基于高觀念背景下的高考數(shù)學命題解析

陳傳芳

摘要：高考數(shù)學試題的命題試圖借助高觀點考察學生的潛能力。本文旨在解析高等數(shù)學背景下的高考數(shù)學命題趨勢。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學;函數(shù);研究

通過對近年高考試題的探究，不難發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學背景下的高考數(shù)學有以下趨勢：

趨勢1：涉及的問題往往是數(shù)學的某一分支學科發(fā)展初期比較核心的問題或某一分支中比較著名的問題， 這些問題能夠反映該分支的思想或方法;

趨勢2：將高等數(shù)學中與初等數(shù)學比較靠近的內(nèi)容（ 如凸凹性、不動點原理、壓縮映象原理等）直接和間接以定理的形式給出，考查學生轉(zhuǎn)換（化歸、遷移）問題的能力。

趨勢3：作為數(shù)學核心概念及基本思想和技能的內(nèi)容： 函數(shù)、統(tǒng)計、導數(shù)、向量、逼近、算法、圖論初步、矩陣與變換等內(nèi)容和反映數(shù)學文化及對數(shù)學發(fā)展起重大作用的數(shù)學名題仍會是出題的熱點。

一、以函數(shù)知識為載體，研究函數(shù)的各類性質(zhì)

題設(shè)中直接引入了高等數(shù)學中的某些概念、結(jié)論、運算等，要求學生能內(nèi)化題目給定的信息，抓住相應(yīng)的關(guān)系和特征，結(jié)合原有的初等知識解決問題。

（一）函數(shù)圖象的凹凸性

定義：設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上的任意兩點x1， x2和任意的實數(shù)λ∈（0，1）總有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），則稱f為I上的凸函數(shù)。反之，如果總有f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），稱f為I上的凹函數(shù)。

例1.在中，當x1>x2>1時，使 ?成立的函數(shù)是（ ? ?）

（二）新概念、新運算

1.改編高等數(shù)學題

把高等數(shù)學中原來問題的條件或結(jié)論加以改造（強化、弱化或等價轉(zhuǎn)化），變換形式，改變提法，從而做初等化處理，使之可用初等數(shù)學方法解決。

2.從高等數(shù)學的定理出發(fā)來改編（降維）

把高等數(shù)學中一般性的定理等，用特殊化方法轉(zhuǎn)化成初等數(shù)學問題，揭示了問題的本質(zhì)及變化規(guī)律。

3.引入有高等數(shù)學背景的新概念

命題中引進了中學數(shù)學中未曾見過的一些“新概念”，這些新概念有著高等數(shù)學的背景，而且能夠為考生感性上所理解和接受，對綜合考查學生進一步深造的潛能有著不可低估的作用。

例2.中學數(shù)學中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”，“平行關(guān)系”等等。如果集合A中元素之間的一個關(guān)系“～”滿足以下三個條件：

（1）自反性：對于任意a∈A，都有a ～ a;

（2）對稱性：對于a，b∈A，若a ～ b，則有b ～ a;

（3）傳遞性：對于a，b，c∈A，若a ～ b，b ～ c，則有a ～ c;

則稱“～”是集合A的一個等價關(guān)系。例如：“數(shù)的相等”是等價關(guān)系，而“直線的平行”不是等價關(guān)系（自反性不成立）. 請你再列出三個等價關(guān)系： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

（三）拉格朗日中值定理

1.定理：若函數(shù)f滿足如下條件（i）f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);

（ii）f在開區(qū)間（a，b）上可導，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得

拉格朗日中值定理是數(shù)學分析的一個重要定理，是解決函數(shù)在某一點的導數(shù)的重要工具。近年來，不少高考壓軸題以導數(shù)命題，固然這些壓軸題用初等數(shù)學的方法也可以求解，但初等數(shù)學的方法往往計算量較大。

2.應(yīng)用題型：

● 證明類似

● 證明類似

● 證明類似

例題4.設(shè)函數(shù)，如果對任何x≥0都有f（x）≤ax成立，求a的范圍。

二、以構(gòu)造函數(shù)為方法，研究不等式

不等式的證明問題是高考的一個難點，傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性強，多數(shù)學生不易想到，并且各類不等式的證明沒有通性通法。通過構(gòu)造輔助函數(shù)利用導數(shù)證明問題，將不等式問題轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題。

（一）構(gòu)造形似函數(shù)型

對證明形如f（x）≧g（x）（a≦x≦b）的不等式構(gòu)造形如F（x）=f（x）-g（x）的函數(shù)，并通過一階或二階、三階求導達到證明目的的不等式。

（二）作輔助函數(shù)型：對含有兩個變量的不等式，可構(gòu)造出以其中一個變量為為自變量的函數(shù)，再采用上述方法證明不等式。

（三）對數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）

例題5. f（x）是定義在（0，+∞）上的非負可導函數(shù)，且滿足

A af （b）≤bf （a） ?B bf （a）≤af （b） ?C af （a）≤f （b） ?D bf （b）≤f （a）

三、以數(shù)列知識為依托，利用“不動點”求數(shù)列通項公式

由遞推公式求其數(shù)列通項歷來是高考的重點和熱點題型，對那些已知遞推關(guān)系但又難求通項的數(shù)列綜合問題，因此我們可以利用對函數(shù)“不動點”問題，來簡化對數(shù)列通項問題的探究。

（一）不動點：一般的，設(shè) f（x）的定義域為D，若存在x0∈D，使 f（x0） = x0成立，則稱x0為f（x）的不動點。

（二）線性遞推數(shù)列的通項

若f（x）=ax+b，p是f（x）的不動點，an滿足遞推關(guān)系式an= f（an-1），（n>1）則{an-p}是以a為公比的等比數(shù)列。

（三）求非線性遞推數(shù)列的通項

若， an滿足遞推關(guān)系式an=f（an-1）， （n>1）初值條件a1≠ f（a1）

（1）若f（x）有兩個相異的不動點p、q，

則

（2）若f（x）有唯一的不動點p，

則

例題6.已知數(shù)列{an}，，求數(shù)列{an}的通項公式。

利用函數(shù)“不動點”法求解較復雜的遞推數(shù)列的通項問題，并不局限于以上二種類型，基于高考數(shù)列試題的難度，本文不再對更為復雜的遞推數(shù)列進行論述。

因為高考命題專家以大學教授為主，而且這種高等數(shù)學背景下的高考題目體現(xiàn)了一定的公平性，所以，以高等數(shù)學為背景仍然將是今后幾年高考出題的熱點。