歸，操作起來更加自然迅速.

四、“建”法解參數(shù)問題

例4已知△ABC為等邊三角形，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-32，則λ=

A. 12B.1±22C.1±102D.-3±222

分析這是一個(gè)參數(shù)問題，由于未知數(shù)在條件中，所以求解起來會(huì)艱難一些，但是將向量置于坐標(biāo)系中，剩余的就是計(jì)算問題了.

解如圖4，建立坐標(biāo)系，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，則B（2，0），C（1，3）.由AP=

λAB，得P（2λ，0）.由AQ=（1-λ）AC得Q（1-λ，

3（1-λ））.

所以-32=BQ·CP=（-λ-1，3（1-λ））·（2λ-1，-3）=（-λ-1）（2λ-1）+3（1-λ）（-3）

解得λ=12.

答案選A.

點(diǎn)評(píng)怎么樣？又一次的成功讓我們有了一個(gè)向量解題的方向，建系是實(shí)現(xiàn)平面幾何數(shù)形互化的重要橋梁和紐帶，以“建”為貴，“建”法來相伴，解題可歸原！