空間點(diǎn)坐標(biāo)的尋找方法

楊照

建立空間直角坐標(biāo)系解立體幾何（下簡(jiǎn)稱立幾）題，是新課標(biāo)理科學(xué)生必須掌握的，即使是文科，大多也介紹了此法.大凡有點(diǎn)質(zhì)量的立幾題，常會(huì)在點(diǎn)的坐標(biāo)尋找上遇到不同程度的障礙，大多數(shù)情況下，點(diǎn)坐標(biāo)的尋找都至關(guān)重要，是解題過(guò)程中繞不過(guò)的環(huán)節(jié)，甚至有的題就是考查求點(diǎn)的坐標(biāo).那么，尋找點(diǎn)的坐標(biāo)有哪些方法（方式）呢？

一、運(yùn)用已知比的投影或已知比的坐標(biāo)描述

中點(diǎn)是比為1的點(diǎn)，運(yùn)用其投影依然是中點(diǎn)或運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式是常見的求點(diǎn)坐標(biāo)的方法.非中點(diǎn)又告知了常數(shù)的比，運(yùn)用其投影比與原比相等或運(yùn)用a=λb自然描述坐標(biāo)來(lái)求.不提倡用點(diǎn)的定比分點(diǎn)公式.

例1在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2（如圖1）.將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2）.

（1）求證： A1E⊥平面BEP；

（2）若A1M∶MB=1∶2，求直線EM與平面A1BP所成角的正弦值.

分析（1）先要借助正三角形及已知比證EF⊥AB，從而得A1E⊥EF，再由已知面面垂直的性質(zhì)可獲證.

（2）設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，建立以直線EB、直線EF、直線EA1分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系E-xyz， P和M的坐標(biāo)尋找是關(guān)鍵：由于EB=2PF，則P投影到x軸上是線段EB的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為P（1，3，0）.又A1M∶MB=1∶2得BM=2MA1，B（2，0，0），A1（0，0，1），用向量坐標(biāo)可自然求得M的坐標(biāo)，也可用投影比的不變性得出M的坐標(biāo).

解略.

二、設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，逆勢(shì)而行

這種方法考查了學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)——因?yàn)橹鲃?dòng)的設(shè)或勉強(qiáng)的設(shè)，有個(gè)性品質(zhì)的因素，與常規(guī)的已知齊備的數(shù)值后的計(jì)算和推理不同，未知參量由于未知，參與已知數(shù)據(jù)和其它量同等計(jì)算或推理，總是從心理上有些抗拒，所以設(shè)參量逆勢(shì)而行，需要勇氣和堅(jiān)韌.這里參量的待定依據(jù)幾何特征直接設(shè)或以向量a=λb形式用參量λ易于自然描述坐標(biāo)，高考復(fù)習(xí)要把這種題型作為重中之重.這些年這種題型考查頗多，僅2012年高考理就有全國(guó)大綱卷、北京卷、天津卷、湖南卷、湖北卷、遼寧卷、重慶卷、浙江卷等8卷的立體幾何大題考查屬于或可轉(zhuǎn)化為這種類型.

例2（ 2009全國(guó)高考Ⅰ卷文理 ）如圖3，四棱錐S-ABCD的底面為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=2，DC=SD=2，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM=60°.

（1）求證： M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；

（2）求二面角S-AM-B的大小.

分析（1）由純幾何法獲證難.從尋找M的位置入手：設(shè)SM=λMC，M（x，y），運(yùn)用條件逆勢(shì)而上.實(shí)際上，這是需要果敢行動(dòng)的，因?yàn)榍胺降穆肺粗?，無(wú)底；（2）略.

解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則

A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），S（0，0，2）.

（1）設(shè)SM=λMC（λ>0），則M（0，2λ1+λ，21+λ），

BM=（-2，-21+λ，21+λ）.又BA=（0，-2，0），∠ABM=60°，

于是BA·BM=BABMcos60°，所以有

41+λ=2（-2）2+（-21+λ）2+（21+λ）2×12，

解得λ=1，即SM=MC，

故 M是側(cè)棱SC的中點(diǎn).

（2）略.

例3（2008浙江高考文理）如圖4，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，AD=3，EF=2.

（1）求證： AE∥平面DCF；

（2）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°？

解（1）略.

（2）如圖4，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB、CF和CD分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

設(shè)AB=a，BE=b，CF=c，則C（0，0，0），A（3，0，a），B（3，0，0），E（3，b，0），F(xiàn)（0，c，0）.

因?yàn)镋F=（-3，c-b，0），CE=（3，b，0），且EF·CE=0，EF=2，

所以-3+b（c-b）=0，3+（c-b）2=2，解得b=3，c=4.

所以E（3，3，0），F(xiàn)（0，4，0），AE=（0，3，-a）.設(shè)n=（x，y，z）是平面AEF的法向量，則

3y-az=0，-3x+y=0，令x=1，則y=3，z=33a，n=（1，3，33a）.

又BA=（0，0，a），所以

cos〈n，BA〉=BA·nBAn=334a2+27=12，

解得a=92，故當(dāng)AB為92時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°.

有的設(shè)參量純是幫助占位置，并不需求出值，不再贅述.

三、列方程

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，列方程，解方程，本是一種常規(guī)方法，但在立幾解題中，這一方法往往遭遇立幾知識(shí)的負(fù)遷移，反到覺(jué)得這是不同尋常之法.所以，要有目的有計(jì)劃訓(xùn)練該方法.

例4（2011重慶高考文）如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.

（1）求四面體ABCD的體積；

（2）求二面角C-AB-D的平面角的正切值.

解（1）設(shè)O是AC的中點(diǎn)，過(guò)O作OH⊥AC，交AB于H，作OM⊥AC，交AD于M.

由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM，于是建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題設(shè)知A（0，-1，0），C（0，1，0）.設(shè)點(diǎn)B（x1，y1，0），則

AB=（x1，y1+1，0），BC=（-x1，1-y1，0）.由AB⊥BC，BC=1，有

x21+（y1+1）2=3，x21+（y1-1）2=1，

解得x1=32，y1=12，或x1=-32，y1=12.（舍）

所以B（32，12，0）.又設(shè)D（0，y2，z2），則CD=（0，y2-1，z2），AD=（0，y2+1，z2）.

由題設(shè)有

（y2-1）2+z22=1，（y2+1）2+z22=4，

解得y2=34，z2=154，或y2=34，z2=-154.（舍）

所以D（0，34，154）.

從而AB=（32）2+（12+1）2=3，故

VABCD=13·12·AB·BC·z2=13·12·3·154=58.

（2）略.

解方程自然，樸實(shí)，繞去了較為深層的幾何推理計(jì)算.四、運(yùn)用向量

借助向量的相等或向量運(yùn)算，可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)移或空間跨越，看似不可能得到的點(diǎn)的坐標(biāo)突然降臨.

例5（2010湖北高考文理）如圖6，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.

（1）設(shè)P為AC的中點(diǎn)，求證：在AB上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥OA，并計(jì)算ABAQ的值；

（2）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.

解（1）取O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OC所在的直線為x軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖所示），則O（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，1），B（-12，32，0），P（12，0，12）.設(shè)AQ=λAB（λ∈（0，1）），

因?yàn)锳B=（-32，32，0），

所以O(shè)Q=OA+AQ=（1，0，0）+λ（-32，32，0）=（1-32λ，32λ，0）.

所以PQ=OQ-OP=（12-32λ，32λ，-12）.

由題設(shè)有PQ·OA=0，則12-32λ=0，λ=13.

故存在點(diǎn)Q（12，36，0）使得PQ⊥OA，且ABAQ=3.

（2）略.

例6已知三棱柱ABC—A1B1C1各棱長(zhǎng)均為2，如圖7，側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，AA1與底面所成角為60°.

（1）求證： AC⊥A1B；

（2）求直線B1C與平面ABB1A1所成角的正弦值；

（3）求平面ABC與平面A1B1C所成二面角的余弦值.

分析建立空間直角坐標(biāo)系后，B1的坐標(biāo)尋找是個(gè)難點(diǎn)，若用投影法，易錯(cuò)；用向量相等則易于尋找，也體現(xiàn)了向量自由移動(dòng)的優(yōu)勢(shì).權(quán)且作為訓(xùn)練，不妨一試.