關(guān)于正規(guī)函數(shù)和球面導(dǎo)數(shù)乘積的進(jìn)一步結(jié)果

戚建明，朱泰英

(上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部，上海 201306)

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關(guān)于正規(guī)函數(shù)和球面導(dǎo)數(shù)乘積的進(jìn)一步結(jié)果

戚建明，朱泰英

(上海電機(jī)學(xué)院 數(shù)理教學(xué)部，上海 201306)

基于亞純函數(shù)正規(guī)族理論，運(yùn)用正規(guī)函數(shù)的概念和球面導(dǎo)數(shù)乘積的形式，獲得了一些新的結(jié)果，改進(jìn)了Xu和Qiu得到的相關(guān)結(jié)果.

亞純函數(shù)； 正規(guī)族； Nevanlinna理論； 球面導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)f(z)除去極點(diǎn)之外在整個復(fù)平面上是解析的，我們稱其為亞純函數(shù).我們假定讀者熟悉Nevanlinna理論[1-2].當(dāng)r→∞時(shí)，除去r的有限線性測度，記S(r,f)=o(T(r,f)).設(shè)f(z)和a(z)為復(fù)平面上的亞純函數(shù).如果T(r,a)=S(r,f)，則a(z)稱為f(z)的小函數(shù).設(shè)D為上一區(qū)域且F為D上的一族亞純函數(shù).F在區(qū)域D上正規(guī)，即如果每一序列{fn}?F有一子序列{fnj}在區(qū)域D上按球徑一致收斂為一亞純函數(shù)或者∞[1-2].并設(shè)Δ為復(fù)平面上的一單位圓.

正規(guī)函數(shù)的概念是由Lehto和Virtanen[3]引入的，且他們證明關(guān)于正規(guī)函數(shù)與球面導(dǎo)數(shù)的一特征：一函數(shù)f在Δ上正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)

這里

是f的球面導(dǎo)數(shù).

1998年，Chen和Lappan[4]證明了如下結(jié)果.

定理A[4]設(shè)f為Δ上的一亞純函數(shù)且f的所有零點(diǎn)重?cái)?shù)至少是3.對任何的z∈Δ，如果存在正數(shù)δ和M滿足

f#(z)(f′)#(z)(f″)#(z)≤M

(1)

且滿足|f(z)|≤δ和(1-|z|2)|f′(z)|≤δ,則f是一正規(guī)函數(shù).如果f所有的零點(diǎn)是重的且對任何的z∈Δ，且式(1)被

(1-|z|2)f#(z)(f′)#(z)≤M

或者

(f′)#(z)≤M

所取代且|f(z)|≤δ和(1-|z|2)|f′(z)|≤δ成立，則結(jié)論仍然成立.

2015年，Xu和Qiu[5]運(yùn)用與Chen和Lappan[4]不同的方法并且獲得如下結(jié)果.

定理B[5]設(shè)f為Δ上的一非常數(shù)的亞純函數(shù).假定存在M>0且對任何的z∈Δ，如果f(z)=0使得|f′(z)|≤M和|f″(z)|≤M成立.如果存在一含有12個不同點(diǎn)的集合E1在上，對任何的z∈Δ∩f(-1)(E1)且存在一正數(shù)K1使得

f#(z)(f′)#(z)(f″)#(z)≤K1

(2)

成立，則f是一正規(guī)函數(shù).

定理C[5]設(shè)f為Δ上的一非常數(shù)的亞純函數(shù)，假定存在M>0且對任何的z∈Δ,如果f(z)=0使得|f′(z)|≤M.如果

(i) 存在一含有8個不同點(diǎn)的集合E2在上，對每一個z∈Δ∩f(-1)(E2)且存在一正數(shù)K2滿足

f#(z)(f′)#(z)≤K2

(3)

或者

(ii) 存在一含有6個不同點(diǎn)的集合E3在上，對每一個z∈Δ∩f(-1)(E3)且存在一正數(shù)K3滿足

(f′)#(z)≤K3,

(4)

則f是一正規(guī)函數(shù).

在本文中，我們獲得如下結(jié)果.

定理1 設(shè)f為Δ上的一非常數(shù)的亞純函數(shù)且k≥2為一正整數(shù).假定存在M>0，對任何的z∈Δ，只要f(z)=0且滿足|f(i)(z)|≤M(1≤i≤k+1).如果存在一含有2k+10不同個點(diǎn)的集合E1在上，對每一個z∈Δ∩f(-1)(E1)且存在一正數(shù)K1滿足

(5)

則f是一正規(guī)函數(shù).

定理2 設(shè)f為Δ上的一非常數(shù)的亞純函數(shù)且k為一正整數(shù).假定存在M>0，對任何的z∈Δ，只要f(z)=0且滿足|f(i)(z)|≤M(1≤i≤k).如果

(i) 存在一含有k+7個不同點(diǎn)的集合E2在上，對每一個z∈Δ∩f(-1)(E2)且存在一正數(shù)K2滿足

(6)

或者

(ii) 存在一含有k+5(k≥2)個不同點(diǎn)的集合E3在上，對每一個z∈Δ∩f(-1)(E3)且存在一正數(shù)K3滿足

(7)

則f是一正規(guī)函數(shù).

注1 在式(5)，(6)，(7)中如果k=1，則分別是式(2)，(3)，(4)，且定理1，2就是定理A，B.因此在定理1和定理2的(ii)中我們考慮的是k≥2的情形.

為了證明我們的定理，需要下面3個引理：

引理1[1-2]設(shè)f為一在上非常數(shù)亞純函數(shù)，且設(shè)a1,a2,…,aq(q≥3)∈∪{∞}為不同的復(fù)數(shù)，則

引理2[1-2]設(shè)f為一在上非常數(shù)亞純函數(shù)，且設(shè)k∈，則

T(r,f(k))≤(k+1)T(r,f)+S(r,f).

下面的引理[4]是由Chen和Lappan引入的.

對于α=0的情形，由Lohwater和Pommerenke[6]所證.

下面我們來證明定理1，在證明中運(yùn)用文獻(xiàn)[5]中的一些思想.

假定f不是正規(guī)函數(shù).則由引理3，存在一點(diǎn)列zn∈Δ，|zn|→1，和一正數(shù)序列ρn滿足ρn→0且

gn(ζ)=f(zn+ρnζ)→g(ζ)

(8)

(9)

假定g(ζ0)=0.運(yùn)用Hurwitz’s定理我們得到存在ζn,ζn→ζ0滿足f(zn+ρnζn)=0.對足夠大的n，由ρn→0即zn+ρnζn∈Δ.則由假設(shè)，我們有|f(i)(zn+ρnζn)|≤M(1≤i≤k+1).從式(9)可得，我們有

(n→∞).即得g(i)(ζ0)=0(1≤i≤k+1).則g的所有零點(diǎn)重?cái)?shù)至少是k+2.即g是一非常數(shù)函數(shù)且對1≤i≤k+2,g(i)?0.

設(shè)E1={a1,a2,…,a2k+10}，這里a1,a2,…,a2k+10為上不同的點(diǎn).現(xiàn)在假定g(ζ0)=ai∈E1.由式(8)和Hurwitz’s定理，存在一點(diǎn)列ζn,ζn→ζ0滿足f(zn+ρnζn)=ai.簡之，設(shè)un=zn+ρnζn.顯然對充分大的n有un∈Δ，且設(shè)un∈Δ∩f(-1)(E1).則由假設(shè)，對充分大的n有

因此，當(dāng)n→∞時(shí)，有

(10)

即得到

因此對每一個ai∈E1，g-ai的任一零點(diǎn)肯定是g′g(k+1)g(k+2)的零點(diǎn).對1≤i≤k+2，記g(i)?0，我們得到

聯(lián)系引理1和引理2，得到

T(r,g′)+T(r,g(k+1))+T(r,g(k+2))+S(r,g)≤(2k+7)T(r,g)+S(r,g),

(11)

即T(r,g)≤S(r,g)，矛盾.定理1獲正.

下面我們來證明定理2，在證明中運(yùn)用文獻(xiàn)[5]中的一些思想.

(i) 假定f不正規(guī).則由引理3，存在點(diǎn)列zn∈Δ,|zn|→1，且一正數(shù)序列ρn滿足ρn→0使得

gn(ζ)=f(zn+ρnζ)→g(ζ)

(12)

(13)

運(yùn)用和定理1相同的證明方法，我們得到g的所有零點(diǎn)重?cái)?shù)至少是k+1，即對1≤i≤k+1有g(shù)(i)?0.

設(shè)E2={a1,a2,…,ak+7}，這里a1,a2,…,ak+7是中不同的零點(diǎn).假定g(ζ0)=ai∈E2.運(yùn)用式(12)和Hurwitz’s定理，則存在一點(diǎn)列ζn,ζn→ζ0使得f(zn+ρnζn)=ai.簡之，設(shè)un=zn+ρnζn.顯然，對充分大的n有un∈Δ，且un∈Δ∩f(-1)(E1).則由假設(shè)，對充分大的n有

因此，當(dāng)n→∞，得到

(14)

即得到

因此對每一個ai∈E2，g-ai的任一零點(diǎn)肯定是g′g(k+1)的零點(diǎn).即對1≤i≤k+1，g(i)?0，我們得到

由定理1的證明，由引理1和引理2，我們得出T(r,g)≤S(r,g)，矛盾.(i)獲證.

gn(ζ)=f(zn+ρnζ)→g(ζ)

(15)

類似于定理1的證明，對1≤i≤k+1，我們有g(shù)(i)?0和式(9).

設(shè)E3={a1,a2,…,ak+5}，這里a1,a2,…,ak+5是上不同的點(diǎn).現(xiàn)在假定g(ζ0)=ai∈E3.由式(15)和Hurwitz’s定理，這里存在一點(diǎn)列ζn,ζn→ζ0使得f(zn+ρnζn)=ai.簡之，設(shè)un=zn+ρnζn.顯然，對充分大的n有un∈Δ，且設(shè)un∈Δ∩f(-1)(E1).則由假設(shè)對充分大的n有

因此

(16)

(n→∞)，即得

對每一個ai∈E3,g-ai的任一零點(diǎn)肯定是g(k+1)的零點(diǎn).對1≤i≤k+1，有g(shù)(i)?0，我們得到

再次運(yùn)用引理1和引理2，我們得到一矛盾.定理2獲證.

[1] YANG L. Value distribution theory [M]. Berlin：Springer, 1993.

[2] HAYMAN W K. Meromorphic functions [M]. Oxford：Clarendon Press, 1964.

[3] LEHTO O, VIRTANEN I. Boundary behaviour and normal meromorphic functions [J].ActaMathematica,1957,97(1)：47-65.

[4] CHEN H, LAPPAN P. Products of spherical derivatives and normal functions [J].JournaloftheAus-tralianMathematicalSociety, 1998,64(2)：231-246.

[5] XU Y, QIU H L. Normal functions and products of spherical derivatives [J].AnalysisandMathematicalPhysics, 2015,5(3)：241-248.

[6] LOHWATER A J, POMMERENKE C. On normal meromorphic functions [J].AnnalesAcademiaeScientiarumFennicaeMathematica, 1973,550：1-12.

Further Results about Normal Functions and Products of Spherical Derivatives

QI Jianming, ZHU Taiying

(Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

Based on the theory of normal families of the meromorphic functions, some new results are obtained by using the concept of normal function and the product of spherical derivative, also Xu and Qiu’s results are improved.

meromorphic function; normal family; Nevanlinna theory; spherical derivative

0427-7104(2016)05-0565-05

2016-01-11

國家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元青年基金(11326083)；上海市教委科研創(chuàng)新項(xiàng)目(14YZ164)；上海電機(jī)學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科(13XKJC01)；上海電機(jī)學(xué)院學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(16JCXK02)

戚建明(1981—)，男，博士，副教授，E-mail：qijianmingsdju@163.com.

O 174.5

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