信號(hào)發(fā)生器輸出幅度平坦度測(cè)量中的非線性與相關(guān)性問(wèn)題研究

商佳尚

(北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京 100095)

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信號(hào)發(fā)生器輸出幅度平坦度測(cè)量中的非線性與相關(guān)性問(wèn)題研究

商佳尚

(北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京 100095)

針對(duì)評(píng)價(jià)信號(hào)發(fā)生器輸出特性的一項(xiàng)重要指標(biāo)——信號(hào)發(fā)生器輸出幅度平坦度，介紹了輸出幅度平坦度的測(cè)量方法，并且針對(duì)其不同的計(jì)算公式建立了測(cè)量的數(shù)學(xué)模型;由于該數(shù)學(xué)模型是非線性模型，并且由于輸入量之間可能存在相關(guān)性，所以在進(jìn)行測(cè)量不確定度分析的過(guò)程中必須考慮在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)是否需要加入數(shù)學(xué)模型按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)后所得方差的高階項(xiàng)以及表征相關(guān)性的協(xié)方差項(xiàng)；根據(jù)高階項(xiàng)對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度整體的貢獻(xiàn)大小判斷是否可以忽略；同時(shí)比較了通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法得到相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù)直接取0或取1時(shí)對(duì)應(yīng)擴(kuò)展不確定度的大??；最后針對(duì)幅度平坦度的測(cè)量提出有效避免處理相關(guān)問(wèn)題的方法，并對(duì)環(huán)境溫度、供電電源以及阻抗匹配等影響信號(hào)發(fā)生器幅度平坦度測(cè)量不確定度的實(shí)際操作問(wèn)題給出具有實(shí)用價(jià)值的參考意見(jiàn)。

信號(hào)發(fā)生器；輸出幅度平坦度；非線性模型；相關(guān)性

0 引言

信號(hào)發(fā)生器在生產(chǎn)實(shí)踐和科研領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，它是一種能夠產(chǎn)生不同頻率、波形和幅度的輸出設(shè)備，可以為被測(cè)電路提供所需特定參數(shù)的電測(cè)試信號(hào)。信號(hào)發(fā)生器輸出幅度的平坦度是評(píng)價(jià)信號(hào)發(fā)生器輸出特性的一項(xiàng)重要指標(biāo)。信號(hào)發(fā)生器輸出幅度在其工作頻率范圍內(nèi)應(yīng)保持恒定，由于各種原因使得不同頻率時(shí)輸出幅度產(chǎn)生差異。信號(hào)輸出的不穩(wěn)定，會(huì)直接造成各項(xiàng)測(cè)量結(jié)果的不確定性。而影響幅度平坦度的因素很多，如環(huán)境、電源、負(fù)載等變化都會(huì)造成輸出幅度的變動(dòng)。當(dāng)信號(hào)發(fā)生器由一個(gè)頻率點(diǎn)換到另一個(gè)頻率點(diǎn)時(shí)，希望信號(hào)的輸出幅度保持不變，但早期的信號(hào)發(fā)生器很難做到這一點(diǎn)，每次切換頻率都需要先調(diào)節(jié)振蕩器的輸出耦合或電平調(diào)節(jié)衰減器，把輸出電平調(diào)到參考值，這樣就大大增加了操作的復(fù)雜性。目前新型的信號(hào)發(fā)生器都帶有內(nèi)部的自動(dòng)穩(wěn)幅裝置，亦稱(chēng)為自動(dòng)電平控制(ALC)，它可以很好地提高寬帶幅度的一致性[1]。

1 輸出幅度平坦度的測(cè)量

輸出幅度平坦度是測(cè)試信號(hào)發(fā)生器輸出特性的一項(xiàng)重要參數(shù)。輸出幅度平坦度是指信號(hào)發(fā)生器在規(guī)定的輸出幅度時(shí)，其頻率范圍內(nèi)某頻率點(diǎn)的輸出幅度與參考頻率點(diǎn)輸出幅度的比值或分貝數(shù)差值。通常低頻信號(hào)發(fā)生器的輸出幅度可以用數(shù)字多用表、高頻電壓表作為測(cè)量設(shè)備，高頻和微波信號(hào)發(fā)生器的輸出幅度一般用功率計(jì)或測(cè)量接收機(jī)作為測(cè)量設(shè)備[2]。圖1為某型號(hào)信號(hào)發(fā)生器在不同頻率下輸出幅度平坦度的測(cè)量值(以0.1 MHz作為參考頻率點(diǎn))。

圖1 某型號(hào)信號(hào)發(fā)生器在不同頻率下輸出幅度平坦度的測(cè)量值

用數(shù)字多用表測(cè)量信號(hào)發(fā)生器輸出幅度平坦度的方法如下：將被檢信號(hào)發(fā)生器設(shè)置為參考頻率點(diǎn)，用數(shù)字多用表測(cè)量其輸出幅度的電壓值為V0,在被檢信號(hào)發(fā)生器工作頻率范圍內(nèi)，連續(xù)改變其輸出頻率，用數(shù)字多用表分別測(cè)量其它各頻率點(diǎn)輸出幅度的電壓值為Vi，則被檢信號(hào)發(fā)生器的輸出信號(hào)幅度平坦度按式(1)或式(2)計(jì)算：

(1)

式中，δ為輸出幅度平坦度； Vi為各頻率點(diǎn)輸出電壓值(V)；V0為參考頻率點(diǎn)輸出電壓值(V)。

(2)

式中，Δ為輸出幅度平坦度(dB)；Vi為各頻率點(diǎn)輸出電壓值(V)；V0為參考頻率點(diǎn)輸出電壓值(V)。

2 輸出幅度平坦度的測(cè)量不確定度分析

2.1 測(cè)量問(wèn)題概述

以用數(shù)字多用表測(cè)量被檢信號(hào)發(fā)生器的輸出幅度為例，輸出幅度平坦度的計(jì)算公式可以根據(jù)上述(1)式計(jì)算，由此建立測(cè)量的數(shù)學(xué)模型為:

(3)

2.2 整理測(cè)量數(shù)據(jù)

設(shè)被檢信號(hào)發(fā)生器為GW公司生產(chǎn)的GFG-8050，輸出幅度設(shè)置為1 V(有效值)，參考頻率點(diǎn)為1 kHz，用Agilent公司生產(chǎn)的數(shù)字多用表3458A作為電壓標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量該輸出幅度的電壓值為V0,調(diào)節(jié)信號(hào)發(fā)生器GFG-8050的輸出頻率為20 kHz，用數(shù)字多用表3458A測(cè)量該頻率點(diǎn)輸出幅度的電壓值為Vi。

測(cè)量數(shù)據(jù)及經(jīng)計(jì)算得到的算數(shù)平均值和平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差見(jiàn)表1所示。

表1 數(shù)字多用表測(cè)量信號(hào)發(fā)生器輸出幅度的數(shù)據(jù)

2.3 測(cè)量不確定度的主要來(lái)源

根據(jù)對(duì)實(shí)際測(cè)量情況的分析可知，測(cè)量不確定度的主要來(lái)源包括：數(shù)字多用表測(cè)量信號(hào)發(fā)生器輸出電壓的測(cè)量準(zhǔn)確度，數(shù)字多用表的讀數(shù)分辨力以及數(shù)字多用表測(cè)量的分散性，假設(shè)供電電源和實(shí)驗(yàn)室環(huán)境條件等產(chǎn)生的影響可忽略不計(jì)。

2.3.1 數(shù)字多用表的測(cè)量準(zhǔn)確度引入的不確定度u1(V0)、u1(Vi)

2.3.2 數(shù)字多用表的讀數(shù)分辨力引入的不確定度u2(V0)、u2(Vi)

2.3.3 數(shù)字多用表測(cè)量分散性引入的不確定度uA(V0)、uA(Vi)

對(duì)信號(hào)發(fā)生器輸出幅度1 V(1 kHz)、1 V(20 kHz)分別進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量(測(cè)量次數(shù)n=10)，按貝塞爾公式計(jì)算，則10次測(cè)量算數(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差為:

2.3.4 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(V0)、u(Vi)

以上對(duì)測(cè)量不確定度的貢獻(xiàn)可歸結(jié)為數(shù)字多用表測(cè)量輸出幅度1 V(1 kHz)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(V0)和數(shù)字多用表測(cè)量輸出幅度1 V(20 kHz)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Vi)，即:

2.4 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是由各測(cè)量不確定度分量合成得到的，同時(shí)還必須考慮其數(shù)學(xué)模型是否為非線性模型，以及各分量之間是否存在相關(guān)性。如果數(shù)學(xué)模型為非線性模型，那么在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)應(yīng)考慮是否需要加入數(shù)學(xué)模型按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)后的高階項(xiàng)；如果各分量之間存在相關(guān)性，那么在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)應(yīng)考慮是否需要加入?yún)f(xié)方差項(xiàng)。

由上述式(3)可知，該數(shù)學(xué)模型為非線性模型，所以在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)應(yīng)考慮加入高階項(xiàng)，且由于輸入量V0、Vi是由同一數(shù)字多用表測(cè)量得到的，它們之間可能存在相關(guān)性，因此在合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)應(yīng)考慮加入?yún)f(xié)方差項(xiàng)。

對(duì)非線性數(shù)學(xué)模型按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，當(dāng)每個(gè)輸入量都對(duì)其平均值對(duì)稱(chēng)分布并考慮下一個(gè)高階項(xiàng)時(shí)，不確定度的傳播定律[3]為:

(4)

在式(4)的基礎(chǔ)上加入表示相關(guān)性的相關(guān)系數(shù)可得不確定度的傳播定律為:

(5)

式中，r(xi,xj)為輸入量xi和xj的相關(guān)系數(shù)。

相關(guān)系數(shù)不僅可以從理論上進(jìn)行分析和評(píng)估，還可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到。

(6)

因此，根據(jù)式(5)和式(6)計(jì)算數(shù)學(xué)模型式(3)中被測(cè)量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示式為：

(7)

根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算得到:

u(V0)=0.000 052

u(Vi)=0.000 093

將以上計(jì)算結(jié)果代入式(7)得:

uc(y)=0.000 12

2.5 擴(kuò)展不確定度

取包含因子k=2，計(jì)算擴(kuò)展不確定度為:

U=kuc(y)=2×0.000 12 = 0.000 24

2.6 幅度平坦度的測(cè)量結(jié)果

將幅度平坦度按百分比表示，則:

擴(kuò)展不確定度同樣按百分比表示，則:

U=0.024%(k=2)

3 幅度平坦度的對(duì)數(shù)計(jì)算公式的測(cè)量不確定度分析

3.1 建立測(cè)量的數(shù)學(xué)模型

當(dāng)計(jì)算公式采用上述(2)式時(shí)，建立測(cè)量的數(shù)學(xué)模型為:

(8)

3.2 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(V0)、u(Vi)

同上所述:

3.3 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

根據(jù)式(5)和式(6)計(jì)算數(shù)學(xué)模型式(8)中被測(cè)量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示式為:

(9)

根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果代入式(9)得:

uc(y)=0.001 03dB

3.4 擴(kuò)展不確定度

取包含因子k=2，計(jì)算擴(kuò)展不確定度為:

U=kuc(y)=2×0.001 03dB= 0.002 1dB

3.5 幅度平坦度的測(cè)量結(jié)果

4 測(cè)量分析

1)對(duì)于非線性數(shù)學(xué)模型，高階項(xiàng)的處理相對(duì)比較復(fù)雜，應(yīng)盡可能地避免處理高階項(xiàng)。關(guān)鍵是要考慮不確定度傳播率中高階項(xiàng)相對(duì)于合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度整體的貢獻(xiàn)大小，從而判斷是否可以忽略。當(dāng)非線性表現(xiàn)不是很明顯時(shí)，高階項(xiàng)的量值很可能比一階項(xiàng)小很多，這時(shí)就可以忽略高階項(xiàng)，按線性模型處理不確定度傳播率。

2)從上述合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示式(7)的情況可以看出，輸入量V0和Vi的數(shù)學(xué)期望值均遠(yuǎn)大于其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(V0)和u(Vi)，因此式(7)中等式右邊的第三項(xiàng)和第四項(xiàng)遠(yuǎn)小于第一項(xiàng)和第二項(xiàng)，所以式(7)中的高階項(xiàng)可以忽略。從上述合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示式(9)的情況可以看出，輸入量V0和Vi的數(shù)學(xué)期望值均遠(yuǎn)大于其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(V0)和u(Vi)，因此式(9)中等式右邊的第三項(xiàng)遠(yuǎn)小于第一項(xiàng)和第二項(xiàng)，所以式(9)中的高階項(xiàng)可以忽略。

3)當(dāng)輸入量之間存在相關(guān)性時(shí)，通常必須確定各輸入量之間的相關(guān)系數(shù)后才能計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。各輸入量之間的相關(guān)性可以分為4種情況：①完全不相關(guān)r=0；②完全正相關(guān)r=1；③完全負(fù)相關(guān)r=-1；④輸入量之間部分相關(guān)。在實(shí)際應(yīng)用中，由于某些輸入量之間的相關(guān)系數(shù)比較難確定，為了簡(jiǎn)化處理問(wèn)題，將相關(guān)系數(shù)近似為r=0或r=1的情況，這樣做雖然規(guī)避了實(shí)驗(yàn)與計(jì)算的復(fù)雜性，但同時(shí)也給測(cè)量不確定度的評(píng)估帶來(lái)了風(fēng)險(xiǎn)。下面就針對(duì)輸出幅度平坦度測(cè)量的輸入量之間的相關(guān)性，取相關(guān)系數(shù)r=0和取相關(guān)系數(shù)r=1的情況，分別計(jì)算得到測(cè)量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度，與通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲取相關(guān)系數(shù)計(jì)算的擴(kuò)展不確定度進(jìn)行比較，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 相關(guān)系數(shù)r經(jīng)實(shí)驗(yàn)得到后的計(jì)算結(jié)果與

(1)從表2數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)假定相關(guān)系數(shù)為r=1時(shí)得到的測(cè)量不確定度并不一定會(huì)大于r=0時(shí)的測(cè)量不確定度，因?yàn)樵诤铣蓸?biāo)準(zhǔn)不確定度時(shí)還應(yīng)考慮靈敏系數(shù)和相關(guān)系數(shù)的正負(fù)問(wèn)題。

(2)由于相關(guān)系數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量和計(jì)算相對(duì)繁瑣，應(yīng)盡可能地采取合理的測(cè)量方法來(lái)避免輸入量之間的相關(guān)性。本例中采用同一臺(tái)數(shù)字多用表測(cè)量不同頻率下電壓值的方法，使測(cè)量數(shù)據(jù)之間引入更多的相關(guān)性。如果在有條件的情況下，可以采用兩臺(tái)數(shù)字多用表分別測(cè)量不同頻率下的電壓值，這樣就可以有效地避免處理相關(guān)性的問(wèn)題。

4)影響信號(hào)發(fā)生器輸出幅度平坦度的測(cè)量不確定度來(lái)源除上述分析外，還包括環(huán)境、電源、負(fù)載等條件變化因素。

(1)信號(hào)發(fā)生器及其測(cè)量設(shè)備的技術(shù)指標(biāo)一般都與環(huán)境溫度的影響有直接關(guān)系，溫度系數(shù)帶來(lái)的測(cè)量誤差可以在誤差公式計(jì)算中進(jìn)行修正。如果儀器產(chǎn)品說(shuō)明書(shū)中未給出溫度系數(shù)指標(biāo)，可通過(guò)進(jìn)行環(huán)境溫度試驗(yàn)測(cè)試儀器設(shè)備實(shí)際溫度系數(shù)的大小。

(2)供電電源電壓及頻率的變化也會(huì)對(duì)測(cè)量準(zhǔn)確度造成影響。有時(shí)供電電網(wǎng)由于其它設(shè)備使用而產(chǎn)生的脈沖會(huì)通過(guò)電源電路疊加到儀器設(shè)備的內(nèi)部電路，從而導(dǎo)致信號(hào)發(fā)生器輸出幅度的變化以及計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)量誤差。可通過(guò)使用凈化穩(wěn)壓電源有效隔離電網(wǎng)對(duì)儀器設(shè)備的干擾。

(3)在進(jìn)行高頻或高功率測(cè)量時(shí)，阻抗匹配問(wèn)題變得不可忽略。在實(shí)際測(cè)量時(shí)，應(yīng)盡可能地減小因失配誤差帶來(lái)的影響。由于儀器設(shè)備在不同頻率范圍的電壓駐波比有所變化，可以根據(jù)其產(chǎn)品說(shuō)明書(shū)給出的技術(shù)參數(shù)估計(jì)由于失配帶來(lái)的不確定度大小。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)信號(hào)發(fā)生器幅度平坦度的測(cè)量試驗(yàn)，獲得某型號(hào)信號(hào)發(fā)生器幅度平坦度的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，并給其與頻率相對(duì)應(yīng)的關(guān)系曲線，說(shuō)明幅度平坦度對(duì)于信號(hào)發(fā)生器性能評(píng)價(jià)的重要性。另外，通過(guò)對(duì)幅度平坦度測(cè)量不確定度的非線性數(shù)學(xué)模型分析，總結(jié)出其中高階項(xiàng)可以根據(jù)其量值的大小進(jìn)行忽略處理的經(jīng)驗(yàn)；同時(shí)針對(duì)非線性數(shù)學(xué)模型中的相關(guān)項(xiàng)，提出建立獨(dú)立測(cè)量系統(tǒng)避免引入相關(guān)項(xiàng)的處理方法，可以避免或降低相關(guān)性引入的不確定度。最后，對(duì)環(huán)境溫度、供電電源以及阻抗匹配等影響信號(hào)發(fā)生器幅度平坦度測(cè)量不確定度的實(shí)際操作問(wèn)題給出具有實(shí)用價(jià)值的參考意見(jiàn)或有針對(duì)性的解決方案。

[1] 湯世賢.微波測(cè)量 [M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社, 1981.

[2] 國(guó)防科工委科技與質(zhì)量司.無(wú)線電電子學(xué)計(jì)量(下冊(cè))[M].北京：原子能出版社，2002.

[3] 倪育才.實(shí)用測(cè)量不確定度評(píng)定[M].北京：中國(guó)計(jì)量出版社，2008.

[4] 中國(guó)計(jì)量測(cè)試學(xué)會(huì)，一級(jí)注冊(cè)計(jì)量師基礎(chǔ)知識(shí)及專(zhuān)業(yè)實(shí)務(wù)(下冊(cè))[M].北京：中國(guó)計(jì)量出版社.

Research on the Nonlinearity and Interdependency in the Measurement of the Output Amplitude Flatness of Signal Generators

Shang Jiashang

(Changcheng Institute of Metrology & Measurement, Beijing 100095, China)

The output amplitude flatness of signal generators is an important technical index to evaluate the output property of a signal generator. In this paper, the measurement method of output amplitude flatness is introduced, and measurement mathematical models are proposed according to different formulas. Because of the nonlinearity of the mathematical models and the possible interdependency between different input variables, it must be considered whether the higher-order items and the covariance items in the Taylor series expansion should be taken into account in the combined standard uncertainty in the process of the measurement uncertainty analysis. It is analyzed whether the higher-order items could be ignored according to their contributions to the combined standard uncertainty. And the expanded uncertainties are compared when the correlation coefficient is evaluated at different values-‘0’, ‘1’ and the experimentally decided value, respectively. In the end, a valid method is proposed to avoid working on the covariance items in the measurement of the output amplitude flatness，and some practical suggestions are offered on how to deal with the problems that are the influences of environment temperature and power supply and impedance matching on the measurement uncertainty of the output amplitude flatness of signal generator.

signal generators; output amplitude flatness; nonlinear models; interdependency

2016-04-28；

2016-05-03。

商佳尚(1981-)，女，北京人，碩士，工程師，主要從事電磁、無(wú)線電及時(shí)間頻率的計(jì)量測(cè)試工作。

1671-4598(2016)06-0319-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.06.087

TN74

A