一類帶擾動的風險模型的預警區(qū)問題

魏瑞雪,余國勝，熊昕

(江漢大學數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430056)

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一類帶擾動的風險模型的預警區(qū)問題

魏瑞雪,余國勝，熊昕

(江漢大學數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430056)

討論帶擾動的風險模型的預警區(qū)問題，此模型保費收入過程是復合Poisson-Geometric過程，兩類理賠計數過程分別為獨立的復合Poisson-Geometric過程和廣義Erlang(n)計數過程，得到此模型的第一預警區(qū)的一個條件矩母函數所滿足的積分-微分方程.

風險模型；第一預警區(qū)；條件矩母函數；積分-微分方程；Laplace變換

0 引言

研究保險精算風險理論中的預警區(qū)問題可以為保險公司決策者提供一個早期風險警示.于金酉等[1]討論了常利率復合Poisson風險模型中的預警區(qū)問題.崔巍等[2]研究了一類推廣的復合Poisson-Geometric風險模型的預警區(qū)問題.文獻[3]中充分應用盈余過程的強馬氏性，討論了一類復合Poisson-Geometric風險模型的第一個預警區(qū)的一個條件矩母函數.文獻[4]中對于一類常利率復合Poisson-Geometric風險模型的第一預警區(qū)問題進行了研究，得到第一預警區(qū)的一個條件矩母函數所滿足的積分——微分方程，在指數理賠的特殊情況下給出精確解.趙明清等[5]在復合Poisson-Geometric風險模型的基礎上，引入利率因素，研究了常利率復合Poisson-Geometric風險模型的預警區(qū)問題.文獻[6]中得到了多險種多復合Poisson-Geometric常利率風險模型第一預警區(qū)的一個條件矩母函數所滿足的積分-微分方程.近年來，帶擾動的風險模型正越來越受到人們的關注.Chiu等[7]考慮了帶擾動的經典風險模型.文獻[8]中考慮帶擾動的兩類理賠風險模型的罰金折扣函數，兩類理賠來到的計數過程分別為獨立的Poisson過程和廣義Erlang(n)過程.文劉震[9]等在文獻[8]的基礎上進行推廣，研究了帶擾動相關理賠下的風險模型的罰金折現函數.本文中在帶擾動的風險模型下討論預警區(qū)問題.這里我們對模型作進一步假設如下：

(1)

1 預備知識及引理

為此先介紹Poisson-Geometric過程的定義如下:

定義1.1[10]設λ>0,0≤ρ<1,稱{N(t);t≥0}為參數λ,ρ復合Poisson-Geometric過程，如果滿足：

i)N(0)=0;

ii) {N(t);t≥0}具有平穩(wěn)獨立增量;

注1.1 由定義1.1，當ρ=0時，復合Poisson-Geometric過程就是Poisson過程.因此，復合Poisson-Geometric過程是Poisson過程的一種推廣.

P{Ni(t)=0}=e-λit=1-λit+o(t),

2 Φ(-z,0,r)所滿足的積分-微分方程

定理2.1 記

(2)

(3)

定理2.1的證明 在充分小的時間(T,T+dt]內考察風險模型，記

對j=1,2,…,n-1,則由全期望公式及引理1.1有

由泰勒展開式及Ito公式得

(1-λ1dt)(1-λ3dt)λjdte-rdtE[Φj+1(H(T+dt),0,r)]+o(dt).

對上式整理并令dt→0,化簡得

(4)

對起始狀態(tài)為n,有

(5)

對上式整理化簡得

(6)

對上式整理并令dt→0,化簡得

(7)

注2.1σ=0,n=0,ρ1=0,ρ3=0,λ3=0,則(2)式為文獻[1]中的(2.1)式.

注2.2δ=0,σ=0,c=0,n=0,ρ3=0,則(2)式為文獻[2]中的(3.1)式.

注2.3δ=0,σ=0,n=0,ρ3=0,λ3=0,則(2)式為文獻[3]中的(3)式.

注2.4σ=0,c=0,n=0,ρ3=0,λ3=0,則(2)式為文獻[4]中的定理1.

注2.5σ=0,c=0,ρ3=0,n=0,則(2)式為文獻[5]中的(2)式.

3 Φj(-z,0,r)的Laplace變換

fρ1(x)是參數為α1=(1-ρ1)β1的指數分布的概率密度.同樣道理可得fρ3(z)是參數為α3=(1-ρ3)β3的指數分布的概率密度.假設{Yi;i≥1}服從參數為α2的指數分布.則定理2.1為

(8)

(9)

將(8)式兩邊關于z求導，并將(8)式兩邊同乘-α1與之相加整理可得

(10)

將(9)式兩邊關于z求導，并將(9)式兩邊同乘-α1與之相加整理可得

(11)

對(11)式兩邊關于z求導，并將(11)式兩邊同乘-α2與之相加整理可得

λ3(α1+α3)(α2+α3)e-α3z=0

(12)

(13)

(14)

令

其余aij(s)=0.再令A(s)=(aij(s))n×n,γ(s)=(γ1(s),γ2(s),…,γn(s))T,b(s)=(b1(s),b2(s),…,bn(s))T,T表示轉置.由(13)～(14)式可得

A(s)γ(s)=b(s)

(15)

下面舉一個例子：若假設{Xi;i≥1},{Yi;i≥1},{Zi;i≥1}均服從參數為1的指數分布.例如：取

此時

由(15)式可得

其中

[1] 于金酉,胡亦鈞,韋曉.常利率復合Poisson風險模型中的預警區(qū)問題[J].數學物理學報,2010，30A(1): 1-17.

[2] 崔巍,余旌胡.一類推廣的復合Poisson-Geometric風險模型下預警區(qū)問題的研究[J].數學物理學報,2012，32A(1): 27-40.

[3] 鐘朝艷. 復合Poisson-Geometric風險模型的預警區(qū)問題[J].經濟數學,2012,29(2):83-86.

[4] 鐘朝艷.一類常利率復合Poisson-Geometric風險模型的預警區(qū)問題[J].西南師范大學學報(自然科學版),2014,39(3): 36-40.

[5] 趙明清，尚鵬，李田.一類推廣的常利率復合Poisson-Geometric風險模型的預警區(qū)問題[J].經濟數學,2015,32(1):1-5.

[6] 賀小麗，余國勝.多險種多復合Poisson-Geometric常利率風險模型預警區(qū)問題[J].湖北大學學報(自然科學版),2016,38(1):18-24.

[7] Chiu S N，Yin C C.The time of ruin，the surplus prior to ruin and the deficit at ruin for the classical risk process perturbed by diffusion[J]. Insurance: Mathematics and Economics，2003,33:59-66.

[8] 趙永霞，王春偉. 帶擾動的兩類索賠風險模型的罰金折扣函數[J].高校應用數學學報A輯:2010,25(3):263-272.

[9] 劉文震，王傳玉. 帶擾動的兩類相關索賠風險模型的折現罰金函數[J].中國科學技術大學學報，2013,43(6):444-454.

[10] 毛澤春，劉錦萼.索賠次數為復合Poisson-Geometric過程的風險模型及破產概率[J].應用數學學報,2005,28(3):419-428.

(責任編輯 趙燕)

The analysis of the duration of negative surplus for a perturbed risk model

WEI Ruixue,YU Guosheng，XIONG Xin

(School of Mathematics and Computer Science,Jianghan University，Wuhan 430056，China)

We discussed the duration of negative surplus for a perturbed risk model.It was assumed that the income of insurance premiums was a compound Poisson-Geometric process and the corresponding claim computation processes were either independent compound Poisson-Geometric process or generalized Erlang(n) process.The integral-differential equations of a conditional moment generating function for the first duration of negative surplus had been obtained.Then the explicit expression about the Laplace transforms of the conditional moment generating function for the first duration of negative surplus is obtained when the premium and the claims are exponential distributions.Finally we gived an example to illustrate our results.

risk model; first duration of negative surplus;conditional moment generating function; integral-differential equation; Laplace transform

2016-04-27

武漢市教育局2015年市屬高校教學研究項目(2015057)資助

魏瑞雪(1996-)，女,本科生；余國勝,通信作者，講師,E-mail:guosyujianghanun@126.com

1000-2375(2016)06-0488-07

O211

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2016.06.004

當保單的價格，兩類理賠額分布密度均服從指數分布的條件時，給出此模型的第一預警區(qū)的一個條件矩母函數的Laplace變換的表達式，并給出實例以說明所得結果.