Pareto分布的Pearson-χ2距離

季海波

(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 宿遷 223800)

?

Pareto分布的Pearson-χ2距離

季海波

(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 宿遷 223800)

對(duì)Pareto分布Pa(θ,a)進(jìn)行研究， 給出兩個(gè)Pareto分布之間的Pearson-χ2距離的表達(dá)式。在兩個(gè)參數(shù)都不同的情況下，得到了兩個(gè)Pareto分布之間Pearson-χ2的最大距離。此外，在尺度參數(shù)a相同情況下，討論了兩個(gè)Pareto分布間的最大距離。

密度函數(shù)；Pareto分布；距離。

0 引言

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，為了比較兩個(gè)密度函數(shù)的差異性，通常利用Pearson-χ2距離來刻畫。盡管它們已經(jīng)不再滿足距離公理中的某些條款，但是它們確實(shí)能夠在某種程度上刻畫兩個(gè)密度函數(shù)的差異程度。而且近年來，人們?cè)谟懻摌O值分布的大樣本問題、分布函數(shù)的計(jì)算機(jī)模擬樣本的收斂性時(shí)，Robert等[1]，Liu等[2]和Reiss[3]都使用到了Pearson-χ2距離，作為衡量標(biāo)準(zhǔn)來判斷一個(gè)密度函數(shù)列是否收斂到某個(gè)確定的密度函數(shù)。因此，可以看出該距離是非常重要的。

Pareto分布是收入分配理論中一種重要的統(tǒng)計(jì)分布，最初是由意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家Pareto作為收入分布在其1895年和1897年的論文中提出的，是一個(gè)具有遞減的失效函數(shù)。Arnold[4]詳細(xì)論述了Pareto分布的性質(zhì)及應(yīng)用，并給出了兩參數(shù)的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，分別為：

(1)

其中，θ>0為形狀參數(shù)，a>0為尺度參數(shù)且為門限參數(shù)，記Pa(θ,a)。

陳光曙[5]給出了兩個(gè)分布之間的Pearson-χ2最大距離的相關(guān)性質(zhì)。本文著重討論兩個(gè)Pareto分布的Pearson-χ2距離和Pearson-χ2最大距離。

1 伽瑪分布的距離

定義1 設(shè)隨機(jī)變量X,Y分別具有密度函數(shù)地f(x),g(x)，且f(x)>0，若：

由定義有如下結(jié)論成立：

定理1 設(shè)f(x),g(x)分別是Pa(θ1,a1)Pa(θ2,a2)的密度函數(shù)，則當(dāng)θ1<2θ2時(shí)有，

且1)當(dāng)θ1→θ2,a1→a2時(shí)，d2(f,g)→0；

證明：由于f(x),f(x)分別是Pa(θ1,a1)Pa(θ2,a2)的的密度函數(shù)，則：

f(x)=θ1a1θ1x-(θ1+1)(x≥a1;a1,θ1>0)

g(x)=θ2a2θ2x-(θ2+1)(x≥a2;a2,θ2>0)

取a=max{a1,a2}，

(2)

則當(dāng)θ1<2θ2時(shí)有，

(3)

將(3)式帶入(2)式有,

(4)

故由定義有，

(5)

顯然還有，

1)當(dāng)θ1→θ2,a1→a2時(shí)，d2(f,g)→0；

則定理1得證。

類似地當(dāng)θ2<2θ1還可以得到

(6)

2 伽瑪分布的Pearson-χ2最大距離

由定義有如下結(jié)論成立：

則有，

(7)

且顯然有，

則定理得證。

特別地，當(dāng)a1=a2=a時(shí)由如下結(jié)論：

且顯然有，

[1] Robert G O, Shau S K. Updating schemes, correlation structure, blocking and parameterization for the Gibbssampler[J].J R Statist Soc B,1997,59:291-317.

[2] Liu S J, Wong W H, Kong A. Correlation structure and convergence rate of the Gibbs sampler with various scans[J].J R Statist Soc B, 1995,57:157-169.

[3] Reiss R D. Approximate Distributions of Order Statistics[M].New York: Springer,1980.

[4] Arnold B C. Pareto Distribution[M].Fairland,Maryland：International Co-Operative Publishing House, 1938.

[5] 陳光曙.Pearson-χ2的最大距離的性質(zhì)[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2005,28(4):402-404.

(責(zé)任編輯：孫文彬)

The Study of Pearson-χ2Distance for Gamma Distribution

JI Hai-bo

(School of Liberal and Science, Suqian College, Suqian Jiangsu, 223800, China)

The Pareto distribution Pa(θ,a) is studied, and the expression of Pearson-χ2distance between two Pareto distributions was given. For two different parameters, it sets the Pearson-χ2maximum distance between two Pareto distributions. Moreover, with the same parameter a, it was also discussed..

density function; Pareto distribution;Pearson-χ2distance

2016-08-01

季海波(1981-)，男，江蘇南通人，講師，碩士，主要從事極限理論研究。

O212.62

A

1009-7961(2016)05-0081-04