Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的投影同步

陳昌忠， 何 平

(四川理工學院 自動化與電子信息學院， 四川 自貢 643000)

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Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的投影同步

陳昌忠， 何 平*

(四川理工學院 自動化與電子信息學院， 四川 自貢 643000)

基于小增益理論，本文研究了一個新型Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的投影同步問題.一個更為一般的達成投影同步的充分條件被推得.數(shù)值仿真驗證了本文所設(shè)計的投影同步的有效性.

Victor-Carmen混沌系統(tǒng); 投影同步; 小增益理論

[11]中，Victor Grigoras和Carmen Grigoras在線性振蕩環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，通過引入非線性動態(tài)，得到了一個新型的混沌系統(tǒng)，如下所示：

(1)

圖1 Victor-Carmen混沌系統(tǒng)(1)的相圖Fig.1 Phase diagram of the Victor-Carmen chaotic system (1)

其中，x=[x1， x2， x3]T是Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a， b， α， β， γ是系統(tǒng)參數(shù).

設(shè)定參數(shù)a=5， b=9， α=50， β=20， γ=4.1時，系統(tǒng)(1)表現(xiàn)出復雜的混沌性.當取初始條件為x(0)=[5， 1，-5]T時，Victor-Carmen混沌系統(tǒng)(1)的相圖如圖1所示.

通過計算可得系統(tǒng)的平衡點為

O1(0，0，0)、O2(-0.3468，0.0628，0.01104)、

O3(-2.064，1.382，0.02987)、

O4(0.2500，-0.002231，2'242)、

O5(4.787，2.948，-0.03248).

2 同步控制器設(shè)計

將系統(tǒng)(1)看作驅(qū)動系統(tǒng)，構(gòu)造響應系統(tǒng)如下所示.

(2)

定義誤差向量

(3)

則誤差動力學系統(tǒng)可以寫為

(4)

在不同初始條件下，在沒有控制器u作用下，響應系統(tǒng)和驅(qū)動系統(tǒng)的軌跡將不能達成同步.然而，在合適的同步控制器作用下，響應系統(tǒng)(2)和驅(qū)動系統(tǒng)(1)在任何初始條件下達成投影同步，為了實現(xiàn)這一目標，選擇控制器如下所示.

(5)

其中，參數(shù)k是稍后確定的投影同步控制器增益.

3 主要定理

定理若控制器增益k滿足條件

(6)

則驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)可以在同步控制器(5)的作用下達到關(guān)于標量因子η的投影同步，其中ε1和ε2是充分小的正常數(shù)，即0<ε1<1，0<ε2<1.

證明將同步控制器(5)代入誤差動力系統(tǒng)(4)可得

(7)

根據(jù)一階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)易知

e1(t)=exp(-t)e1(0).

(8)

則有

(9)

因此系統(tǒng)(7)可以簡化為

(10-1)

(10-2)

其中，將系統(tǒng)(10-1)、(10-2)看作兩個系統(tǒng)的互聯(lián)形式，將e2和e3分別視為子系統(tǒng)(10-1)的狀態(tài)和輸入，并對其構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(11)

將Lyapunov函數(shù)(11)沿系統(tǒng)(10-1)微分可得

(12)

選擇

(13)

其中，若ε1(0<ε1<1)是一個充分小的正常數(shù)，

(14)

則將(14)式代入(12)式可得

(15)

取K∞函數(shù)

(16)

則函數(shù)(11)是正則且正定的(proper & positive)，因此，函數(shù)(11)是系統(tǒng)(10-1)的ISS-Lyapunov函數(shù)，系統(tǒng)(10-1)是ISS的，且有

(17)

將e3和e2分別視為子系統(tǒng)(10-2)的狀態(tài)和輸入，并對其構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

(18)

將Lyapunov函數(shù)(18)給系統(tǒng)(10-2)微分可得

(19)

選擇

(20)

其中，ε2(0<ε2<1)的一個充分小的正常數(shù).假設(shè)

(21)

則有

(22)

同理取K∞函數(shù)

(23)

則函數(shù)(18)是正則且正定的(proper & positive)，函數(shù)(18)是系統(tǒng)(10-2)的ISS-Lyapunov函數(shù)，系統(tǒng)(10-2)是ISS的，且有

(24)

因此，根據(jù)(17)和(24)式可得

(25)

由條件(6)可知

γ2(γ1(r))≤r，?r>0，

(26)

由小增益定理可知，系統(tǒng)(10)的平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，則有

(27)

由(9)和(27)知，誤差系統(tǒng)(7)是全局漸近穩(wěn)定的，則在同步控制器(5)的條件下，驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)達成關(guān)于標量因子的投影同步.證畢.

4 系統(tǒng)仿真

選擇標量因子η=3，則初始誤差為

驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)在控制器u的作用下投影同步誤差的動態(tài)響應曲線如圖2-圖4所示.

圖2～圖4 表示了驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)的投影同步誤差，可以看出同步誤差很快收斂到零.

圖2 驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)的投影同步誤差e1Fig.2 PS error e1of drive system (1) and response system (2)

圖3 驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)的投影同步誤差e2Fig.3 PS error e2 of drive system (1) and response system (2)

圖4 驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(2)的投影同步誤差e3Fig.4 PS error e3 of drive system (1) and response system (2)

本文的投影同步包含了已有的完全同步和反同步，即，當η=1時，即為完成同步，η=-1時，即為反同步.

5 總結(jié)

本文研究了一個新型三維混沌系統(tǒng)的投影同步問題，其創(chuàng)新性在以下兩方面：1)簡要分析了Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的特性；2)基于小增益定理達成了其投影同步問題，包含了反同步與完全同步.最后，數(shù)值仿真表明了本文方法的有效性.

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Projective synchronization of the Victor-Carmen chaotic system

CHEN Changzhong, HE Ping

(School of Automation and Electronic Information, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong, Sichuan 643000)

The projective synchronization between two identical Victor-Carmen chaotic systems is investigated. Moreover, the general sufficient condition to achieve projective synchronization is obtained by using the small-gain theorem. Numerical simulation is then provided to show the effectiveness and feasibility of the proposed method.

Victor-Carmen chaotic system； projective synchronization； small-gain theorem

2015-11-17.

四川省教育廳基金項目(14ZA0203、14ZB0210)；四川理工學院科研基金項目(2014PY14)；人工智能四川省重點實驗室基金項目(2013RYJ01、2014RYY02)；企業(yè)信息化與物聯(lián)網(wǎng)測控技術(shù)四川省高校重點實驗室開放基金項目(2014WYJ01、2013WYY06).

1000-1190(2016)04-0521-04

O415.5

A

1 Victor-Carmen混沌系統(tǒng)

*通訊聯(lián)系人. E-mail: pinghe@suse.edu.cn.

過去30年，由于在各個領(lǐng)域的廣泛應用，對混沌同步的研究受到了廣大學者的親睞[1-2]，相關(guān)報道層出不窮[3-6]，諸多同步控制方法相繼被報道，譬如微分幾何方法[7]，滑模控制方法[8]，魯棒控制[9]，最優(yōu)控制方法[10]等，這些混沌同步在生物、化學、醫(yī)藥、信息、電子、保密通信等領(lǐng)域中都有廣泛應用.在諸多同步體制中，投影同步是最為感興趣的問題之一.最近，Victor Grigoras和Carmen Grigoras通過在線振蕩環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上引入非線性動態(tài)，得到了一個新型的三維混沌系統(tǒng)[11]，而并沒有對其同步問題予以研究.本文則基于小增益定理[12]研究其投影同步問題，從后文的分析可以看出，本文的同步控制器只需要確定額外的一個參數(shù)，其分析也是簡潔的.