單函數(shù)指標(biāo)非參數(shù)回歸估計(jì)的一致幾乎完全收斂

伍雪潔, 許 謙, 凌能祥

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009)

定義1(α混合的定義) 過程{(Xi,Yi),i≥1}被稱為α混合或者強(qiáng)混合，且混合系數(shù)為α(n),如果

?

單函數(shù)指標(biāo)非參數(shù)回歸估計(jì)的一致幾乎完全收斂

伍雪潔, 許 謙, 凌能祥

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009)

文章研究了單函數(shù)指標(biāo)非參數(shù)回歸模型的估計(jì)問題，利用Kolmogorov熵的方法,基于時(shí)間序列函數(shù)型數(shù)據(jù),在α混合相依序列下,獲得了模型中非參數(shù)回歸函數(shù)算子核估計(jì)的一致幾乎完全收斂及其收斂速度,推廣了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)果。

單函數(shù)指標(biāo)模型; 時(shí)間序列函數(shù)數(shù)據(jù);Kolmogorov熵;一致幾乎完全收斂速度

隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展和信息技術(shù)的不斷進(jìn)步,在自然科學(xué)、工程技術(shù)及人文社科等諸多領(lǐng)域所收集到的觀測(cè)數(shù)據(jù)具有函數(shù)特征,常常稱之為函數(shù)型數(shù)據(jù),如不同地區(qū)的多期降雨量曲線數(shù)據(jù)、用電負(fù)荷量曲線數(shù)據(jù)等。因此,函數(shù)型數(shù)據(jù)被看作是連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的一條樣本軌道。關(guān)于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析及應(yīng)用參見文獻(xiàn)[1-2],而有關(guān)非參數(shù)函數(shù)型數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷參見文獻(xiàn)[1]。

另一方面,由于單指標(biāo)模型在非參數(shù)回歸中處理高維數(shù)據(jù)問題是非常有用的,被許多學(xué)者廣泛研究過。通常情況下,在多維非參數(shù)回歸中模型是將多維的解釋變量X引入一個(gè)單指標(biāo)參數(shù)向量θ,利用θTX形成一元指標(biāo),不僅大大降低了維數(shù),而且還能夠抓住高維數(shù)據(jù)的本質(zhì)特征,所以它早已被廣泛地研究和應(yīng)用,例如文獻(xiàn)[3]通過選取適當(dāng)?shù)拇皩拰?duì)單指標(biāo)模型參數(shù)做了最優(yōu)估計(jì);文獻(xiàn)[4]利用迭代的方法對(duì)單指標(biāo)模型如何選擇參數(shù)系數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)。

最近,基于單函數(shù)型指標(biāo)模型的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷受到很多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[5]構(gòu)建了固定參數(shù)θ下單函數(shù)型指標(biāo)模型;文獻(xiàn)[6]給出了獨(dú)立樣本下,單函數(shù)型指標(biāo)模型中條件密度函數(shù)非參數(shù)估計(jì)量的收斂速度;文獻(xiàn)[7]研究了固定單指標(biāo)參數(shù)時(shí),基于α混合函數(shù)型數(shù)據(jù),獲得了非參數(shù)回歸函數(shù)算子的逐點(diǎn)收斂;文獻(xiàn)[8]采用交叉驗(yàn)證的方法對(duì)單函數(shù)指標(biāo)模型參數(shù)θ進(jìn)行了估計(jì);文獻(xiàn)[9]給出了單指標(biāo)模型在α混合條件下條件密度函數(shù)及條件眾數(shù)的幾乎完全收斂速度;文獻(xiàn)[10]證明了單指標(biāo)參數(shù)固定時(shí)，單指標(biāo)模型在α混合條件下條件密度函數(shù)和條件眾數(shù)的漸近分布。

受上述研究文獻(xiàn)的啟發(fā),本文利用Kolmogorov-ε熵的方法,進(jìn)一步研究了基于α混合相依函數(shù)型時(shí)間序列數(shù)據(jù)時(shí),單函數(shù)型指標(biāo)模型非參數(shù)回歸函數(shù)算子估計(jì)問題,在一定條件下獲得了估計(jì)量的一致幾乎完全收斂速度,推廣了文獻(xiàn)[7]中的相關(guān)結(jié)果。

1 模 型

定義1(α混合的定義) 過程{(Xi,Yi),i≥1}被稱為α混合或者強(qiáng)混合，且混合系數(shù)為α(n),如果

本文首先假設(shè){(Xi,Yi),1≤i≤n}為同分布于(X,Y)的α混合函數(shù)型序列,且混合系數(shù)α(n)滿足?C>0,α(n)≤Cn-a,參數(shù)a>0。其次, 假設(shè)Xi、X取值于Hilbert空間H,且其內(nèi)積是〈·,·〉;Yi、Y取值于實(shí)數(shù)空間R1。另外,類似于文獻(xiàn)[5]的模型,本文通過一個(gè)確定的函數(shù)型指標(biāo)θ(θ∈H)來構(gòu)造Y關(guān)于X的條件期望,即

(1)

關(guān)于(1)式模型的進(jìn)一步介紹,可以參考文獻(xiàn)[5-6，8]。

一般地,為了通過函數(shù)型變量X來預(yù)測(cè)響應(yīng)變量Y,基于非參數(shù)回歸算子r為

(2)

利用文獻(xiàn)[1]的思想,類似地建立回歸函數(shù)r(x)的非參數(shù)核估計(jì)如下

(3)

其中，K為核函數(shù)；窗寬h=hn為正的實(shí)數(shù)序列,并且當(dāng)n→∞時(shí),h→0。

令Nε(SH)為H中覆蓋SH所需要的半徑為ε的開球的最小個(gè)數(shù)時(shí),數(shù)量

(4)

2 基本假設(shè)和主要結(jié)果

為了敘述方便,首先引入幾個(gè)記號(hào),對(duì)于?x∈SH,有

另外,記

其中

本文中出現(xiàn)的C為正常數(shù),它在不同的情形可以取不同的值。

為了給出本文的主要結(jié)果,作如下基本假設(shè)。

H1 ?x∈SH,存在函數(shù)φθ,x(·),有P(X∈Bθ(x,h))=φθ,x(h),當(dāng)h→0,φθ,x(h)→0。

H2 核函數(shù)K在支撐集[-1,1]非負(fù)有界。

H3 ?β>0,對(duì)于?(x1,x2)∈SH×SH,回歸函數(shù)r滿足|r(θ,x1)-r(θ,x2)|

H4 ?b>2,a>1,有

當(dāng)n充分大時(shí),SH、ΘH的Kolmogorov熵ΨSH、ΨΘH滿足：

(3)nφθ,x(h)=O(lg2n)。

H1、H2為非參數(shù)函數(shù)型數(shù)據(jù)分析中的常見假設(shè),參見文獻(xiàn)[1];H3為刻畫回歸函數(shù)的連續(xù)條件,參見文獻(xiàn)[7];H4類似于文獻(xiàn)[9-10]的假設(shè),是給出在相依條件下的協(xié)方差結(jié)構(gòu);H5為構(gòu)造收斂速度的技術(shù)性條件,參見文獻(xiàn)[9]。

本文的主要結(jié)論如下。

定理1 在假設(shè)H1～H5下,當(dāng)n→∞,有

(5)

推論1 在定理1的條件下,對(duì)于固定的θ0,則有

2017年的春節(jié)，位于中蒙邊境的獨(dú)立營(yíng)三連家家戶戶張燈結(jié)彩，漢族職工與哈薩克族職工就像一家人一樣一起吃著團(tuán)圓飯，喝著額河酒，邊吃邊唱其樂融融，這樣的春節(jié)聚會(huì)在這個(gè)連隊(duì)已經(jīng)延續(xù)了十幾年，這樣各民族親如一家，和諧共融的連隊(duì)在這個(gè)團(tuán)場(chǎng)還有14個(gè)。自2016年“民族團(tuán)結(jié)一家親”活動(dòng)開展以來，一八三團(tuán)舉全團(tuán)之力打造“123456示范工程”，創(chuàng)建“民族團(tuán)結(jié)一家親”先進(jìn)集體，“各民族都是一家人，一家人都要過上好日子”成為團(tuán)場(chǎng)各民族職工群眾的共同信念。

(6)

文獻(xiàn)[7]研究的是在固定的θ0下回歸函數(shù)的逐點(diǎn)收斂,而推論1是在固定的θ0下回歸函數(shù)的一致收斂。

3 若干引理及證明

事實(shí)上,類似于文獻(xiàn)[1]的思想,有如下的分解式

(7)

其中

引理1 在條件H1、H2、H4、H5下,當(dāng)n→∞時(shí),則有

(8)

證明 類似于文獻(xiàn)[9]的思想,有如下的

(9)

首先考慮A3。對(duì)于ε0>0,有

根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的命題A.11(ii)及Kolmogorov熵的定義,取r=lg2n以及q=a+1,由H1、H5)(1)(3)有：

(10)

(11)

這里,一方面,?η>0,滿足b>b-η>2；另一方面,由H5(1)(3)可得：

(12)

于是,有

(13)

由(13)式和條件 H5(2),即得：

(14)

考慮A1,在條件H1、H2下,有

(15)

類似于A3的證明,可得：

(16)

另外,由于A4≤A2,A5≤A1。因此,當(dāng)n→∞時(shí),也有：

(17)

綜上所述,由(9)式、(14)式、(16)式和(17)式,引理3成立。

引理2 如果假設(shè)H2、H3滿足,當(dāng)n→∞時(shí),有

(18)

證明 因?yàn)?/p>

在假設(shè)H2、H3下,有

所以引理2成立。

引理3 在引理3的條件下,當(dāng)n→∞,有

(19)

證明 在引理1中,取Yi=1,即能得到引理3成立,具體的證明過程省略。

根據(jù)引理1～引理3以及(7)式可證明定理1成立。

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(責(zé)任編輯 張 镅)

Uniform almost complete convergence of nonparametric regression estimate in single function index model

WU Xuejie, XU Qian, LING Nengxiang

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

In this paper, the estimation of nonparametric regression in single function index model is investigated based on time series functional data by the Kolmogorov's entropy. With theαmixing dependent sequence， the uniform almost complete convergence rate of the kernel estimation of nonparametric regression function is obtained, extending the related results of the existing literature.

single function index model; time series functional data; Kolmogorov's entropy; uniform almost complete convergence rate

2013-02-12；

2015-11-20

安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11040606M03)

伍雪潔(1988-),女,安徽阜陽(yáng)人,合肥工業(yè)大學(xué)碩士生;

凌能祥(1964-),男,安徽合肥人,合肥工業(yè)大學(xué)教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.09.027

O212.7

A

1003-5060(2016)09-1292-05