隨機(jī)變系數(shù)混料試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷腣-最優(yōu)設(shè)計(jì)

張小峰，張崇岐

（廣州大學(xué)a.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院；b.經(jīng)濟(jì)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

隨機(jī)變系數(shù)混料試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷腣-最優(yōu)設(shè)計(jì)

張小峰a，張崇岐b*

（廣州大學(xué)a.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院；b.經(jīng)濟(jì)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510006）

將隨機(jī)變系數(shù)的混料模型轉(zhuǎn)化為混合效應(yīng)模型，從而可以得到固定效應(yīng)的信息矩陣及其逆矩陣，同時(shí)證明如果一個(gè)設(shè)計(jì)在固定效應(yīng)部分是V-最優(yōu)，則這個(gè)設(shè)計(jì)在整個(gè)模型也是V-最優(yōu).給出在V-最優(yōu)準(zhǔn)則下的一階q分量和二階2分量隨機(jī)變系數(shù)混料模型的V-最優(yōu)設(shè)計(jì).

混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)；混合效應(yīng)模型；隨機(jī)系數(shù)回歸模型

0 引 言

混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)是最近幾十年發(fā)展的一門新的學(xué)科，它廣泛應(yīng)用于食品制造、生物制藥及農(nóng)業(yè)上.混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)不同于其他試驗(yàn)設(shè)計(jì)，對(duì)于一個(gè)q分量的回歸響應(yīng)值不依賴于在混料中總數(shù)的多少，而是僅僅與每個(gè)分量所占的比例有關(guān).在一個(gè)（q-1）維單純形利益區(qū)間內(nèi)必須滿足：

q階SCHEFFE線性模型為

SCHEFFE提出了多重線性模型［1-2］、單純形格子設(shè)計(jì)、單純形中心設(shè)計(jì)和其他相關(guān)的多項(xiàng)式模型，最優(yōu)準(zhǔn)則也陸續(xù)應(yīng)用到混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)［3-4］，見圖1～3.

圖1 一階3分量D-最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)Fig.1 First-order 3 vaviables of D-optimal design point

圖2 二階3分量D-最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)Fig.2 Second-order 3 vaviables of D-optimal design point

LAAKE提出了V-最優(yōu)準(zhǔn)則［5］，積分方差必須達(dá)到最小，同時(shí)LAAKE詳細(xì)地討論SCHEFFE模型二階和三階V-最優(yōu)，并得到最優(yōu)配置比.LIU等用矩陣分塊法得到q階q分量的SCHEFFE模型V-最優(yōu)［6］.最近幾年內(nèi)，隨機(jī)變系數(shù)回歸模型在試驗(yàn)設(shè)計(jì)領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用，但在混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方向還處于起步階段［7-9］，蔣瓊首次討論了混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的隨機(jī)變系數(shù)回歸模型的V-最優(yōu)［10］，但是只給出一階2分量及3分量的最優(yōu)配置.對(duì)于一個(gè)一般的多元線性回歸模型：

圖3 三階3分量D-最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)Fig.3 Third-order 3 vaviables of D-optimal design point

其中f′（x）＝（x1，x2，…，xq，x1x2，…），β是未知參數(shù)，β＝（β1，β2，…，βq）′.

根據(jù)V-最優(yōu)準(zhǔn)則：min（W），V-最優(yōu)等價(jià)定理［11］如下：

隨機(jī)系數(shù)回歸模型是為了表示未知參數(shù)在某個(gè)區(qū)域上發(fā)生變化的特征提出來(lái)的，在農(nóng)業(yè)、生物醫(yī)學(xué)等科學(xué)研究中有著非常廣泛的應(yīng)用.隨機(jī)變系數(shù)回歸模型為

n表示試驗(yàn)次數(shù)，yi是試驗(yàn)單元上的向量，Xi是ni×p設(shè)計(jì)矩陣，βi是p×1隨機(jī)系數(shù)向量，βi～N（bi，D），bi為未知帶估參數(shù)向量；εi為ni×1隨機(jī)誤差向量εi～N（0，Ri），其中bi和εi互不相關(guān)，D和Ri分別為正定的p×p和ni×ni已知矩陣，則有

1 隨機(jī)系數(shù)混料回歸模型向混合效應(yīng)模型的轉(zhuǎn)換

在混料試驗(yàn)中一階q變量隨機(jī)系數(shù)模型為

其中xiJ表示第i次試驗(yàn)，第J個(gè)分量的值.

隨機(jī)變系數(shù)模型（2）可以表示為

其中Xb是固定效應(yīng)，Xb*是隨機(jī)效應(yīng)，可以得到b*的期望與協(xié)方差陣，分別是：

為了便于討論，又不失一般性，設(shè)σ2＝1，設(shè)一個(gè)一般的設(shè)計(jì)形式如下：

其中ωi是第i個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的測(cè)度，而且滿足由式（4）可以得到模型（3）的信息矩陣

對(duì)于混料試驗(yàn)二階2變量隨機(jī)系數(shù)模型為

2 V-最優(yōu)設(shè)計(jì)

該引理的證明［12］.

證明 對(duì)于隨機(jī)變系數(shù)回歸模型信息矩陣的逆可以表示為M-1＝M0-1+D，根據(jù)V-最優(yōu)準(zhǔn)則有：

定理2

是模型（1）的V-最優(yōu)設(shè)計(jì).

證明 在這里的證明分兩步，首先求出V-最優(yōu)配置，再證明該配置在整個(gè)單純性利益區(qū)域內(nèi)是最優(yōu)的.

先求最優(yōu)配置，根據(jù)引理1得到：

由Lagrange乘子法得到：

再證明該配置在整個(gè)單純性利益區(qū)域內(nèi)是最優(yōu)的，運(yùn)用V-最優(yōu)等價(jià)定理：

定理3

是模型（5）的V-最優(yōu)設(shè)計(jì).

證明 對(duì)于模型（5）的固定效應(yīng)部分是中心設(shè)計(jì)，因此同一類點(diǎn)的測(cè)度是相同的，可以得到固定效應(yīng)部分的信息矩陣的逆：

等價(jià)定理（1），因此根據(jù)定理1可得到式（7）是模型（5）的V-最優(yōu)設(shè)計(jì).

3 結(jié)束語(yǔ)

將隨機(jī)變系數(shù)混料模型轉(zhuǎn)換成混合效應(yīng)模型，證明了只要一個(gè)設(shè)計(jì)在固定效應(yīng)部分V-最優(yōu)，則這個(gè)設(shè)計(jì)在整個(gè)隨機(jī)變系數(shù)混料模型也是V-最優(yōu).同時(shí)得出一階q分量和二階2分量隨機(jī)變系數(shù)混料模型的V-最優(yōu)設(shè)計(jì).在未來(lái)的研究中可以探討二階q分量，三階以及q階隨機(jī)變系數(shù)混料模型的V-最優(yōu)設(shè)計(jì)，同樣的也可以研究隨機(jī)變系數(shù)混料模型的D-最優(yōu)，A-最優(yōu)，G-最優(yōu)，E-最優(yōu).

［1］ SCHEFFE H.Experiments with mixture［J］.J Roy Statist Soc B，1958，20（2）：334-360.

［2］ SCHEFFE H.The simplex-centroid for experiments with mixtures［J］.J Roy Statist Soc B，1963，25（2）：235-263.

［3］ KIEFER J.Optimum designs in regression problems［J］.Ann Math Stastist，1961，30（2）：271-294.

［4］ CHAN L Y.D-optimal design for a quadratic log contrast model for experiments with mixture［J］.Commum Statist Theor Math，1992，21（10）：2909-2930.

［5］ LAAKE P.On the optimal design allocation of observations in experiments with mixtures［J］.Scand J Statist，1975，2（3）：153-157.

［6］ LIU S Z，NENDECKER H.A V-optimal design for scheffe polynomial model［J］.Statist Probab Lett，1995，23（3）：253-258.

［7］ LIU X，YUE R X，KASHINATH C.R-optimal designs in random coefficient regression models［J］.Statist Probab Lett，2014，88：127-132.

［8］ 鄧明，錢爭(zhēng)鳴.混合形式的變系數(shù)空間面板數(shù)據(jù)模型：一個(gè)多階段估計(jì)［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2014，33（2）：490-507.DENG M，QIAN Z M.Varying-coefficient spatial panel data model with mixture form：A multi-stage estimation［J］.J Appl Statist Manag，2014，33（2）：490-507.

［9］ 程靖，岳榮先.兩變量隨機(jī)系數(shù)回歸模型的最優(yōu)設(shè)計(jì)［J］.應(yīng)用概論統(tǒng)計(jì)，2012，28（3）：225-234.CHENG J，YUE R X.Optimal designs for bivariate random coefficient regression models［J］.Chin J Appl Probab Statist，2012，28（3）：225-234.

［10］蔣瓊.最優(yōu)變系數(shù)混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)［D］.廣州：廣州大學(xué)，2013.JIANG Q.Optimal designs for varying coefficient mixture experiment［D］.Guangzhou：Guangzhou University，2013.

［11］SILVEY S.Optimal design［M］.London：Chapman and Hall，1890.

［12］DEGROOT M H.Optimal statistical decision［M］.New York：McGraw Hill，1970：63.

［13］王松桂，史建紅，尹素菊，等.線性模型引論［M］.北京：科學(xué)出版社，2011.WANG S G，SHI J H，YIN S J，et al.Introduction to linear model［M］.Beijing：Science Press，2011.

V-optimal designs for m ixture experiment model w ith random coefficients

ZHANG Xiao-fenga，ZHANG Chong-qib
（a.School of Mathematics and Information Sciences；b.School of Economics and Statistics，Guangzhou University，Guangzhou 510006，China）

This paper studies mixture model with random coefficients that can be transformed into a mixed effects model.We obtain the information matrix and its inverse matrix of fixed effects.We prove that mixture design is V-optimal in the whole model if it is V-optimal in the fixed effect part.The V-optimal designs for firstorder q components and second-order two components'mixture model with random variable coefficients are given.

mixture experimental design；mixed-effects models；random coefficient regression models

O 212.6

A

1671-4229（2016）01-0027-05

【責(zé)任編輯：周 全】

2015-05-18；

2015-11-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271094）

張小峰（1989-），男，碩士研究生.E-mail：978584115＠qq.com

*通信作者.E-mail：cqzhang＠gzhu.edu.cn