楊巍
(廣西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,廣西南寧530001)
矩陣空間保相似關(guān)系或合同關(guān)系的函數(shù)
楊巍
(廣西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,廣西南寧530001)
設(shè)F是域,Mn(F)和Sn(F)分別記為F上n階全矩陣空間和n階對稱矩陣空間,刻畫了Mn(F)上保相似關(guān)系和Sn(F)上保合同關(guān)系的函數(shù)形式.
域;全矩陣空間;對稱矩陣空間;相似關(guān)系;合同關(guān)系
F表示一個域,Mn(F)和Sn(F)分別記為F上n階全矩陣空間和n階對稱矩陣空間,Eij表示Mn(F)上(i,j)位置是1,其余位置是0的矩陣;Di(k)表示(i,i)位置是k,(j,j)位置是1(j≠i),其余位置是0的初等陣;Tij(k)表示Mn(F)上(i,i)位置是1,(i,j)位置是k,其余位置是0的初等陣;對于任意A,B∈Mn(F),若存在Mn(F)上的可逆陣P滿足PAP-1=B,則稱矩陣A與B相似,記為A~B;對于任意A,B∈Sn(F),若存在Mn(F)上的可逆陣P滿足PAPT=B,則稱矩陣A與B合同;A⊕B表示矩陣的直和.
保持問題的研究是矩陣論研究中非?;钴S的一個領(lǐng)域[1-4].設(shè)f為F到自身的映射,A=(aij)∈Mn(F),記Af為矩陣(f(aij)),對于Mn(F)中任意相似矩陣A與B,均有Af與Bf相似,則稱f為Mn(F)的保相似關(guān)系的函數(shù);如果對于Sn(F)中任意合同的矩陣A與B,均有Af與Bf合同,則稱f為Sn(F)的保合同關(guān)系的函數(shù).此類問題的研究最初與積分被應(yīng)用于線性代數(shù)有關(guān)[5],后來Kalinowski[6-7]研究了保矩陣秩的函數(shù),Hao等[8]研究了保矩陣固定秩k的函數(shù),LI N N等[9]給出了保對合矩陣的函數(shù)的形式.本文是上述問題的擴(kuò)展,推廣到更一般的保相似和保合同關(guān)系的函數(shù)的刻畫.
定理1.1設(shè)F是一個域,n≥3,則f為Mn(F)上保相似關(guān)系的函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f為下述兩種形式之一:
根據(jù)相似矩陣有相同的特征根多項(xiàng)式,可得f(0)(f(0)-f(x))=0,由此可得如下兩種情形之一成立:
①f(0)=f(x),?x∈F;
②f(0)=0,且存在d1≠0使得f(d1)≠0(否則同①).
由①推出結(jié)論(i),下面我們分4步由②推出結(jié)論(ii).
Step1若f(d)=0,則d=0,?d∈F,即f為域F的單自同態(tài).
利用反證法,設(shè)存在d2≠0使得f(d2)=0,由f保相似及d2E11~d2E11+d1E12可得(d2E11)f=0與(d2E11+d1E12)f=f(d1)E12≠0相似,與相似定義矛盾,結(jié)論成立.
Step2f(x+y)=f(x)+f(y),?x,y∈F.
設(shè)
由f保相似及B=T32(1)·A·T32(-1)可知Af與Bf相似,又相似矩陣有相同的秩及Bf的秩≤2有Af的
Step3f(x)·f(y)=f(1)·f(xy),?x,y∈F.
不妨設(shè)x,y均不為0,令A(yù)=xE12+xyE13+E22+yE23,B=E22+yE23
由f保相似及T12(x)·A·T12(-x)=B可知Af與Bf相似,同理由Bf秩≤1得到Af的秩≤1,即
Step4存在0≠c∈F及域F的單位自同態(tài)δ,使得f=cδ.
?x,y∈F,令f(1)=c≠0及δ=c-1f,易得δ(x+y)=δ(x)+δ(y);再由Step2有c-1f(xy)=c-1f(x)·c-1f(y),即δ(xy)=δ(x)·δ(y).綜上結(jié)論成立.
定理2設(shè)F為域,n≥3,且chF≠2,則f為Sn(F)的保合同關(guān)系的函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f為下述兩種形式之一:
(i)f為常函數(shù);
(ii)存在0≠c∈F及域F的單位自同態(tài)δ,使得f=cδ.
證明:充分性顯然,下面證明必要性.
Step1若f(d)=0,則d=0,?d∈F,即f為域F的單自同態(tài).
Step2f(x+y)=f(x)+f(y),?x,y∈F.
由f保合同及T32(-1)·T31(-1)·A·T13(-1)·T23(-1)=B,從而Af與Bf合同,由合同矩陣有相同的秩及Bf
整理得:f(x+y)=f(x)+f(y),?x,y∈F.
Step3f(x)·f(y)=f(1)·f(xy),?x,y∈F.
不妨設(shè)x,y均不為0,令A(yù)=E11,B=E11+xE12+xE21+x2E22,由f保合同及T21(-x)·B·T12(-x)=A可知Af與 Bf相似,同理由Af的秩≤1得到Bf秩≤1即
由此式出發(fā),用x+y代替其中的x可得f(1)f((x+y)2)=f2(x+y).
利用step2之結(jié)果及chF≠2結(jié)論可得.
Step4與定理1之Step4類似(略).
[1]楊巍.域上2階上三角矩陣空間保對合性的線性算子[J].廣西工學(xué)院學(xué)報(bào),2013,24(4):88-90.
[2]曹重光,張顯,唐孝敏.高等代數(shù)方法選講[M].北京:科學(xué)出版社,2011.
[3]黃麗,劉敏.標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)上完全保對合性的可加映射[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2012,42(10):156-162.
[4]SHENG Y Q,GE Y L,ZHANG H Y,et al.Group Inverses for a class of Block Matrices over Rings[J].Applied Mathematics and Computation,2013(219):9340-9346.
[5]MARKOV'A A.Some Remarks on the Pseudo-linear Algebra[J].Tatra Mt.math.publ,1995(6):123-130.
[6]KALINOWSKI J.On Rank Equivalence and Rank Preserving Operators[J].Journal of Mathematics Novi Sad,2002,32(1):133-139.
[7]KALINOWSKI J.On Functions Preserving Rank of Matrices[J].Math Notes,2003(1):35-37.
[8]HAO L Z,ZHANG X.Functions Preserving Rank-k matrices of Order n over Fields[J].Miskok Mathematical Notes,2005(6):197-200.
[9]Li N N,CAO C G,LIU S W.Functions Preserving Involutory of Matrices of Order n over Fields[C].//Proceedings of the sixth International Conference of Matricies and Operators,Chengdu,China.World Academic Press,2011:242-245.
Maps preserving similarity and congruence relations over matrix space
YANG Wei
(Department of Basic Courses,Guangxi Vocational&Technical Institute of Industry,Nanning 530001,China)
Suppose F is a field,we denote by Mn(F)and Sn(F)be the vector spaces of all n×n full matrices and all n×n symmetric matrices over F respectively.In this paper,the maps preserving similarity relation on Mn(F)and congruence relation on Sn(F)are given.
field;space of full matrices;space of symmetric matrices;similarity relation;congruence relation
O151
A
2095-7335(2016)02-0104-03
10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2016.02.018
(學(xué)科編輯:張玉鳳)
2015-12-22
2013年度廣西高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目A類課題(2013JGA371)資助.
楊巍,碩士,講師,研究方向:線性保持問題,E-mail:312484068@qq.com.