NES對二維機(jī)翼氣彈不穩(wěn)定性的抑制作用

張文帆， 張家忠， 曹盛力

西安交通大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院， 西安 710049

NES對二維機(jī)翼氣彈不穩(wěn)定性的抑制作用

張文帆， 張家忠*， 曹盛力

西安交通大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院， 西安 710049

采用數(shù)值方法研究了加裝非線性能量匯(NES)的二維機(jī)翼在不同速度來流下的振動響應(yīng)機(jī)制，著重探索了NES對系統(tǒng)振動的抑制以及系統(tǒng)內(nèi)的靶向能量傳遞(TET)特性。首先，建立了加裝在機(jī)翼前緣及后緣的NES與二維機(jī)翼的耦合系統(tǒng)模型，該模型考慮了機(jī)翼的沉浮與扭轉(zhuǎn)振動。然后，從非線性振動響應(yīng)和能量傳遞等幾個(gè)方面研究了前NES與后NES對機(jī)翼振動的抑制效果和機(jī)制。進(jìn)一步，應(yīng)用頻譜分析發(fā)現(xiàn)了此非線性耦合系統(tǒng)振動中存在共振捕獲(resonance captures)特性，同時(shí)研究了前、后NES與機(jī)翼振動模式(沉浮與俯仰)間的靶向能量傳遞現(xiàn)象與機(jī)翼不同的極限環(huán)運(yùn)動之間的對應(yīng)關(guān)系。結(jié)果表明，采用前、后都加裝NES的方法能夠拓寬NES與機(jī)翼振動模式間發(fā)生靶向能量傳遞與共振捕獲的頻率范圍，從而提升NES對機(jī)翼振動進(jìn)行有效抑制的臨界來流速度。

非線性能量匯； 振動抑制； 靶向能量傳遞； 非線性振動； 共振捕獲

近年來,靶向能量傳遞(Targeted Energy Transfer, TET)和非線性能量匯(Nonlinear Energy Sink, NES)在被動振動控制領(lǐng)域的研究有了廣泛的發(fā)展。事實(shí)上，NES為可實(shí)現(xiàn)靶向能量傳遞的非線性吸振器[1]。與線性吸振器相比，NES的共振吸振頻率不再是離散的振動頻率，而是具有在一定范圍的頻帶上都能與主系統(tǒng)產(chǎn)生共振并吸振的性質(zhì)。因此，NES具有吸振頻帶寬、吸振效率高的特點(diǎn)。對于無阻尼振動系統(tǒng)，能量以動能和彈性勢能的形式在主系統(tǒng)和非線性附屬結(jié)構(gòu)間振蕩傳遞，而在以附加阻尼的非線性能量匯為附屬結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中，會發(fā)生靶向能量傳遞現(xiàn)象，即能量由受控對象靶向地傳遞至NES并由其阻尼耗散，且這種傳遞是不可逆的。

除此之外，在研究能量靶向傳遞的同時(shí)也需要研究系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的共振捕獲(Resonance Capture)現(xiàn)象[2-6]。在振動現(xiàn)象上，靶向能量傳遞首先表現(xiàn)出系統(tǒng)各振動模式間出現(xiàn)的瞬態(tài)共振捕獲特性，隨后其從瞬態(tài)共振捕獲中脫離，最終進(jìn)入永久共振捕獲。

所謂共振捕獲，是存在于動力系統(tǒng)中的一種特殊現(xiàn)象，此現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于動力系統(tǒng)中的主、子系統(tǒng)間在一定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生了可公約的振動頻率比。但這種頻率并不固定且仍有其他振動頻率的產(chǎn)生，當(dāng)子系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，共振捕獲的頻率也會發(fā)生變化。發(fā)生共振捕獲時(shí)，主、子系統(tǒng)間伴隨著劇烈的能量交換。重要的是，在子系統(tǒng)存在阻尼的情況下，能量交換的條件被“打破”，轉(zhuǎn)而以靶向傳遞的方式大量且不可逆的由主系統(tǒng)傳遞至子系統(tǒng)內(nèi)并耗散。因此，能量靶向傳遞的特性使NES的理論研究及應(yīng)用變得十分重要。

文獻(xiàn)[7]研究了機(jī)翼在來流激勵(lì)下的參數(shù)振動，但此時(shí)還沒有將研究重點(diǎn)聚焦在吸振器的非線性特性上。由于NES可以實(shí)現(xiàn)高效的振動能量衰減，國內(nèi)外的一些研究小組對其復(fù)雜的動力學(xué)特征進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[8]最早對不同質(zhì)量的本質(zhì)非線性(Essentially Nonlinear)吸振器進(jìn)行了研究，雖然其中簡化后的線性主系統(tǒng)無法表現(xiàn)出系統(tǒng)中實(shí)際普遍存在的非線性特性，但這為之后的非線性吸振器研究奠定了基礎(chǔ)。本文將研究主系統(tǒng)與吸振器都存在非線性項(xiàng)時(shí)所表現(xiàn)出的特性。文獻(xiàn)[9]將文獻(xiàn)[7]的研究對象拓展至二維非線性機(jī)翼(剛度非線性)，并研究其振動的觸發(fā)機(jī)制，其中物理模型為二維機(jī)翼且無任何附加部件。文獻(xiàn)[10-11]進(jìn)一步研究了主、次系統(tǒng)都為非線性的耦合系統(tǒng)，探討了NES對van der Pol振子的極限環(huán)振動的抑制作用以及與線性振子之間的動力學(xué)特性，得出了主系統(tǒng)與子系統(tǒng)內(nèi)都存在非線性項(xiàng)時(shí)整個(gè)耦合系統(tǒng)的一些非線性振動性質(zhì)。文獻(xiàn)[12]則更加具體地研究了NES為準(zhǔn)線性、弱非線性及強(qiáng)非線性時(shí)的特性，得出了NES的非線性特性越強(qiáng)，其吸振效率更高的結(jié)論。但其研究的振動系統(tǒng)為一維振動的簡化模型，仍需研究將系統(tǒng)擴(kuò)展至二維甚至三維時(shí)其表現(xiàn)出的更加復(fù)雜的振動現(xiàn)象。

隨著研究的具體化，一些研究小組開始將研究聚焦于主系統(tǒng)為機(jī)翼的非線性耦合系統(tǒng)。文獻(xiàn)[13]將主系統(tǒng)定為二維機(jī)翼，研究了在翼尖小翼中加入NES后對機(jī)翼振動的控制特性，但翼尖小翼的附加質(zhì)量也會對機(jī)翼本身的氣動性能造成無法忽略的影響。文獻(xiàn)[14]將NES的安裝位置做出了調(diào)整，與文獻(xiàn)[13]不同的是，文獻(xiàn)[14]用在機(jī)翼表面附加NES的方式研究了NES對大展弦比后掠型機(jī)翼的振動抑制情況。這在另一個(gè)角度為NES對機(jī)翼振動的抑制提供了依據(jù)，但其文中的實(shí)驗(yàn)也表明這種設(shè)計(jì)同樣會影響飛行器的整體氣動特性。文獻(xiàn)[15]的方法避免了文獻(xiàn)[13-14]中的設(shè)計(jì)對系統(tǒng)的影響，其研究了加裝在機(jī)翼前緣內(nèi)部的NES對二維非線性機(jī)翼的振動抑制特性，提升了對機(jī)翼極限環(huán)振動(Limit Cycle Oscillations, LCOs)有效抑制的臨界速度。本文參考了文獻(xiàn)[15]的設(shè)計(jì)方法，這樣就可排除因機(jī)翼外形改變而對其氣動特性的影響。

隨著對NES更加深入的探索，對其研究的領(lǐng)域逐漸擴(kuò)展至對能量傳遞的研究。文獻(xiàn)[16]將NES的應(yīng)用與能量傳遞結(jié)合起來，推導(dǎo)了振動能量在耦合振子的哈密頓系統(tǒng)中完全傳遞的條件，并發(fā)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)能量的完全傳遞需要非線性附屬結(jié)構(gòu)的質(zhì)量大于一定值，但只能粗略的估計(jì)小阻尼非保守系統(tǒng)中最優(yōu)靶能量傳遞所需的初始能量。文獻(xiàn)[17]進(jìn)一步采用兩自由度的非線性吸振器設(shè)計(jì)，可以使得能量在吸振器中的耗散加快,靶能量傳遞效果更好。但其主系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，且兩自由度的NES系統(tǒng)也是在同一水平面振動，無法保證主系統(tǒng)拓展至二維兩自由度振動時(shí)其能量傳遞情況仍然具有普適性。

本文設(shè)計(jì)在二維機(jī)翼的前緣及后緣內(nèi)部各加裝一個(gè)剛度項(xiàng)為本質(zhì)非線性的NES，使得2個(gè)NES組成兩自由度子系統(tǒng)。文中利用數(shù)值積分以及頻譜分析等方法分別從非線性振動響應(yīng)、頻幅分布和能量傳遞等幾個(gè)方面研究了NES對機(jī)翼極限環(huán)振動的抑制機(jī)制，并著重研究了NES對振動的抑制與靶向能量傳遞之間的關(guān)系。

1 振動系統(tǒng)的建立

文中采用NACA0012翼型作為主系統(tǒng)。該系統(tǒng)為二維兩自由度的剛性機(jī)翼與分別加裝在機(jī)翼前緣與后緣附近的NES的耦合系統(tǒng)，如圖1所示，圖1中：c為弦長；b為半弦長；U為來流速度；h代表二維機(jī)翼剛心處的上下沉浮運(yùn)動位移，向下為正；α是二維機(jī)翼繞剛心的扭轉(zhuǎn)角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正；σ、e分別是剛心ea與重心cg的距離(剛心在前為正)及氣動中心ac與剛心ea的距離(氣動中心在前為正)；Kh、Kα是機(jī)翼沉浮與扭轉(zhuǎn)的線性剛度系數(shù)；d1、d2是NES的安裝位置與剛心之間的距離，NES在前為正；z1、z2為NES的沉浮振幅，向下為正；ms1、cs1和ks1分別是機(jī)翼前端NES的質(zhì)量、阻尼系數(shù)及非線性剛度系數(shù)；ms2、cs2和ks2分別是機(jī)翼后端NES的質(zhì)量、阻尼系數(shù)及非線性剛度系數(shù)。為了研究NES通過靶向能量傳遞對剛性機(jī)翼自激振動的抑制作用，研究了2個(gè)NES對振動的抑制結(jié)果，并與無NES的機(jī)翼振動結(jié)果進(jìn)行對比。

圖1 兩自由度剛性機(jī)翼與前、后NES的耦合Fig.1 Two-DoF wing model coupled with two NESs

本文控制對象為參考文獻(xiàn)[9]中的二維機(jī)翼模型，則機(jī)翼主系統(tǒng)的剛度項(xiàng)為Kh(h+chh3)，其特點(diǎn)是具有線性項(xiàng)Khh以及非線性項(xiàng)Khchh3兩部分。

(1)

同理，可推導(dǎo)出機(jī)翼的俯仰運(yùn)動方程。則最終由虛功原理[18]，可導(dǎo)出機(jī)翼與NES的耦合運(yùn)動方程為

(2)

d2ks2(d2α+z2-h)=0

(3)

ks1(z1+d1α-h)3=0

(4)

ks2(z2+d2α-h)3=0

(5)

式中：m和Iα分別為機(jī)翼質(zhì)量及其質(zhì)量慣性矩；Sα為機(jī)翼對剛心的靜矩，Sα=mσ；ch和cp為機(jī)翼沉浮與扭轉(zhuǎn)的非線性剛度系數(shù)；q為動態(tài)壓力，q=ρ∞U2/2,其中ρ∞為來流密度；S為翼段的參考面積；CLα為升力線斜率。

其無量綱形式為

y″+xαα″+Ω2y+ξyy3+μCLαΘ(y′+Θα)+

(6)

δ1C1(δ1α+v1-y)3+

δ2C2(δ2α+v2-y)3=0

(7)

C1(v1+δ1α-y)3=0

(8)

C2(v2+δ2α-y)3=0

(9)

為與文獻(xiàn)[9,15]的結(jié)果進(jìn)行對比，取固定參數(shù)xα=0.2,rα=0.5,γ=0.4,Ω=0.5,μ=1/10π,CLα=2π,ξα=ξy=1，各振動方式中的可變參數(shù)如表1所示。

表1 5種振動方式中的可變參數(shù)取值Table 1 Values of variable parameters in 5 cases

由振動方程導(dǎo)出機(jī)翼的沉浮、俯仰以及2個(gè)NES的瞬態(tài)能量為

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：EH為機(jī)翼沉浮模式瞬態(tài)能量；EP為機(jī)翼俯仰模式瞬態(tài)能量；EN1和EN2分別為前、后NES的瞬態(tài)能量。總能量的變化為

μCLαΘy′(y′+Θα)]ds

(14)

(15)

ET=EH+EP+EN1+EN2

(16)

式中：EF為氣動力對系統(tǒng)做的功；ED為2個(gè)NES耗散的能量；ET為機(jī)翼系統(tǒng)的能量。

2 結(jié)果與分析

在耦合系統(tǒng)的參數(shù)取不同值時(shí)，得到機(jī)翼5種具有代表性的振動方式。文中將分別從系統(tǒng)的非線性振動及能量傳遞等方面來研究每種振動方式對應(yīng)的現(xiàn)象及機(jī)制。

2.1 振動方式1

振動方式1的系統(tǒng)參數(shù)取為Θ=0.9，δ1=0.9，δ2=-0.9，ε1=ε2=0.01，λ1=λ2=0.1，C1=C2=10。如圖2所示，其特點(diǎn)是一系列受抑制下的陣發(fā)性振動，且這些周期性的陣發(fā)振動在二維相平面上都體現(xiàn)出了準(zhǔn)周期的特性[19]，其中沉浮振動與俯仰振動的抑制放大圖如圖3所示。振動幅值圖中紅色實(shí)線(WO NES)表示未加裝NES的機(jī)翼振幅，藍(lán)色實(shí)線(W NES)則表示受NES抑制的機(jī)翼振幅(全文的振幅圖都按此區(qū)分)?？煽闯龀粮?Heave)與俯仰(Pitch)的振動都受到了很大程度的抑制。其中NES2比NES1的響應(yīng)更加劇烈。表現(xiàn)出來流給機(jī)翼的絕大部分能量直接被2個(gè)NES所吸收而沒有經(jīng)過機(jī)翼的現(xiàn)象(機(jī)翼的沉浮和俯仰都被抑制的非常小)，雖然機(jī)翼的俯仰振動頻率與沉浮的振動頻率不完全一致，但由圖4可看出其振動頻率集中在25左右，而NES的非線性特性則可以使其在抑制機(jī)翼振動的同時(shí)與沉浮和俯仰發(fā)生周期性的1∶1共振，頻幅圖上可以看出4種振動(機(jī)翼的俯仰、沉浮以及前后兩個(gè)NES的振動)發(fā)生了振動頻率為25的共振，從而使機(jī)翼上的能量靶向傳遞至兩個(gè)NES，又不斷地由NES耗散。系統(tǒng)最后穩(wěn)定在一系列受抑制的陣發(fā)性振動中，由圖5及圖6可以明確地看出此時(shí)的振動由兩個(gè)極限環(huán)振動所控制[20]。為表達(dá)清楚，本文所有圖中類似time 1～time 3的表達(dá)方式都是將整個(gè)振動時(shí)間段按時(shí)間的發(fā)展順序無間斷的分段劃分。靶向能量傳遞的作用減弱，即機(jī)翼本身的自由振動起主導(dǎo)作用時(shí)，振動趨向于半徑較大的極限環(huán)；而NES主導(dǎo)的靶向能量傳遞占主導(dǎo)地位時(shí)，振動趨向于較小的極限環(huán)。

圖2 振動方式1的振動幅值Fig.2 Amplitudes in Case 1

圖3 振動方式1中沉浮振動與俯仰振動的放大圖Fig.3 Local enlargement of responses of heave and pitch motions in Case 1

圖4 振動方式1的頻-幅響應(yīng)Fig.4 Frequency versus amplitude in Case 1

圖5 振動方式1中俯仰振動的二維相圖Fig.5 Phase portrait of pitch motion in Case 1

圖6 振動方式1中俯仰振動按時(shí)間序列展開的相圖Fig.6 Phase portrait of pitch motion with time series in Case 1

圖7所示為振動方式1的能量圖，其對振動的抑制方式為間歇性抑制。此時(shí)NES開始起到吸收能量的作用，出現(xiàn)了一系列的瞬態(tài)共振捕獲，每次共振捕獲都使機(jī)翼振動動能減小，然后機(jī)翼脫離與NES的共振。隨著振動繼續(xù)發(fā)展，機(jī)翼振動動能增大，振動頻率發(fā)生改變，又激發(fā)了本質(zhì)非線性的NES與其發(fā)生瞬態(tài)共振捕獲，如此周而復(fù)始的捕獲-脫離的過程形成了耦合系統(tǒng)振動抑制的方式1。位于前緣附近的NES1對于機(jī)翼的沉浮(Heave)振動尤其敏感，同時(shí)位于機(jī)翼后緣的NES2對機(jī)翼的俯仰(Pitch)振動非常敏感，由圖7 可知，系統(tǒng)中出現(xiàn)了沉浮模式將能量靶向的傳遞至NES1，而俯仰模式將能量靶向的傳遞至NES2的現(xiàn)象。從總能量的變化來看，方式1中機(jī)翼吸收的總能量隨著時(shí)間發(fā)展呈現(xiàn)出周期性陣發(fā)的特點(diǎn)。同時(shí)，由NES所耗散的能量也呈現(xiàn)出陣發(fā)性上升的特點(diǎn)。以上的能量傳遞及消耗關(guān)系導(dǎo)致了機(jī)翼上剩余的振動動能呈現(xiàn)出周期性變化，如此可將機(jī)翼動能保持在非常安全的范圍內(nèi)。

圖7 振動方式1中機(jī)翼與前、后NES間的能量傳遞圖與總能量變化Fig.7 Energy change and energy transfer among NESs and wing in Case 1

2.2 振動方式2

本例中的系統(tǒng)參數(shù)取為Θ=0.9，δ1=0.9，δ2=-0.9，ε1=ε2=0.01，λ1=λ2=0.2，C1=C2=20。增加了前、后NES的剛度系數(shù)及阻尼系數(shù)。振動幅值如圖8所示。振動方式2的特點(diǎn)是對機(jī)翼振動立即且永久的抑制，先后經(jīng)歷了兩部分振動抑制過程：

瞬態(tài)共振捕獲：在振動剛開始時(shí)，由于初始位置不在平衡位置，使得機(jī)翼一開始就存在沉浮振動，隨后立即被NES將能量吸收并耗散，使得沉浮振動得到暫時(shí)的抑制。

圖8 振動方式2的振動幅值Fig.8 Amplitudes in Case 2

永久共振捕獲：如圖9所示，隨著時(shí)間發(fā)展，機(jī)翼的沉浮及俯仰的振動都開始增大，NES重新開始與機(jī)翼產(chǎn)生1∶1永久共振能量捕獲，能量由機(jī)翼靶向傳遞至NES，再由NES耗散掉，使得系統(tǒng)達(dá)到一個(gè)振動受到永久抑制的狀態(tài)。最終NES1與NES2也保持振動狀態(tài)不變。這與方式1的周期性抑制有著很大的區(qū)別。

圖9 振動方式2的沉浮振動與俯仰振動的放大圖Fig.9 Local enlargement of responses of heave and pitch motions in Case 2

由圖10可以看出，此方式的1∶1共振捕獲更加明顯，幾乎整個(gè)耦合系統(tǒng)都在發(fā)生1∶1共振，這使得機(jī)翼與兩個(gè)NES之間的靶向能量傳遞效率較高，使得方式2比方式1的振動控制效果更加明顯。由圖11和圖12也可看出整個(gè)振動方式2分前后兩個(gè)部分，尤其是第2部分，將振動永久地保持在了一個(gè)較小的極限環(huán)振動上。

如圖13所示，方式2存在一個(gè)強(qiáng)烈的能量傳遞過程，隨后能量分布比例趨于穩(wěn)定。由于方式2與方式3在能量傳遞現(xiàn)象中有相似之處，則在對方式3的能量傳遞現(xiàn)象進(jìn)行分析時(shí)將對方式2中的能量傳遞現(xiàn)象進(jìn)行對比分析。

圖10 振動方式2的頻-幅響應(yīng)Fig.10 Frequency versus amplitude in Case 2

圖11 振動方式2中俯仰振動的二維相圖Fig.11 Phase portrait of pitch motion in Case 2

圖12 振動方式2中俯仰振動按時(shí)間序列展開的相圖Fig.12 Phase portrait of pitch motion with time series in Case 2

圖13 振動方式2中機(jī)翼與前、后NES間的能量傳遞圖與總能量變化Fig.13 Energy change and energy transfer among NESs and wing in Case 2

2.3 振動方式3

本例系統(tǒng)振動參數(shù)取為Θ=0.9，δ1=0.9，δ2=-0.9，ε1=ε2=0.01，λ1=λ2=0.4，C1=C2=40，與方式2相比，本例進(jìn)一步增大前、后NES的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)。振動方式3的特點(diǎn)是貫徹始終的永久共振捕獲，如圖14所示。因?yàn)閷⒆枘嵯禂?shù)增大，NES的能量耗散加快，使得方式2較小而穩(wěn)定的極限環(huán)振動發(fā)展為方式3的接近靜止?fàn)顟B(tài)的極限環(huán)振動(見圖15)。由圖16可以看出，方式3中的共振捕獲仍然存在，因進(jìn)入共振捕獲狀態(tài)后的系統(tǒng)振幅數(shù)量級較小，所以1∶1共振捕獲在整個(gè)頻幅圖中并不明顯，但仍可看出機(jī)翼的兩種振動模式及前、后NES間存在共振的情況。這是由于振動剛開始時(shí)有一個(gè)小幅激勵(lì)，在其它方式中主系統(tǒng)的振幅較大，則這種初始激勵(lì)的在量級上就顯得較小。但在方式3中，其系統(tǒng)的振動在數(shù)量級上非常接近靜止?fàn)顟B(tài)，相比之下，初始激勵(lì)所引起系統(tǒng)振動的振幅就相對較大。體現(xiàn)在幅頻圖上時(shí)將會顯得以永久共振捕獲方式控制的振動的幅值比例相對較小。結(jié)合圖17和圖18 可以更清楚地看出方式3經(jīng)過較短時(shí)間后將永久的處于一個(gè)非常小的極限環(huán)振動中。

圖14 振動方式3的振動幅值Fig.14 Amplitudes in Case 3

圖15 振動方式3的沉浮振動與俯仰振動的放大圖Fig.15 Local enlargement of responses of heave and pitch motions in Case 3

圖16 振動方式3的頻-幅響應(yīng)Fig.16 Frequency versus amplitude in Case 3

方式3與方式2相似，加大了NES的剛度與阻尼系數(shù)后，2個(gè)NES吸收能量的效率得到提高。這兩種方式中的系統(tǒng)在振動初期都存在一個(gè)強(qiáng)烈的能量傳遞過程，隨后能量分布比例趨于穩(wěn)定(圖13)。但與方式1不同的是，方式2與方式3 都在初期的瞬態(tài)共振捕獲之后存在著貫徹至?xí)r間終止的永久共振捕獲。前、后NES所表現(xiàn)出的小能級但持續(xù)的能量吸收性質(zhì)使機(jī)翼從來流中獲取的能量得以持續(xù)的傳遞至NES中并由其耗散。所以機(jī)翼能夠保持穩(wěn)定小幅振動的狀態(tài)而不是像方式1一樣有周期性的陣發(fā)性振動。

圖17 振動方式3中俯仰振動的二維相圖Fig.17 Phase portrait of pitch motion in Case 3

圖18 振動方式3中按時(shí)間序列展開的俯仰振動相圖Fig.18 Phase portrait of pitch motion with time series in Case 3

方式2與方式3的抑制方式都屬于對振動的持續(xù)性抑制，由圖19可以看出，隨著振動的長時(shí)間發(fā)展，機(jī)翼吸收的總能量幾乎與NES耗散的能量保持一致，而且能量曲線也非常的平滑，此時(shí)機(jī)翼與NES一直處于永久共振捕獲的狀態(tài)內(nèi)，將機(jī)翼的振動動能平穩(wěn)地控制在很小的數(shù)量級上。

圖19 振動方式3中機(jī)翼與前、后NES間的能量傳遞圖與總能量變化Fig.19 Energy change and energy transfer among NESs and wing in Case 3

2.4 振動方式4

在振動方式4中，系統(tǒng)參數(shù)為Θ=0.97，δ1=0.9，δ2=-0.9，ε1=ε2=0.02，λ1=λ2=0.4，C1=C2=40。加大了來流速度，同時(shí)加大了NES與機(jī)翼的質(zhì)量比。如圖20所示，方式4的特點(diǎn)是出現(xiàn)了類似方式1的周期性的瞬態(tài)共振捕獲(沉浮與俯仰振動的放大圖如圖21所示)，但在方式4中能量的傳遞更加頻繁。從圖22中可以非常明顯地看到機(jī)翼的兩種振動模式和前、后NES之間發(fā)生了共振，此方式充分體現(xiàn)出了靶向能量傳遞在系統(tǒng)間發(fā)生1∶1共振捕獲時(shí)效率非常高。機(jī)翼兩個(gè)自由度的振動以及兩個(gè)NES的振動頻繁的在兩個(gè)極限環(huán)之間轉(zhuǎn)換(如圖23、圖24)。此方式的出現(xiàn)提升了NES對機(jī)翼振動抑制失效的臨界來流速度ΘF。在文獻(xiàn)[15]中，Θ=0.95時(shí)抑制就已經(jīng)失效(無NES的機(jī)翼在Θ=0.87時(shí)機(jī)翼的振幅尤其是Pitch振動的幅值就已經(jīng)使機(jī)翼達(dá)到強(qiáng)度極限)，在參數(shù)相同的條件下，本文裝有前、后NES的機(jī)翼則在Θ=0.99時(shí)才會出現(xiàn)抑制失效。

圖20 振動方式4的振動幅值Fig.20 Amplitudes in Case 4

圖21 振動方式4的沉浮振動與俯仰振動的放大圖Fig.21 Local enlargement of responses of heave and pitch motions in Case 4

圖22 振動方式4的頻一幅響應(yīng)Fig.22 Frequency versus amplitude in Case 4

方式4是在本文中出現(xiàn)的新的振動抑制方式，文獻(xiàn)[12]中當(dāng)Θ=0.95時(shí)，NES開始失去抑制機(jī)翼振動的作用。而方式4中取Θ=0.97時(shí)仍可以起到顯著地振動抑制作用，并且從能量轉(zhuǎn)換的過程來看，出現(xiàn)了類似方式1的周期性瞬態(tài)共振捕獲。每當(dāng)NES1的能量上升，必然伴隨著同數(shù)量級的沉浮模式的能量下降，同時(shí)，NES2的能量上升，也必然伴隨著同數(shù)量級的俯仰模式的能量下降。由此，則可得出機(jī)翼的沉浮模式主要將能量傳遞給NES1，機(jī)翼的俯仰主要將能量傳遞給NES2的結(jié)論，此時(shí)各能量傳遞的過程仍是由于機(jī)翼與NES之間的1∶1的共振捕獲。

圖23 振動方式4中俯仰振動按時(shí)間序列展開的相圖Fig.23 Phase portrait of pitch motion with time series in Case 4

如圖25所示，方式4與方式2、方式3的能量圖很相似，但由其放大圖上可以看出，機(jī)翼吸收的總能量與NES耗散的能量也出現(xiàn)了陣發(fā)性的特征。與前文中各方式的振動結(jié)果進(jìn)行對比分析后可得出，方式4的振動特性的出現(xiàn)是由于改變系統(tǒng)參數(shù)后，機(jī)翼沉浮與俯仰振動的頻率發(fā)生了變化，而響應(yīng)頻域很廣的兩個(gè)NES分別與機(jī)翼的兩個(gè)振動模式發(fā)生了不同頻率的1∶1共振捕獲，從而又達(dá)到了類似方式1的振動抑制狀態(tài)，將機(jī)翼振動的動能抑制在一個(gè)小數(shù)量級內(nèi)。

圖24 振動方式4中俯仰振動的二維相圖Fig.24 Phase portrait of pitch motion in Case 4

圖25 振動方式4中機(jī)翼與前、后NES間的能量傳遞圖與總能量變化Fig.25 Energy change and energy transfer among NESs and wing in Case 4

2.5 振動方式5

方式5將無量綱來流速度提升至Θ=0.99，其余參數(shù)與方式4相同，振動幅值如圖26所示。

此方式中振動抑制已經(jīng)開始失去作用。NES與機(jī)翼的兩個(gè)自由度之間的振動已不是以1∶1共振為主，而是機(jī)翼的俯仰與沉浮之間發(fā)生了超諧共振或次諧共振，如3∶1或1∶3共振。圖27可以明顯的看出在機(jī)翼的沉浮振動模式同時(shí)出現(xiàn)了兩個(gè)共振頻率。其中一個(gè)頻率為9.6，與俯仰及兩個(gè)NES的頻率一致；而沉浮振動的另一個(gè)共振頻率為28.8，恰好是前者的3倍。如文獻(xiàn)[9]所述，若機(jī)翼振動的兩個(gè)自由度之間發(fā)生了次諧或超諧共振，則可能會導(dǎo)致系統(tǒng)振動的發(fā)散。而加裝NES的主要目的就是阻止或延遲機(jī)翼2個(gè)模式的振動之間發(fā)生超諧或次諧共振，并通過NES與機(jī)翼的1∶1共振將能量從機(jī)翼的振動中吸收并耗散。由圖28、圖29可看出系統(tǒng)的振動發(fā)展成為遠(yuǎn)大于初始激勵(lì)的振動，使整個(gè)系統(tǒng)處于振動抑制失效的狀態(tài)。

圖26 振動方式5的振動幅值Fig.26 Amplitudes in Case 5

圖27 振動方式5的頻一幅響應(yīng)Fig.27 Frequency versus amplitude in Case 5

圖28 振動方式5中俯仰振動的二維相圖Fig.28 Phase portrait of pitch motion in Case 5

圖29 振動方式5中俯仰振動按時(shí)間序列展開的相圖Fig.29 Phase portrait of pitch motion with time series in Case 5

系統(tǒng)處于振動抑制失效狀態(tài)時(shí)，可明顯從振幅圖中看出NES失去了振動抑制的作用。此時(shí)有NES的系統(tǒng)振幅甚至超過了無NES的機(jī)翼的振幅。而由方式5中的能量傳遞圖可以看出，此時(shí)同數(shù)量級之間的能量不再是此消彼長、傳遞為主，而是出現(xiàn)了能量同增同減的情況。如NES1的能量波峰和波谷都與沉浮振動的能量波峰和波谷一一對應(yīng)，能量的增減保持同步。此時(shí)系統(tǒng)內(nèi)部的振動和能量傳遞情況是非常復(fù)雜的。首先，系統(tǒng)內(nèi)部出現(xiàn)了沉浮與俯仰的次諧或超諧內(nèi)共振，這種內(nèi)共振會導(dǎo)致系統(tǒng)的振動發(fā)散，發(fā)生能夠破壞機(jī)翼的大幅極限環(huán)振動甚至引發(fā)顫振。雖然本質(zhì)非線性的NES能夠在很大的范圍內(nèi)與機(jī)翼發(fā)生1∶1共振從而抑制振動，但此時(shí)機(jī)翼的振動頻率發(fā)生了變化，如沉浮的主振動頻率有2個(gè)。這已經(jīng)超出了NES能夠?qū)C(jī)翼振動進(jìn)行有效抑制的頻率范圍，且同時(shí)NES也參與了這種次諧或超諧共振的過程。不改變?nèi)魏螀?shù)的情況下，系統(tǒng)發(fā)散的速度很快。在本文所研究的模型中，雖然可以通過適當(dāng)?shù)卦龃驨ES與機(jī)翼的質(zhì)量比ε1、ε2來提升機(jī)翼的振動抑制臨界速度Θ，但當(dāng)此質(zhì)量比過大時(shí)飛行器本身的載重限制以及過重的附加質(zhì)量會導(dǎo)致機(jī)翼的力學(xué)性能產(chǎn)生不可忽略的變化。

如圖30所示，方式5與方式2的能量曲線非常相似，但方式5中的振動在能量級上比方式2的大，處于此中方式中的NES已經(jīng)不能體現(xiàn)出其對機(jī)翼振動的抑制效果。由圖30可看出，雖然NES對能量的耗散也較之前的方式有了數(shù)量級的提升，但機(jī)翼從來流中吸收的總能量也迅速變大，此時(shí)機(jī)翼將處于一個(gè)穩(wěn)定的大幅極限環(huán)振動狀態(tài)，類似于振幅和能量級數(shù)都被放大了的方式2。但此時(shí)機(jī)翼已經(jīng)處于大振幅極限環(huán)振動狀態(tài)，這是本文要避免的對機(jī)翼造成不可逆破壞的狀態(tài)。

圖30 振動方式5中機(jī)翼與前、后NES間的能量傳遞圖與總能量變化Fig.30 Energy change and energy transfer among NESs and wing in Case 5

上述的5種方式可以很詳細(xì)地說明前、后加裝NES的機(jī)翼的振動狀態(tài)隨來流速度、剛度系數(shù)及阻尼系數(shù)的變化規(guī)律。在與文獻(xiàn)[12]參數(shù)相同的條件下，前后2個(gè)NES的設(shè)計(jì)提高了對機(jī)翼振動進(jìn)行有效抑制下的臨界來流速度Θ。Θ=0.99并不是本文中NES振動抑制的極限，若不考慮增大的附加質(zhì)量對機(jī)翼力學(xué)性能的影響，在來流速度持續(xù)增大的條件下，可以增大NES與機(jī)翼的質(zhì)量比ε1和ε2來保持振動抑制的狀態(tài)。

3 結(jié) 論

1) 通過研究機(jī)翼的沉浮、俯仰及2個(gè)NES的振動情況，從中分析了4種NES對機(jī)翼進(jìn)行有效振動抑制的代表性的方式以及1種振動抑制失效的方式，證實(shí)了NES作為非線性吸振器的確有著很寬的吸振頻率，能夠很大程度上拓寬與受控對象(機(jī)翼)的共振范圍。進(jìn)一步驗(yàn)證了高效的靶向能量傳遞必然伴隨著1∶1共振捕獲，若系統(tǒng)內(nèi)部的振動存在超諧或次諧共振，則系統(tǒng)就會發(fā)展成為抑制失效的大幅度振動甚至振動發(fā)散。而本文中前、后加裝NES的設(shè)計(jì)可以使系統(tǒng)模式間發(fā)生1∶1共振的能量范圍得到提高。

2) 從能量傳遞的角度來分析時(shí)可以明確的看出，前置NES與機(jī)翼的沉浮振動之間產(chǎn)生了靶向能量傳遞，后置NES與機(jī)翼的俯仰振動之間產(chǎn)生了靶向能量傳遞，2個(gè)NES分別控制機(jī)翼的單個(gè)振動模式。這種設(shè)計(jì)使得NES可以單獨(dú)從機(jī)翼的某1個(gè)特定的振動模式中吸收能量，拓寬了NES所構(gòu)成的子系統(tǒng)與機(jī)翼主系統(tǒng)之間發(fā)生靶向能量傳遞的能量范圍。

3) 當(dāng)來流速度超過一定值時(shí)，機(jī)翼的振動模式與NES的振動之間靶向能量傳遞的關(guān)系消失，振動抑制失效。此時(shí)NES失去了吸振器的作用。而文中前、后設(shè)置NES的方法可使NES對機(jī)翼振動進(jìn)行有效抑制的臨界來流速度得到提升。

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張文帆男， 博士研究生。主要研究方向： 流動穩(wěn)定性分析及結(jié)構(gòu)氣彈自適應(yīng)流動控制， 非線性振動及靶向能量傳遞。

E-mail: sheen.z@163.com

張家忠男， 博士， 教授， 博士生導(dǎo)師。主要研究方向： Navier-Stokes方程、 湍流中的奇異性、 非線性行為和建模, 以及通向湍流的途徑、 相應(yīng)的數(shù)值分析方法。

Tel.: 029-82664177

E-mail: jzzhang@mail.xjtu.edu.cn

曹盛力男， 博士研究生。主要研究方向： 流動穩(wěn)定性分析及結(jié)構(gòu)氣彈自適應(yīng)流動控制。

E-mail: csl1993@stu.xjtu.edu.cn

*Correspondingauthor.Tel.：029-82664177E-mail:jzzhang@mail.xjtu.edu.cn

Suppressionofaeroelasticinstabilityof2-Dwingbynonlinearenergysinks

ZHANGWenfan,ZHANGJiazhong*,CAOShengli

SchoolofEnergyandPowerEngineering,Xi’anJiaotongUniversity,Xi’an710049,China

Theflow-inducedvibrationoftwo-dimensionalwingcoupledwithtwononlinearenergysinks(NESs)underfreestreamflowisstudiedbynumericalmethods,andtherelationshipbetweenthevibrationsuppressionandtargetedenergytransfer(TET)ofthesystemisanalyzed.Themodelofthecouplingsystem,whichtakesintoaccountbothheaveandpitchmotions,isdeveloped,andtheNESsarelocatedattheleadingedgeandthetrailingedge(NES1andNES2)separately.ThemechanismsofvibrationsuppressionbyNESsarealsoinvestigatedfromtheviewpointofenergytransfer,etc.,andtheresonancecapturesinthenonlinearcouplingsystemarestudiedusingspectrumanalysis.TheensuingTETthroughthemodesofwing(HeaveandPitch)andtheNESsarediscussed,andtherelationshipbetweenTETanddifferentlimitcycleoscillationsofwingareinvestigatedaswell.TheresultsshowthattheNESscanbroadenthefrequencydomaininwhichtheTETandresonancecapturesbetweenmodescanbemoreavailableinthecouplingsystem.Therefore,theTETismoreefficientbetweenthewingandNESs,thusleadingtotheincreaseofthecriticalvelocityoffreestreamunderwhichthevibrationofwingcanbesuppressedbyNESseffectively.

nonlinearenergysink;vibrationsuppression;targetedenergytransfer;nonlinearvibration;resonancecapture

2015-10-29；Revised2015-12-03；Accepted2016-01-08；Publishedonline2016-01-121122

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160112.1122.002.html

s:NationalBasicResearchProgramofChina(2012CB026002);NationalKeyTechnologyResearchandDevelopmentProgramofChina(2013BAF01B02).

2015-10-29；退修日期2015-12-03；錄用日期2016-01-08； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2016-01-121122

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160112.1122.002.html

國家“973”計(jì)劃 (2012CB026002)； 國家科技支撐計(jì)劃 (2013BAF01B02)

*

.Tel.：029-82664177E-mailjzzhang@mail.xjtu.edu.cn

張文帆， 張家忠， 曹盛力．NES對二維機(jī)翼氣彈不穩(wěn)定性的抑制作用J．航空學(xué)報(bào),2016,37(11):3249-3262.ZHANGWF,ZHANGJZ,CAOSL.Suppressionofaeroelasticinstabilityof2-DwingbynonlinearenergysinksJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(11):3249-3262.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0013

V211.47

A

1000-6893(2016)11-3249-14