由一道高考題談數(shù)形結(jié)合

張永亮

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

例1設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）.

（1） 當(dāng)b=a24+1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值g（a）的表達(dá)式；

（2） 已知函數(shù)f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

分析本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值、分段函數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等分析問題和解決問題的能力.

解（1） 當(dāng)b=a2/4+1時(shí)，f（x）=（x+a/2）2+1，所以對稱軸為直線x=-a/2.

當(dāng)a≤-2時(shí)，g（a）=f（1）=a2/4+a+2；

當(dāng)-2

當(dāng)a>2時(shí)，g（a）=f（-1）=a2/4-a+2.

綜上g（a）=a2/4+a+2，a≤-2，1，-22.

（2）解法一：設(shè)s，t為方程f（x）的解，且-1≤t≤1，則s+t=-a，st=b.

由于0≤b-2a≤1，因此-2tt+2≤s≤

1-2tt+2（-1≤t≤1）.

當(dāng)0≤t≤1，-2t2t+2≤st≤

t-2t2t+2，由于-23≤-2t2t+2≤0和

-13≤

t-2t2t+2≤9-45，所以-23≤b≤9-45.

當(dāng)-1≤t<0時(shí)，t-2t2t+2≤st≤-2t2t+2，由于-2≤-

2t2t+2<0和-3≤t-2t2t+2<0，所以-3≤b<0.

綜上，b的取值范圍是[-3，9-45].

解法二由題意知，要使f（x）在[-1，1]存在零點(diǎn)，且滿足0≤b-2a≤1，則必須滿足條件

f（-1）f（1）<0，0≤b-2a≤1，或

Δ≥0，f（-1）≥0，f（1）≥0，-1≤-a/2〗≤1，0≤b-2a≤1，即a，b滿足下列條件

1-a+b≥0，1+a+b≤0，0≤b-2a≤1，或1-a+b≤0，1+a+b≥0，0≤b-2a≤1，或b≤a2/4，1-a+b≥0，1+a+b≥0，-1≤-a/2≤1，0≤b-2a≤1.表示

下圖A，B，C，O為頂點(diǎn)的區(qū)域.

可以知道A坐標(biāo)為（4-25，9-45），B坐標(biāo)為（-2，-3），從而b的范圍為[-3，9-45].

例2若方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析將對數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍

內(nèi)有實(shí)解的問題，再利用二次函數(shù)的圖象進(jìn)行解決，也可以直接用m表示出一元二次方程的根，再討論根的范圍.

解法一原方程變形為3-x>0，-x2+3x-m=3-x，即 3-x>0，（x-2）2=1-m.

設(shè)曲線y1=（x-2）2，x∈（0，3）和直線y2=1-m，圖象如圖所示.

由圖可知：

（a）當(dāng)1-m=0時(shí)，有唯一解，m=1；

（b）當(dāng)1≤1-m<4時(shí)，有唯一解，即-3

所以m=1或-3

解法二原方程在x∈（0，3）內(nèi)有唯一解，等價(jià)于方程-x2+3x-m=3-x在x∈（0，3）內(nèi)有唯一解，

即x2-4x+m+3=0在x∈（0，3）內(nèi)有唯一解.

（a）Δ=0時(shí)，即m=1時(shí)，方程為x2-4x+4=0，有唯一解x=2∈（0，3）.

（b）Δ>0時(shí)，即m<1，方程有兩個(gè)不同的解x1=2-1-m，x2=2+1-m.要使方程在x∈（0，3）內(nèi)有唯一解，需要滿足x1≤0，0

解得-3

綜上，要使原方程在x∈（0，3）內(nèi)有唯一解，m=1或-3