雙時(shí)滯線(xiàn)性切換正系統(tǒng)的魯棒L1控制器設(shè)計(jì)

李艷輝 袁 帥

(東北石油大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

雙時(shí)滯線(xiàn)性切換正系統(tǒng)的魯棒L1控制器設(shè)計(jì)

李艷輝 袁 帥

(東北石油大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

設(shè)計(jì)了一類(lèi)正系統(tǒng)在任意切換信號(hào)下的魯棒L1控制器。針對(duì)一類(lèi)帶有狀態(tài)時(shí)滯和輸入時(shí)滯的線(xiàn)性切換正系統(tǒng)，基于線(xiàn)性余正Lyapunov-Krasovskii泛函和平均駐留時(shí)間理論，推導(dǎo)出在任意切換信號(hào)下使系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定且具有干擾抑制能力γ的充分條件，進(jìn)一步設(shè)計(jì)了魯棒L1控制器，保證系統(tǒng)不僅是指數(shù)穩(wěn)定且具有干擾抑制能力γ。最后通過(guò)數(shù)值仿真示例證明了控制器的有效性。

L1控制器 線(xiàn)性切換正系統(tǒng) 平均駐留時(shí)間 指數(shù)穩(wěn)定

正系統(tǒng)是一類(lèi)狀態(tài)非負(fù)的系統(tǒng)，在化工、工業(yè)工程、生態(tài)學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)及人口模型等領(lǐng)域中較為常見(jiàn)。目前，正系統(tǒng)的分析和綜合成為一個(gè)熱點(diǎn)課題，吸引了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[1～3]。然而在工程背景下，時(shí)滯普遍存在，使系統(tǒng)性能變差，因此時(shí)滯系統(tǒng)的研究就變得具有實(shí)際意義。關(guān)于時(shí)滯系統(tǒng)的分析和綜合，眾研究者取得了一些成果[4]。張會(huì)珍等針對(duì)多時(shí)滯系統(tǒng)設(shè)計(jì)了魯棒容錯(cuò)控制器[5]；Zhu S等研究了時(shí)滯正系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性的判據(jù)[6]；Aleksandrov A Y和Mason O基于Lyapunov-Krasovskii泛函，研究了時(shí)滯離散正系統(tǒng)的穩(wěn)定性[7]。

切換系統(tǒng)中一般含有多個(gè)子系統(tǒng)，若子系統(tǒng)均為正系統(tǒng)，則此類(lèi)系統(tǒng)稱(chēng)為切換正系統(tǒng)，此類(lèi)系統(tǒng)在編隊(duì)飛行、通信系統(tǒng)中具有重要的研究?jī)r(jià)值。Du H和Liu Y Z基于余正Lyapunov函數(shù)與平均駐留時(shí)間理論，得到了切換正系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件[8]；翟世東和楊曉松針對(duì)時(shí)滯離散分段線(xiàn)性正系統(tǒng)，給出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件[9]；Chen X M等分析了離散正系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，并通過(guò)迭代優(yōu)化算法設(shè)計(jì)了滿(mǎn)足L1性能的控制器[10]。然而在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、通信系統(tǒng)中時(shí)滯可能不唯一，所以研究雙時(shí)滯正系統(tǒng)就具有了重要意義，而且關(guān)于雙時(shí)滯線(xiàn)性切換正系統(tǒng)方面的研究很少，因此筆者針對(duì)該類(lèi)系統(tǒng)，利用線(xiàn)性余正Lyapunov-Krasovskii泛函和平均駐留時(shí)間理論，給出系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定且具有抑制干擾能力γ的充分條件，并將此條件轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，然后設(shè)計(jì)魯棒L1控制器使系統(tǒng)不僅是指數(shù)穩(wěn)定的且具有抑制干擾能力γ，最后通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證了控制器的有效性。

1 問(wèn)題描述①

考慮如下雙時(shí)滯線(xiàn)性切換正系統(tǒng)：

(1)

通過(guò)狀態(tài)反饋控制u(t)=Kpx(t)，閉環(huán)系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

(2)

筆者的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)魯棒L1控制器，使得系統(tǒng)(2)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：

a. 系統(tǒng)(1)是指數(shù)穩(wěn)定的；

注1：由于系統(tǒng)是切換系統(tǒng)，所以設(shè)計(jì)模態(tài)依賴(lài)的控制器，即針對(duì)每個(gè)切換子系統(tǒng)都對(duì)應(yīng)不同的控制器，這樣可以降低控制器的局限性。

定義1 一個(gè)實(shí)矩陣A，對(duì)角線(xiàn)元素是任意的，非對(duì)角線(xiàn)元素為非負(fù)的，則稱(chēng)該矩陣為Metzler矩陣。

引理1 當(dāng)且僅當(dāng)矩陣Ai(i∈N)為Metzler矩陣，且Adi≥0時(shí)，該系統(tǒng)為正系統(tǒng)。

定義2 考慮一個(gè)切換系統(tǒng)，如果存在切換信號(hào)σ=σ(t)，使得系統(tǒng)的軌跡滿(mǎn)足‖x(t)‖≤a‖x(t0)‖cle-β(t-t0),其中‖x(t0)‖cl=sup-τ≤θ≤0x(t0+θ),α≥1,β>0,t≥t0，則稱(chēng)該系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。

2 系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性和L1性能判據(jù)

下面考慮雙時(shí)滯線(xiàn)性切換正系統(tǒng)，給出L1性能判據(jù)。

(3)

(4)

(5)

常數(shù)μ≥1滿(mǎn)足vi≤μvj,ζ1i≤μζ1j,υ1i≤υ1j,ζ2i≤μζ2j,υ2i≤υ2j,?i,j∈N

(6)

則對(duì)任意切換信號(hào)σ(t)，系統(tǒng)(2)是指數(shù)穩(wěn)定的，且具有魯棒L1抑制干擾能力γ。

證明 當(dāng)ω=0時(shí)，選擇如下形式的線(xiàn)性余正Lyapunov-Krasovskii泛函：

Vp(t)=Vp1(t)+Vp2(t)+Vp3(t)+Vp4(t)+Vp5(t)

(7)

對(duì)泛函(7)進(jìn)行求導(dǎo)并進(jìn)行整理可得：

根據(jù)條件(3)可得不等式：

又因?yàn)?e-λτ1υp1≤0、-e-λτ2υp2≤0,可得到：

Vp(t)+λVp(t)≤0

(8)

假設(shè)t0,t1,…,tk為[t0,t)的切換時(shí)刻，對(duì)式(8)兩邊同時(shí)積分可得：

Vσ(t)≤e-λ(t-ti)Vσ(ti)(ti)，?t∈[ti,ti+1),i=0,1,…,k-1

(9)

由式(6)和給出的線(xiàn)性余正Lyapunov-Krasovskii泛函(7)可得：

(10)

根據(jù)式(4)、(9)、(10)和k≤(t-t0)/Ta，在區(qū)間[t0,t)上：

μVσ(tk-1)(tk-1)=e-λ(t-tk-1)μVσ(tk-1)≤…

(11)

由Vσ(t)(t)的定義，可得：

(12)

(13)

由于系統(tǒng)狀態(tài)滿(mǎn)足定義(2)，所以系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。

(14)

其中，I=[1,1,…,1]T，根據(jù)式(3)可得：

對(duì)于?p∈N，由以上6個(gè)不等式可知：

整機(jī)面板只有兩個(gè)操控按鍵，分為清洗和復(fù)位鍵，使用期間最好每月進(jìn)行一次清洗作業(yè)，更能使凈水器保持持續(xù)的良好運(yùn)轉(zhuǎn)。

(15)

由式(3)知J<0，因此可以進(jìn)一步推導(dǎo)出：

(16)

定理1得證。

注2：正系統(tǒng)的狀態(tài)都是在非負(fù)象限內(nèi)，研究L1性能更能說(shuō)明系統(tǒng)的特性，系統(tǒng)穩(wěn)定都需要一定的時(shí)間，指數(shù)穩(wěn)定可以加快系統(tǒng)穩(wěn)定的速率。

3 系統(tǒng)的魯棒L1狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)

(17)

注3：針對(duì)本系統(tǒng)，不要求開(kāi)環(huán)系統(tǒng)為正系統(tǒng)，即A矩陣可以不是Metzler矩陣，只需要保證在控制加上之后，閉環(huán)系統(tǒng)是正系統(tǒng)，則可保證系統(tǒng)的魯棒L1性能。

算法步驟如下：

a. 給定常數(shù)矩陣Ap、Adp、Ep、Edp、Bp、Cp、Dp，?p∈N設(shè)定初始值；

b. 給一個(gè)常數(shù)λ，通過(guò)解不等式(17)可求得vp、gp、ζp1、ζp2、υp1、υp2、γ；

d. 得出最終的控制器增益Kp，并構(gòu)造反饋控制器u(t)=Kpx(t)。

4 數(shù)值例子

考慮式(1)的系統(tǒng)，描述如下：

時(shí)變時(shí)滯d1(t)=0.5|sin(0.2t)|，d2(t)=0.4|sin(0.1t)|

圖1 任意切換信號(hào)下的開(kāi)環(huán)狀態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)

圖2 任意切換信號(hào)下的閉環(huán)狀態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)

注4：從圖1、2可以看出，信號(hào)是滿(mǎn)足平均駐留時(shí)間的隨機(jī)信號(hào)；從圖1可以看出，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)以指數(shù)形式快速發(fā)散，而在加了控制器后，閉環(huán)系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)快速收斂，使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。

5 結(jié)束語(yǔ)

筆者針對(duì)一類(lèi)具有狀態(tài)時(shí)滯和輸入時(shí)滯的線(xiàn)性切換正系統(tǒng)去設(shè)計(jì)魯棒L1控制器?；诰€(xiàn)性余正Lyapunov-Krasovskii泛函和平均駐留時(shí)間理論，先給出使雙時(shí)滯線(xiàn)性切換正系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，之后給出該系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法，并使該魯棒L1控制器有干擾抑制能力γ，最后通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)例證明了控制器的有效性。

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RobustL1ControllerDesignforLinearSwitchedPositiveSystemswithDoubleDelays

LI Yan-hui, YUAN Shuai

(SchoolofElectricalEngineeringandInformation,NortheastPetroleumUniversity,Daqing163318,China)

The robustL1controller for a class of positive systems under arbitrary switching signal was designed. Aiming at linear switched positive systems with state delay and input delay, having linear co-positive Lyapunov-Krasovskii functional and average residence time theory based to derive sufficient conditions for the system’s exponential stability and the ability to suppress interferenceγunder arbitrary switching signals was implemented so that robustL1controller designed can guarantee the system’s exponential stability and ability of anti-interferenceγ. Numerical simulation proves effectiveness of this controller.

L1controller,linear switched positive system, average residence time, exponential stability

2015-11-16(修改稿)

空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金項(xiàng)目(002008834000)；黑龍江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(F201403)；黑龍江省博士后科學(xué)研究發(fā)展基金項(xiàng)目(LBH-Q13177)；東北石油大學(xué)培育基金項(xiàng)目(XN2014112)

TP273

A

1000-3932(2016)07-0671-05