讓數(shù)學課堂成為師生向往的樂園
——從一堂習題課教學中找策略

●陳曉明

(寧國中學 安徽寧國 242300)

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讓數(shù)學課堂成為師生向往的樂園
——從一堂習題課教學中找策略

●陳曉明

(寧國中學 安徽寧國 242300)

高中數(shù)學課堂普遍存在著一種現(xiàn)象：教師講的多，學生聽的多；教師展示的多，學生看的多；教師自問自答的多，學生隨聲附和的多；關鍵點、難點被教師直接點破的多，導致學生似懂非懂的多.這種現(xiàn)象產(chǎn)生的直接結果是：課堂上學生仿佛都能聽懂，課后自己真正會做的少[1]．于是，“教師教得辛苦，學生學得痛苦”!

如何讓數(shù)學課堂成為師生向往的樂園，筆者以一堂習題課教學為例,以期拋磚引玉，尋找解決問題的策略．

在本學期高三一輪復習中遇到了下面一個題目，筆者首先在黑板上出示該題：

題目 設集合A={x|x2+2x-3>0}，集合B={x|x2-2ax-1≤0,其中a>0}．若A∩B中恰含有1個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．

(讓學生充分思考，教師在班里巡視．)

許多學生易得到：

A={x|x2+2x-3>0}={x|x<-3或x>1},

B= {x|x2-2ax-1≤0,其中a>0}=

(這時在班上筆者通報了這種情況．請問誰來分析一下對這個題目你是怎么想的？不一會兒有學生舉手了.)

生1：要求a的范圍，肯定要根據(jù)條件“A∩B中恰含有1個整數(shù)”，先要求出A∩B，但我求不出A∩B，因為B中含有字母．我想可能要分類討論.

師：要求A∩B，關鍵在哪里？

師：你會比較嗎？

這時筆者在班上大聲問到：誰能幫個忙，判斷出它們2個的大小關系？

(不一會兒，有學生舉手了．)

顯然

因此

這時，有學生插嘴說：因為

所以

圖1

從而

解得

師：那你說說看．

生3：

師：你太有才了！竟然想到了分子有理化！

(給學生充分的思考時間，學生們的智慧是不可限量的！這時，也許是表揚生3后激發(fā)了大家的斗志，又有學生舉手了．)

生4：我的解法與眾不同，我根本就沒有解集合B中的不等式．

令f(x)=x2-2ax-1(其中a>0),設2個零點分別為x1，x2，且x1<0

由A={x|x<-3或x>1}知，若“A∩B中恰含有1個整數(shù)”，則該整數(shù)只能為-4或2．

1)若該整數(shù)為-4，則由題意知

即

解得

這與a>0矛盾．故該整數(shù)不可能為-4．

2)若該整數(shù)為2，則由題意知

即

解得

由1)，2)可知，該整數(shù)只能為2．

師：真沒想到，不解集合B中的不等式，也能求出a的范圍.本題實質上是用了零點存在性定理，一個完全不同的視角！請大家比較一下這2種方法的優(yōu)劣．

(學生們眾說紛紜．這時班上有名的“數(shù)學王子”站起來了，他的想法一直都很獨特．)

師：很好的變式拓展，學數(shù)學就要這樣！

(講到這兒，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學課代表早已舉起了手．)

生6：我覺得生4的解法可簡化．

由前面分析可知，這個整數(shù)只能為-4或2．

1)若該整數(shù)為-4，令

f(x)=x2-2ax-1(其中a>0)，

因為f(x)=x2-2ax-1(其中a>0)的對稱軸x=a>0且左零點x1應滿足x1∈(-5,-4]，所以右零點應滿足x2>4．

這樣A∩B中就不僅有1個整數(shù)了，至少有3個整數(shù)：2，3，4．故這種情況不成立．

2)若該整數(shù)為2，則由x1x2=-1<0，知正根x2必在[2,3)內，因此

即

解得

由1)，2)可知，該整數(shù)只能為2．

(看到別人在改進方法，一向比較內斂的生7突然舉起了手，看來他也想展示一下自己的數(shù)學天賦.)

解得

師：還是你的方法最簡單！我們就要像生7這樣學數(shù)學：敢于挑戰(zhàn)自己，不迷信權威,這樣就能創(chuàng)造奇跡！

(生7聽后露出了以前我們從來沒看過的笑容.)

筆者想起葉瀾教授曾說：“課堂是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情行程．”[2]美國著名數(shù)學教育家波利亞也曾說：“一個專心的認真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”．[3]當然，要做到這點，首先教師對試題本身要有深入的研究；其次，對學生的課堂參與要給予足夠的激勵和引導．把課堂還給學生，注意傾聽他們的聲音，點燃他們的思維之火，讓數(shù)學課堂成為師生向往的樂園！

[1] 陳曉明．數(shù)學課堂有效教學的關鍵：把課堂還給學生[J]．數(shù)學教學研究，2015(7)：15．

[2] 陳曉明．數(shù)學課堂有效教學的關鍵：把課堂還給學生[J]．數(shù)學教學研究，2015(7)：18．

[3] 于世章．挖掘課本習題價值上好復習課[J]．數(shù)學通報，2014(12)：36．