基于相空間重構(gòu)和核主分量的水聲信號增強(qiáng)

黨華，仇異，郭軍強(qiáng)，王衛(wèi)江

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081)

?

基于相空間重構(gòu)和核主分量的水聲信號增強(qiáng)

黨華，仇異，郭軍強(qiáng)，王衛(wèi)江

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081)

多徑衰落是水聲信道的主要特征，利用多徑衰落信道具有的混沌行為，提出一種新的抗多徑干擾的方法.建立基于混沌相空間的水聲信道模型，利用核技巧φ(x)·φ(y)=k(x，y)，通過核主分量分析提取相空間數(shù)據(jù)中累積貢獻(xiàn)率達(dá)到90%的非線性核主分量，然后利用核主分量逆向投影回原相空間，通過去掉噪聲干擾等次分量，提高水聲衰落信號的信噪比.基于實(shí)測水聲數(shù)據(jù)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能將chirp水聲信號信噪比提高7.76 dB，達(dá)到對多徑衰落水聲信號增強(qiáng)的目的.

多徑衰落；混沌相空間重構(gòu)；核主分量分析；水聲

水聲通信由于信道的多徑效應(yīng)、時(shí)變效應(yīng)、可用頻寬窄、信號衰減嚴(yán)重等因素為水下通信帶來了障礙，其中水聲信道的多徑效應(yīng)使信號產(chǎn)生嚴(yán)重衰落，影響水聲信號的檢測，成為限制水聲通信系統(tǒng)性能的主要因素.目前通信系統(tǒng)中抗多徑干擾的主要技術(shù)有:擴(kuò)頻技術(shù)，均衡技術(shù)、分集技術(shù)等，其中擴(kuò)頻技術(shù)對信噪比的提高約7 dB[1]，均衡和分集技術(shù)則要求水聲信號信噪比大于0 dB時(shí)誤碼率才有所提高[2]，兩者對增強(qiáng)水聲弱信號信噪比都有限制，多徑衰落是水聲通信要解決的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù).

Tannous等[3]發(fā)現(xiàn)多徑衰落信道存在奇怪吸引子，即多徑衰落具有混沌行為，表現(xiàn)為：雖然多徑衰落信道是一種無序和復(fù)雜的系統(tǒng)，但可以通過重建系統(tǒng)的相空間獲得混沌吸引子，從而挖掘出更強(qiáng)的數(shù)據(jù)相關(guān)性，得到更多的系統(tǒng)信息，產(chǎn)生出有序規(guī)律的模型.因此對具有明顯多徑衰落效應(yīng)的水聲信道，提出基于相空間重構(gòu)的衰落信道模型建立，可以在很大程度上恢復(fù)原有水聲信道的幾何和物理性質(zhì)，重建的相空間擁有比標(biāo)量時(shí)間序列更多的系統(tǒng)信息，恢復(fù)出有序規(guī)律的原始信號.

典型的水聲信號多徑衰落信道模型[4]為

式中：k為路徑索引；Ak為幅度；fk為多普勒頻率；φ0為初始相位；tk為延時(shí)時(shí)間；n(t)為加性高斯白噪聲.

利用時(shí)間延遲理論，構(gòu)建水聲信道的混沌相空間模型為

X(t)相空間模型的構(gòu)建需要確定延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m.然后對包含有延時(shí)信息的水聲信道模型X(t)進(jìn)行特征提取，因水聲信號為非平穩(wěn)信號，線性空間的主分量分析(PCA)已不再適用，利用核技巧，將非線性空間通過函數(shù)φ映射到高維線性特征空間F，在F中進(jìn)行主分量分析，即核主分量分析(KPCA)，提取非線性信號的主要特征，確定核主分量，噪聲信號則體現(xiàn)為次分量，最后應(yīng)用投影逆過程，去掉次分量，逆向投影回原相空間X(t)，并進(jìn)一步通過優(yōu)化樣本重構(gòu)誤差，實(shí)現(xiàn)水聲信號增強(qiáng)重構(gòu)，達(dá)到增強(qiáng)信噪比的效果.

提出的基于相空間重構(gòu)和核主分量分析的水聲信號增強(qiáng)的方法，適用于需要對具有多徑衰落信號恢復(fù)原始有序規(guī)律信號的信道環(huán)境，整個(gè)算法過程如圖1所示.實(shí)測水聲數(shù)據(jù)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提高水聲信號信噪比達(dá)到7.76dB，該方法具有抗多徑干擾和增強(qiáng)水聲信號的效果.

1 相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)將一維時(shí)間序列重構(gòu)為包含豐富系統(tǒng)信息的高維空間序列.Takens定理[5]證明:通過系統(tǒng)一個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)間序列觀測值可以重構(gòu)一個(gè)與原系統(tǒng)拓?fù)涞葍r(jià)的空間.該定理保證了可以從一維混沌時(shí)間序列中重構(gòu)一個(gè)與原系統(tǒng)在拓?fù)湟饬x下等價(jià)的相空間，混沌時(shí)間序列的判定、分析與預(yù)測是在該重構(gòu)的相空間中進(jìn)行的，因此相空間的重構(gòu)是混沌時(shí)間序列研究的關(guān)鍵.水聲信號的多徑衰落效應(yīng)具有混沌行為，利用該理論對單變量多徑水聲信號進(jìn)行坐標(biāo)延遲相空間重構(gòu)以得到等價(jià)的多維相空間信號模型.

坐標(biāo)延遲相空間重構(gòu)技術(shù)有兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，對時(shí)間延遲τ的確定和嵌入維數(shù)m的選擇.在Takens定理中對于理想的無限長和無噪聲的一維時(shí)間序列，時(shí)間延遲τ和嵌入維m可以取任意值，但實(shí)際應(yīng)用的時(shí)間序列都是含有噪聲的有限長的序列，嵌入維數(shù)和時(shí)間延遲是不能任意取值，否則會嚴(yán)重影響重構(gòu)的相空間的質(zhì)量.

1.1 時(shí)間延遲τ的確定

如果時(shí)間延遲太小，則相空間矢量Xj=[x(i)x(i+τ) …x(i+(m-1)τ)]中任意兩個(gè)分量x(i+jτ)和x(i+(j+1)τ)在數(shù)值上非常接近，以至于無法相互區(qū)分，從而無法提供兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)分量.如果時(shí)間延遲τ太大，則兩坐標(biāo)在統(tǒng)計(jì)意義上又完全獨(dú)立，混沌系統(tǒng)的軌跡在兩個(gè)方向上的投影不相關(guān).因此采用適合于判斷非線性系統(tǒng)的互信息法[6]來確定最優(yōu)的延時(shí).實(shí)際離散信號x(i)(i=1，2，…，n)，利用互信息法求得交互信息為I(s)，用等間距劃分空間格子的方法計(jì)算I(s)，即

(1)

式中：Nl，Nd為交互信息二維相平面兩個(gè)方向的網(wǎng)格數(shù)目；Pj為假設(shè)點(diǎn)出現(xiàn)在第j段的概率；Pj，k為j段中x(i)與k段中x(i+s)相連的概率.

I(s)表示在已知系統(tǒng)x(i)的情況下，另一系統(tǒng)x(i+s)的確定性的大小.I(s)=0，表示x(i+s)完全不可預(yù)測，即x(i)和x(i+s)完全不相關(guān)；而I(s)的極小值，則表示了x(i)和x(i+s)是最大可能的不相關(guān)，重構(gòu)時(shí)使用I(s)的第一個(gè)極小值對應(yīng)的s作為最優(yōu)延遲時(shí)間τ.

1.2 嵌入維數(shù)m的選擇

嵌入維數(shù)選擇的方法很多，幾何不變量法，虛假最近鄰點(diǎn)法，偽最近鄰點(diǎn)的改進(jìn)方法(Cao方法)[7]，考慮到信號中噪聲問題，選擇Cao方法，能有效消除對信號中噪聲的敏感，并且該方法具有計(jì)算時(shí)只需要延遲時(shí)間τ一個(gè)參數(shù)的優(yōu)點(diǎn).

令

定義

(2)

(3)

E(m)表示在嵌入維數(shù)為m的情況下時(shí)間序列上各點(diǎn)及其臨近點(diǎn)之間距離的統(tǒng)計(jì)平均，E(m)完全由m和τ決定，當(dāng)τ確定后，則它是一個(gè)關(guān)于m的變量.對于無限長序列隨著m的增大，E1(m)將在m大于某一特定值后將趨于穩(wěn)定，但對實(shí)際應(yīng)用中有限長序列E1(m)不容易判斷是在緩慢變化還是已經(jīng)穩(wěn)定，因此補(bǔ)充一個(gè)判斷準(zhǔn)則：

(4)

(5)

綜合E1(m)和E2(m)趨于穩(wěn)定的現(xiàn)象，判斷此時(shí)的m即為最佳嵌入維數(shù).

通過選定的延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m便可構(gòu)建相空間為

(6)

對于構(gòu)建的m×N相空間信號模型

XM=[X(1) X(2) …X(N)],

(N=n-(m-1)τ).

它包含了真實(shí)數(shù)據(jù)以及噪聲干擾項(xiàng)，利用核主分量分析，能有效提取非線性信號的主要成分，抑制次分量，從而分離出原始信號.

2 核主分量分析

ScholkopfB等[8]提出了利用核技巧的非線性的PCA算法KPCA.KPCA基本思想為通過一個(gè)非線性變換，將非線性元素轉(zhuǎn)化成高維特征空間中的線性元素，再對變換后的線性元素做主分量分析.通過核技巧，KPCA只需在原空間X中進(jìn)行點(diǎn)積運(yùn)算，而不必知道非線性映射的具體形式.因此KPCA在提取非線性信號的主要特征方面具有良好的性能，對含有大量噪聲的信號，還具有明顯的去噪效果，KPCA算法流程如圖2所示.

設(shè)原始數(shù)據(jù)空間X通過非線性映射函數(shù)φ映射到高維特征空間F，則F中的數(shù)據(jù)表示為φ(xi)，i=1，2，…，N，核技巧就是利用高維特征空間中數(shù)據(jù)點(diǎn)積可以通過核函數(shù)來計(jì)算：

F特征空間中的數(shù)據(jù)相關(guān)矩陣為

(7)

(8)

式中：ξ為特征值；v為特征向量.

由再生核空間理論，特征空間F中，特征向量v由φ(xi)，i=1，2，…，N張成，因此，存在系數(shù)ai滿足

(9)

將式(7)和式(9)代入式(8)，并在等式(8)兩邊同時(shí)乘以φ(xk)做點(diǎn)積，可得

(10)

定義矩陣K，Kij=(φ(xi)·φ(xj)).

將式(10)化簡得到

(11)

根據(jù)信息論累積原理，將特征值按從大到小的順序排列，對于主成分的提取，綜合考慮計(jì)算量的大小和提取出的信噪比高低，選取合適的累積貢獻(xiàn)率90%.因此取特征值之和累積貢獻(xiàn)率大于90%的前q個(gè)特征值以及對應(yīng)的特征向量，即

Vq=[v1v2… vq]，

作為投影方向，將信號相空間投影以確定其核主分量

(12)

由核主分量可以得到φ(x)在特征空間F中的近似重構(gòu)：

(13)

(14)

(15)

常用的核函數(shù)有多項(xiàng)式核函數(shù)、高斯徑向基核函數(shù)和兩層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)核函數(shù).因?yàn)閺较蚧瘮?shù)可以降低噪聲對識別的影響，具有更好的非線性性能，故采用高斯徑向基函數(shù)作為核函數(shù)，其表達(dá)式如下：

(16)

(17)

KPCA實(shí)質(zhì)是引入非線性映射，將原始空間中的非線性問題轉(zhuǎn)化成映射空間中的線性問題，在映射的高維特征空間中進(jìn)行主分量分析，將次分量(多種干擾混合)去掉，提取映射后信號的主分量，經(jīng)過重構(gòu)后達(dá)到很好的去噪效果，增強(qiáng)信號的識別性.

混沌相空間包含衰落信道的系統(tǒng)信息，將KPCA去噪效果應(yīng)用于混沌空間上，測試其去噪效果.原始信號為經(jīng)典洛倫茨(Lorenz)混沌吸引子，σ的選擇經(jīng)過人工訓(xùn)練，選擇13.6時(shí)信號增強(qiáng)效果最好，見圖3(a)、3(b)為加入-10 dB加噪Lorenz信號，3(c)則為經(jīng)過KPCA提取主分量，進(jìn)行去噪后在輸入特征空間重構(gòu)的原始信號.

從圖中可以看出，吸引子加入噪聲后，吸引子變得雜亂無章，出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.經(jīng)過KPCA重構(gòu)原始信號后得到吸引子信號，恢復(fù)的信號輪廓幾乎接近于原始吸引子信號的形狀，可以很好地識別出加入-5 dB噪聲后完全混亂的混沌Lorenz吸引子，由此可以說明KPCA的方法具有很好的信號降噪增強(qiáng)的效果.

3 數(shù)據(jù)仿真

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

線性調(diào)頻(chirp)信號作為一種成熟的非平穩(wěn)信號被廣泛應(yīng)用于水聲領(lǐng)域，它具有較大時(shí)寬帶寬積，常被選取用于水聲通信的同步碼，因此選取水聲同步信號作為仿真原始信號s(t)，帶寬10 kHz，頻率范圍為30～40 kHz，采樣時(shí)間長度為10 ms，采樣速率為204.8 kHz.模型采用上述水聲多徑快速衰落信道模型，仿真參數(shù)fk采用最大多普勒頻移20 Hz，φ0取45°，n(t)為-3.5 dB加性高斯白噪聲，水聲信道采用文獻(xiàn)[10]所給出的典型水聲多徑參數(shù)，如表1所示.

表1 水聲信道模型參數(shù)

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

對于信號x(t)的檢測，由于水聲通道受到多徑效應(yīng)、時(shí)變效應(yīng)的影響，導(dǎo)致信號的識別變得困難.利用多徑衰落信道具有混沌行為，采用本文的方法對其分析.先重構(gòu)信號的相空間，利用互信息法計(jì)算仿真信號的交互信息I(s)，如圖4所示I(s)的第一個(gè)極小值對應(yīng)的s即為延遲時(shí)間τ，因此最優(yōu)延遲時(shí)間為2.嵌入維數(shù)m由Cao方法確定，如圖5所示，綜合判斷E1(m)和E2(m)的值趨于穩(wěn)定的現(xiàn)象，選取最佳嵌入維數(shù)m值為10.

根據(jù)最佳時(shí)間延遲量τ=2和最佳嵌入維數(shù)m=10下構(gòu)建仿真信號的相空間，選擇高斯徑向基函數(shù)作為核函數(shù)，人工訓(xùn)練選擇最優(yōu)核參數(shù).對相空間中的數(shù)據(jù)進(jìn)行核主分量分析，提取信號的非線性特征.通過在輸入特征空間中的重構(gòu)實(shí)現(xiàn)濾波去噪和信號增強(qiáng)的效果.同時(shí)為對比，對仿真信號直接進(jìn)行KPCA處理，得到僅通過核主分量分析重構(gòu)的信號，原始信號和兩種方法重構(gòu)信號的頻域?qū)Ρ葓D如圖6所示.

從實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果可以看出原始信號能量分散，在30～40 kHz頻域區(qū)間水聲chirp信號信噪比低，通過本文方法重構(gòu)恢復(fù)出的信號能量集中，信噪比明顯提高，可準(zhǔn)確檢測出受多徑效應(yīng)和傳輸噪聲嚴(yán)重影響的水聲同步信號.

計(jì)算此時(shí)信號的信噪比，頻域信噪比定義為

(18)

經(jīng)計(jì)算，信噪比達(dá)到4.26dB，比原始信號信噪比提高7.76dB，而僅通過核主分量分析方法重構(gòu)的信號由于缺少相空間系統(tǒng)信息，主要是延時(shí)信息，信號能量的集中度低于上述方法，信噪比為1.32dB，提高4.82dB，比本文方法少了2.94dB.基于多徑衰落信道存在奇怪吸引子的理論構(gòu)建的水聲衰落信道模型，可以獲得原水聲信道的更多延時(shí)信息，適用于多徑效應(yīng)明顯的水聲信號分析.同時(shí)采用的核技巧，能提取主要信號的非線性特征，集中信號能量來增強(qiáng)信號，提高信號的信噪比.

4 結(jié) 論

水聲通信在傳輸過程中存在嚴(yán)重的多徑效應(yīng)以及噪聲干擾，信號衰落嚴(yán)重，導(dǎo)致通信可靠性低.提出一種基于相空間重構(gòu)和核主分量分析的水聲信號增強(qiáng)的方法.通過對水聲同步chirp信號構(gòu)建τ=2和m=10的相空間仿真實(shí)驗(yàn)，信噪比提高達(dá)到7.76dB，達(dá)到了抗多徑干擾的效果，驗(yàn)證了該方法對水聲同步信號的非線性特征提取效果明顯，提高了水聲通信的可靠性.

[1] 趙迎新，吳岳，吳虹.基于擴(kuò)頻技術(shù)降低OFDM信號峰值功率并改善信噪比的方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2012，34(10)：2147-2151.

ZhaoYingxin，WuYue，WuHong.ApproachforOFDMtoreducepeakpowerandimprovethenoiseratiobasedonspreadspectrumtechnology[J].SystemsEngineeringandEletronics, 2012，34(10)：2147-2151.(inChinese)

[2] 王煒.水聲信道的多普勒處理及分集方法研究[D].上海:上海交通大學(xué)，2011.

WangWei.StudyonthemethodofDoppleranddiversityofunderwateracousticchannel[D].Shanghai:ShanghaiJiaotongUniversity，2011.(inChinese)

[3]TannousC，DaviesR，AngusA.Strangeattractorsinmultipathpropagation[J].IEEETrans.onComm.，1991，39(5)：629-631.

[4] 相征，張?zhí)劊瑢O建成.基于混沌吸引子的快衰落信道預(yù)測算法[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，33(1)：145-150.

XiangZheng，ZhangTaiyi，SunJiancheng.Thepredictionalgorithmofthefastfadingchannelbasedonthechaoticattractor[J].JournalofXidianUniversity，2006，33(1)：145-150.(inChinese)

[5]TakensF.Detectingstrangeattractorsinfluidturbulence[C]∥ProceedingsofDynamicalSystemsandTurbulence.Berlin:Springer-Verlag，1981:366-381.

[6]FraserAM，SwinneyHL.Independentcoordinatesforstrangeattractorsfrommutualinformation[J].PhsicalReviewA, 1986，33(2)：1134-1140.

[7]CaoLiangyue.Practicalmethodfordeterminingtheminimumembeddingdinensionofascalartimeseries[J].PhysicaD，1997，110:43-50.

[8]ScholkopfB，SmolaA，MullerKR.Nonlinearcomponentanalysisasakemeleigenvalueproblem[J].NeuralComputation，1998，10(5)：1299-1319.

[9]ScholkopfB，Berlin，MikaS.Inputspaceversusfeaturespaceinkernel-basedmethods[J].IEEETransactionsonNeuralNetworks，1999，10(5)：1000-1017.

[10] 魏莉，許芳，孫海信.水聲信道的研究與仿真[J].聲學(xué)技術(shù)，2008，27(1)：25-29.

Wei Li，Xu Fang，Sun Haixin.Research and simulation of underwater acoustic channel[J].Acoustics，2008，27(1):25-29.(in Chinese)

(責(zé)任編輯：劉芳)

Underwater Acoustic Signal Enhancement Based on Phase Space Reconstruction and KPCA

DANG Hua，QIU Yi，GUO Jun-qiang，WANG Wei-jiang

(School of Information and Electronics，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China)

Multipath fading is the main feature of underwater acoustic channel.Considering the chaotic behavior of multipath fading channel, a new method was proposed to resist the multipath interference.Firstly, an underwater acoustic channel model was established based on chaotic phase space.On the basis of this model，through kernel principal component analysis (KPCA) with nuclear techniquesφ(x)·φ(y)=k(x，y)，nonlinear kernel principal component could be extracted from the spatial data, which cumulative contribution rate could achieve 90%.And then, the kernel principal component was used to reverse project the spatial data back to the original phase space, and the noise component was removed to improve the noise ratio of acoustic signal.The simulation results and the measured acoustic data show that this method can improve the noise ratio of acoustic signal to 7.76 dB, and can achieve the goal of enhancement of multipath fading underwater acoustic signal.

multipath fading;chaotic phase space reconstruction;KPCA;underwater acoustic

2013-11-29

黨華(1977—)，男，博士，E-mail:danghua@bit.edu.cn.

TN 929.3

A

1001-0645(2016)03-0271-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.03.010