一道高考?jí)狠S題的另外四種解法

王春雨　林明煥

一題多解，可以使學(xué)生在比較中找到最恰當(dāng)，最簡(jiǎn)潔的解題方法，全方位、多角度地把握物理知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用.學(xué)生經(jīng)常進(jìn)行一題多解訓(xùn)練，可以減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，鍛煉思考問題的發(fā)散性、周密性和全面性.培養(yǎng)他們更準(zhǔn)確地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力.還能使他們分層次地、靈活地掌握物理知識(shí)和規(guī)律.現(xiàn)以一道高考?jí)狠S題的另外三種簡(jiǎn)單解法為例，展示一下壓軸題也能有簡(jiǎn)單的解法.通過對(duì)比參考答案，能激發(fā)學(xué)生的求知熱情和不斷探索的熱情；對(duì)多角度解決物理問題充滿信心.

例（2011年高考全國(guó)二卷，理綜物理壓軸題）裝甲車和戰(zhàn)艦采用多層鋼板比采用同樣質(zhì)量的單層鋼板更能抵御穿甲彈的射擊.通過對(duì)以下簡(jiǎn)化模型的計(jì)算可以粗略說明其原因.

質(zhì)量為2m，厚度為2d的鋼板靜止于光滑的水平桌面上，質(zhì)量為m的子彈以某一速度垂直射向該鋼板剛好能將鋼板射穿.現(xiàn)將鋼板分成厚度均為d，質(zhì)量均為m的相同兩塊，間隔一段距離水平放置，如圖1所示.若子彈還以相同的速度射向第一塊鋼板，穿出后再射向第二塊鋼板，求子彈射向第二塊鋼板的深度.設(shè)子彈在鋼板中受的阻力為恒力.兩塊鋼板不會(huì)發(fā)生碰撞，不計(jì)重力的影響.

解法一（高考參考答案）射子彈初速度為v0，射入厚度為2d的鋼板后最終和鋼板共同速度為v，由動(dòng)量守恒定律得：

（2m+m）v=mv0 （1）

解得：v=13v0，

此過程動(dòng)能損失為：

ΔE=12mv02-12×3mv2 （2）

整理得△E=13mv02

分成兩塊鋼板后，設(shè)射子彈射穿第一塊鋼板后，兩者速度分別是v1和v2，由動(dòng)量守恒定律得：

mv2+mv1=mv0（3）

因?yàn)殇摪鍖?duì)子彈的阻力為恒力，則射穿第一塊鋼板的動(dòng)能損失應(yīng)為12ΔE，由能量守恒得：

12mv12 + 12mv22 = 12 mv02- 12ΔE（4）

聯(lián)立（1）、（2）、（3）、（4）式，且考慮到v2必須小于v1得：

v1=（12 +36）v0（5）

設(shè)子彈射入第二塊鋼板并留在其中后兩者的共同的速度是v3，由動(dòng)量守恒定律得：

2mv3=mv1（6）

損失的動(dòng)能為ΔE/=12mv12-12×2mv32（7）

聯(lián)立（1）、（2）、（5）、（6）、（7）式得

ΔE′=12（1+ 32）×12ΔE（8）

因?yàn)樽訌椩阡摪逯惺艿降淖枇楹懔?，由?）式得射入第二塊鋼板的深度x為：

x=12（1+ 32）d （9）

解法二（相對(duì)運(yùn)動(dòng)法）

設(shè)子彈初速度為v0，子彈射入厚度為2d的鋼板時(shí)，鋼板的加速度是a，選定初速度為正方向，根據(jù)牛頓第二定律F=ma（F為恒力）得：子彈加速度：-2a，厚度為d的鋼板加速度均為2a .

當(dāng)子彈射入厚度為2d的鋼板時(shí)：選鋼板為參考系，則子彈：初速v0相=v0，a相=-3a，末速v相=0，x相=2d

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：2ax=v2-v20（1）

得： v20=12ad （2）

設(shè)子彈射穿第一塊厚度為d的鋼板后，子彈和鋼板的速度分別是v1和v2（且v1>v2）以鋼板為參考系，子彈的：初速：v0相=v0，末速v相=v1-v2，a相=-4a，x相=d仍由（1）式得：

（v1-v2）2-v20=2×（-4a）×d（3）

再由動(dòng)量守恒定律得：mv0=mv1+mv2 （4）

聯(lián)立（2）、（3）、（4）得：

v1=12（1+ 33）v0 （5）當(dāng)子彈再射入第二塊厚度為d的鋼板時(shí)，以鋼板為參考系，子彈的： 初速v0相=v1，末速v相=0，a相=-4a，x相=d′，再由（1）式得：

0-v21=2×（-4a）d′（6）

由（2）、（5）、（6）得： d′=12（1+ 32）d

這種方法用三個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程并且都用同一個(gè)公式：2ax=v2-v20和一個(gè)動(dòng)量守恒方程解出的，比高考參考答案簡(jiǎn)單得多.

解法三、解法四（圖象法）

說明（1）如圖2的圖象ABCIJ和t1IJ分別表示子彈射質(zhì)量為

2m鋼板時(shí)，子彈和鋼板的運(yùn)動(dòng)情況簡(jiǎn)圖.

（2）圖象ABCDEF、t1GK和t3EF分別為子彈射進(jìn)兩塊質(zhì)量為m的鋼板時(shí)，子彈、第一塊鋼板和第二塊鋼板的運(yùn)動(dòng)情況簡(jiǎn)圖.

圖像簡(jiǎn)化：去掉子彈和鋼板的勻速運(yùn)動(dòng)過程，簡(jiǎn)化成如圖3的圖像.（突出子彈打鋼板過程，運(yùn)動(dòng)過程理想化，不影響結(jié)果）.其中t1時(shí)刻既是子彈剛穿出第一塊質(zhì)量為m的鋼板時(shí)，也是剛穿進(jìn)第二鋼板時(shí)刻.其中ABC和OC表示子彈打質(zhì)量為2 m鋼板；AEF、OD和t1B分別表示子彈射穿兩塊質(zhì)量為m鋼板時(shí)，子彈、第一塊鋼板及第二塊鋼板的速度圖像.

應(yīng)用的數(shù)學(xué)圖像常識(shí)有：公式v=v0+at又是直線方程；直線斜率表示加速度；“面積”表示位移，“面積”差表示相對(duì)位移；由動(dòng)量守恒可知子彈射質(zhì)量為2 m鋼板后，共同速度是v′=v0/3.

解由圖3設(shè)子彈的初速度為v0，并且以它的方向?yàn)檎?子彈射穿質(zhì)量為2 m的鋼板過程中，時(shí)間是t0，鋼板的加速度為a，據(jù)牛頓第二定律F=ma（F恒定），子彈加速度為-2a；質(zhì)量為m的鋼板的加速度都為2a；設(shè)DE表示的速度為Δv，加速度定義：a=v03t0（斜率），則其它的加速度大小都是2v03t0.

對(duì)于OD：v0-Δv2=2v0t13t0

，整理得

3t0（v0-△v）=4v0t1（1）

三角形ACO面積為：12v0t0=2d即：v0t0=4d（2）

依題意，梯形AEDO面積為：

d=12（Δv+v0）t1（3）

聯(lián)立（1）、（2）、（3）得：Δv=v03（4）

t1=3-34t0 （5）

（為節(jié)約篇幅，以上結(jié)論解法三和解法四共用）

解法三（直線方程求交點(diǎn)確定坐標(biāo)法）

圖中B為AB、t1B的交點(diǎn)，通過AB、t1B的直線方程可以求出其坐標(biāo)：

AB直線方程：v=v0-2v03t0t （6）

t1B直線方程：v=2v03t0（t-t1） （7）

聯(lián)立（6）、（7）式得t=9-38t0（為圖中t2坐標(biāo)）（8）

由（8）式和（5）式得t1t2=t2-t1=3+38t0（9）

由幾何關(guān)系和（4）式得：Et1=3+36v0（10）穿入第二塊質(zhì)量為m的鋼板深度d′即為ΔEt1B的面積，聯(lián)立（9）、（10）和（2）式及三角型面積公式得：

d′=12×3+38×3+36v0t0=12（1+32）d（11）

解法四（相似三角形法）

見圖象，延長(zhǎng)OD交直線AB于F點(diǎn)，則△FAO和△BEt1相似，由幾何關(guān)系容易看出vF=12v0，通過斜率2v03t0容易解出t3=34t0（12）

△FAO的面積為：12×v0×34t0=32d，聯(lián)立（2）式，再由幾何關(guān)系和（4）式得

Et1=AO-Dt1=3+36v0 （13）

根據(jù)相似比性質(zhì)：邊長(zhǎng)平方比等于面積比得

Et21：AO2=d′：（3d2） ，（其中AO=v0）

聯(lián)立（13式）得：

d′=12（1+32）d

上面解題法應(yīng)用學(xué)生常見的數(shù)學(xué)方法.解題明顯步驟簡(jiǎn)單.學(xué)生容易操作，比參考答案簡(jiǎn)單.