由地震背景噪聲提取介質(zhì)衰減：衰減介質(zhì)中的空間相干表示

王凱明, 魯來玉, 劉慶華

中國地震局地球物理研究所, 北京 100081

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由地震背景噪聲提取介質(zhì)衰減：衰減介質(zhì)中的空間相干表示

王凱明, 魯來玉*, 劉慶華

中國地震局地球物理研究所, 北京 100081

傳統(tǒng)基于地震背景噪聲互相關(guān)的層析成像技術(shù)，主要利用了互相關(guān)函數(shù)的相位信息，即利用走時來反演地球介質(zhì)的速度和各向異性特征．最近，開始有研究人員利用互相關(guān)函數(shù)的振幅信息提取介質(zhì)的衰減．主要是將二維彈性情形下，互相關(guān)函數(shù)正比于第一類零階貝塞爾函數(shù)J0(k0r)這一結(jié)論，通過引入指數(shù)衰減系數(shù)，直接推廣到衰減介質(zhì)情形，令衰減介質(zhì)中背景噪聲互相關(guān)函數(shù)類比于J0(k0r)·e-α(ω)r，以此來反演介質(zhì)的衰減系數(shù)α．然而，在衰減介質(zhì)中，互相關(guān)受源的方位平均的影響，這種簡單的推廣，可能無法提取可靠的衰減系數(shù)．本文基于平面波的疊加模型，研究不同的互相關(guān)定義和坐標選擇下，衰減介質(zhì)中兩點間互相關(guān)函數(shù)的理論表達式．結(jié)果表明，在平面波疊加模型下，互相關(guān)函數(shù)的表達形式隨著坐標原點的選擇，并因而隨著源分布的變化而變化，對不同的歸一化因子，表達式也不盡相同．利用J0(k0r)·e-α(ω)r的形式擬合背景噪聲的觀測數(shù)據(jù)得到的衰減比實際值偏?。?/p>

噪聲互相關(guān)函數(shù)； 振幅； 衰減； 相干； 源的分布

1 引言

傳統(tǒng)地震層析成像通常利用地震事件反演地下介質(zhì)的地震波速度和衰減系數(shù)，進而研究地下結(jié)構(gòu)．由于地震發(fā)生在特定的時間和空間，這一方法限制了所能研究的區(qū)域(Shapiro and Campillo，2004；Sabra et al．，2005；Yang et al．，2007)．背景噪聲廣泛地存在于地表，不受空間和時間的制約(Prieto et al．，2011)，利用背景噪聲場研究地下結(jié)構(gòu)可以克服地震方法所帶來的限制．Aki(1957)指出：對于無衰減介質(zhì)，相距為r的臺站之間背景噪聲空間相關(guān)譜γ(ω,r)的方位平均與零階貝塞爾函數(shù)之間滿足如下關(guān)系：

(1)

Re表示取實部，ω為角頻率，k0為波數(shù)．基于這個關(guān)系，可以利用微動信息估算相速度，并以此反演介質(zhì)的速度結(jié)構(gòu)．

近年來，利用背景噪聲場研究地下結(jié)構(gòu)有了很大的發(fā)展(Shapiro et al．，2005；Zheng et al．，2010；Yao et al．，2011；Li et al．，2014)．基于簡正模方法，Lobkis和Weaver(2001)指出擴散場中兩個臺站記錄的互相關(guān)與這兩個臺站之間的格林函數(shù)呈正比關(guān)系．Sánchez-Sesma和Campillo(2006)，Lu等(2011)以及朱良保和王清東(2011)進一步證實了這一結(jié)論．因此，背景噪聲的互相關(guān)函數(shù)(Noise Cross-correlation Function, NCF)可以產(chǎn)生穩(wěn)定的近似格林函數(shù)，進而可以計算臺站之間面波的相速度(Wapenaar et al．，2010a，2010b；劉志坤和黃金莉，2010)．許多作者利用NCF信息進行面波層析成像(Lin et al．，2008；房立華等，2009；唐有彩等，2011；魯來玉等，2014；范文淵等，2015)．

先前的這些研究大多關(guān)注互相關(guān)函數(shù)的相位信息，即利用背景噪聲互相關(guān)測量地震波的走時，對互相關(guān)函數(shù)的振幅信息研究較少．最近，研究人員開始關(guān)注背景噪聲互相關(guān)函數(shù)的振幅測量(Lin et al．，2011；Liu and Ben-Zion，2013；Weemstra et al．，2013，2014；Liu et al．，2015).Prieto等(2009)認為在衰減介質(zhì)中，經(jīng)過方位平均以后，兩個臺站之間頻率域歸一化的互相關(guān)(相干)的實部等于零階貝塞爾函數(shù)與指數(shù)衰減項的乘積，即

(2)

利用(2)式對觀測到的相干數(shù)據(jù)進行擬合，Prieto等(2009)利用背景噪聲信息計算了美國南加州地區(qū)周期為5～20 s的衰減系數(shù)α，對典型地區(qū)和結(jié)構(gòu)的區(qū)域化特征進行解釋時取得了良好的結(jié)果．但對于衰減項e-α(ω)r的引入，僅僅是對彈性介質(zhì)的一個簡單推廣，并沒有做詳盡的討論(Prieto et al．， 2009，2011；Lawrence and Prieto，2011)．由于振幅測量缺乏相應(yīng)的理論背景，無法量化其研究的精度(Tsai，2011)．

背景噪聲互相關(guān)的振幅受衰減、背景噪聲源分布、散射等因素影響(Lawrence et al．，2013)，是否可以從背景噪聲相關(guān)中提取衰減信息依舊是有爭議的．地球的背景噪聲源不是均勻分布的，隨時間和空間而變化.方位平均可以有效減輕非均勻噪聲源分布的效應(yīng)(Prieto et al．，2009，2011)．對時間平均的歸一化互相關(guān)可以減輕背景噪聲源的方向性(魯來玉等，2009；Tsai and Moschetti，2010；Lawrence et al．，2013)．基于Yokoi和Margaryan(2008)的方法，Nakahara(2012)認為當衰減很小時，表達式J0(k0r)e-α(ω)r才是近似正確的.Cupillard和Capdeville(2010)的數(shù)值試驗表明噪聲源的振幅在不同的噪聲源分布下存在差異，衰減效應(yīng)存在于均勻分布的噪聲源的互相關(guān)中．Weaver(2011)，Tsai(2011)認為相干的方位平均可能無法重建可靠的衰減系數(shù)．不難看出這些爭論的焦點在于對背景噪聲源的分布所做的假設(shè)不同．

本文考慮源沿較大半徑的圓周均勻分布的模型，研究衰減介質(zhì)中，該模型下空間相干的表達式，討論不同的歸一化因子造成的可能影響．最后分析直接采用(2)式反演介質(zhì)衰減帶來的可能結(jié)果．

2 模型假設(shè)及相干的定義

在彈性介質(zhì)中，時域波動方程為

(3)

u表示位移，c0為相速度，通常為實數(shù)．對于沿某一方向傳播的單色波，方程具有如下形式的解：

(4)

其中A為波的振幅，波數(shù)k0=ω/c0．相應(yīng)的頻域波動方程為

(5)

考慮衰減時，時域波動方程變?yōu)?/p>

(6)

α為衰減系數(shù)．相應(yīng)的頻域波動方程為

(7)

即

(8)

令k=k0+iα，則有

(9)

其解為

(10)

本文考慮的源的分布模型如圖1所示，在半徑為R的圓周上，平均分布著一系列源．a(chǎn)，b為兩個接收點的位置，其空間坐標用矢量r1和r2表示．相對接收位置a，b來說，R→∞時，每一個源激發(fā)的波可以看成如(10)式所示的平面波，因此，對于單個激發(fā)源，a，b兩點接收到的平面波可表示為

(12)

同時，假定各個源激發(fā)的平面波互不相關(guān)，即

(13)

對于脈沖源或瞬態(tài)源，計算兩個臺站之間的互相關(guān)函數(shù)時，通常先計算由同一個源激發(fā)的互相關(guān)函數(shù)，然后再將不同源激發(fā)的互相關(guān)函數(shù)進行疊加，相關(guān)和疊加的順序不能交換，因為對于脈沖或者瞬態(tài)源，兩個臺站接收到的信號是相干的，交換相關(guān)和疊加順序?qū)⒊霈F(xiàn)非物理的交叉項(Wapenaar et al．，2010a)．當計算位于背景噪聲場中的兩個臺站的互相關(guān)函數(shù)時，由于臺站接收到的信號是不同源激發(fā)的波場的疊加，且噪聲源的信息無法獲得，因此我們得到的互相關(guān)函數(shù)是先疊加后相關(guān)的結(jié)果．由于噪聲源通常是互不相關(guān)的，交換相關(guān)和疊加順序不會引起非物理的交叉項．但在衰減介質(zhì)中，疊加和相關(guān)順序不同，得到的表達式也不盡相同．

圖1 源的分布與圓周內(nèi)任意兩點a, b的位置坐標Fig.1 Source distribution and coordinates of two stations a and b

本文將對先疊加后相關(guān)和先相關(guān)后疊加兩種情況來討論．

(14)

(15)

a，b兩點之間的互相關(guān)可以表示為

由于積分變量φ，φ′是相互獨立的，因此有

(16)

利用(13)式可得其整體平均為

(17)

a，b兩點各自的自相關(guān)分別為

(18)

(19)

對于三種不同的歸一化因子，可以得到空間相干的三種定義：

(20)

(21)

(22)

對于先相關(guān)后疊加的情況，由(11)，(12)式可知，a，b兩點之間的互相關(guān)為

(23)

a，b兩點之間的自相關(guān)分別為

(24)

(25)

考慮三種不同的歸一化因子，相干的定義也有三種不同的形式，分別為

(26)

(27)

(28)

3 衰減介質(zhì)中空間相干的表示

3.1 先疊加后相關(guān)

將(17)(18)(19)式代入(20)式，得到

(29)

(30)

(31)

圖2 源的分布及a，b兩點的坐標關(guān)系,a點為坐標原點Fig.2 Source distribution and coordinates of points a and b. Point a is taken as the origin

(32)

圖3 因果性噪聲源(a)和非因果性噪聲源(b)的示意圖. 這里假定a為虛擬源，b為虛擬接收Fig.3 Schematic diagram of (a) the causal sources of noise and (b) the acausal sources of noise. It is assumed that a is virtual source and b is virtual receiver

(33)類似的，對于非因果性部分，有

圖4 源的分布及a，b兩點的坐標關(guān)系,a和b的中點為坐標原點Fig.4 Source distribution and coordinates of points a and b. Midpoint between a and b is taken as the origin

(35)

類似前面的討論，其因果和非因果部分的表達式分別為

(36)

(37)

對于(21)和(22)式選取不同的歸一化因子的情況，可以進行類似的討論，其結(jié)果在表1和表2中給出.

表1 先疊加后相關(guān)中不同坐標系下的abTable ab in different coordinate systems

(35)和(36)式與Tsai(2011)中的(25)和(29)式一致．Tsai(2011)基于均勻分布的遠場面波模型(Uniform Distribution of Far-field Surface Waves)和單邊遠場面波模型(One-side Far-field Surface Waves)得出了同樣的結(jié)果，這與本文考慮的模型一樣，雖然該模型假定源在半徑R很大的圓周上均勻分布，由于介質(zhì)的衰減，圓周內(nèi)部各點波場的大小并不是完全相同的．當采用如圖4所示的坐標系時，(13)式的定義表明各向同性的場位于a，b連線的中點．另一方面，從源的分布角度考慮，兩種坐標原點的選擇，意味著源相對a，b兩點具有不同的方位分布．其相干表達式的不同表明，在衰減介質(zhì)中，源的分布影響空間相干的表達，簡單采用如(2)式所示的指數(shù)衰減形式來反演介質(zhì)的衰減系數(shù)具有潛在的不可靠性．

表2 先疊加后相關(guān)中不同坐標系下的ab(+)和ab(-)Table ab(+) and ab(-)in different coordinate systems

3.2 先相關(guān)后疊加

對于脈沖源或者瞬態(tài)主動源，相關(guān)和疊加的次序是重要的．為了避免交叉項的產(chǎn)生，需要對單個激發(fā)源，求取a，b兩點的互相關(guān)，然后將所有源的互相關(guān)結(jié)果疊加．對于此種情況，將(23)(24)(25)式代入(26)式，可以得到

(38)

類似前述討論，根據(jù)圖2的坐標關(guān)系，容易得出

(39)

對于因果性部分有

(40)

非因果性部分有

(41)

對于如圖4的坐標選擇，則有

(42)

(43)

(44)

通過類似的計算可以得到(27)和(28)的表達式，其結(jié)果在表3和表4中給出．

4 分析與討論

表3 先相關(guān)后疊加中不同坐標系下的abTable ab in different coordinate systems

y2(α0r)=Re[J0(k0r+iα0r)]，

y4(α0r)=Re[J0(k0r+iα0r)/I0(2α0r)].

(45)

C^(1)ab(+)C^(1)ab(-)C^(2)ab(+)C^(2)ab(-)C^(3)ab(+)C^(3)ab(-)12J0(k0r)+iH0(k0r)[]12J0(k0r)-iH0(k0r)[]12J0(kr)+iH0(kr)[]12J0(kr)-iH0(kr)[]12J0(k0r-iαr)+iH0(k0r-iαr)[]12J0(k0r-iαr)-iH0(k0r-iαr)[]12J0(k0r)+iH0(k0r)[]12J0(k0r)-iH0(k0r)[]12J0(kr)+iH0(kr)[]12J0(kr)-iH0(kr)[]12J0(k0r-iαr)+iH0(k0r-iαr)[]12J0(k0r-iαr)-iH0(k0r-iαr)[]

假定介質(zhì)的品質(zhì)因子Q不隨頻率變化(Kjartansson，1979)，對于弱衰減情形，衰減系數(shù)α與頻率存在如下關(guān)系：

(46)

圖5 不同形式的與J0(k0r)e-α(ω)r和J0(k0r)的比較Fig.

圖6 不同的相干表示給出的衰減模型的比較Fig.6 Comparison of attenuation models from different coherency expressions

圖7 用J0(k0r)e-α(ω)r的相干表示式擬合(45)式所示的不同理論模型得到的衰減系數(shù)αFig.7 Attenuation coefficients by fitting the J0(k0r)e-α(ω)rwith the theoretical coherency shown by Eq.(45)

(47)

ln為求自然對數(shù).圖7給出了不同周期下(47)式的最小二乘解，α1,α2,α3,α4分別表示用J0(k0r)e-α(ω)r擬合(45)式中的4種模型得到的衰減系數(shù)．可以看出，使用J0(k0r)e-α(ω)r對不同的理論相干形式進行擬合時，得到的衰減系數(shù)比假定的理論值偏?。?/p>

不同的源的分布對應(yīng)不同的空間相干表示，這表明沒有一種模型能很好地模擬衰減地球介質(zhì)中的背景噪聲相干模型．Walker(2012)指出衰減不可避免地引起平面波的非均勻性，因此其空間相干依賴于歸一化因子的選擇及源的分布，從而導(dǎo)致相應(yīng)的結(jié)果依賴參考系的選擇．這意味著，利用類似的模型來描述地球介質(zhì)的衰減并不是完美的，地球背景噪聲模型不能完全用分布在二維平面上的源來模擬，可能需要考慮源的體積分布．另一方面，提醒我們在利用噪聲互相關(guān)技術(shù)提取介質(zhì)衰減時，需要更加謹慎．

5 結(jié)論

假定源在大半徑的圓周上均勻分布，每個源激發(fā)互不相關(guān)的平面波，基于這樣的模型，本文研究了衰減介質(zhì)中，圓周內(nèi)部兩點之間空間相干的表達式，并分析了這些表達式在利用背景噪聲互相關(guān)技術(shù)提取介質(zhì)衰減系數(shù)中的應(yīng)用．研究表明，衰減介質(zhì)中空間相干的表達受源的分布影響，選擇不同的歸一化因子，其結(jié)果不盡相同，目前還沒有一種較好的噪聲源分布模型能描述實際的衰減地球介質(zhì)的相干表示．傳統(tǒng)利用J0(k0r)e-α(ω)r的相干形式提取的介質(zhì)衰減系數(shù)比介質(zhì)實際衰減系數(shù)偏?。?/p>

附錄A 公式(32)推導(dǎo)如下：

(A1)

由周期函數(shù)的積分性質(zhì)，得

(A2)

通過簡單的積分運算可得

(A3)

(A3)式即正文中的公式(32)．

由Abramowitz(1970)中(12.1.7)式

和(12.2.2)式

可知，當ν=0時，

(A4)

(A5)

將(A4)，(A5)式代入(A3)式，最終可得

(A6)

(A6)式即正文中的公式(33)．

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(本文編輯 何燕)

On the spatial correlation of seismic noise in an attenuating medium

WANG Kai-Ming, LU Lai-Yu*, LIU Qing-Hua

InstituteofGeophysics,ChinaEarthquakeAdministration,Beijing100081,China

Traditionally, the tomography based on the correlation of seismic noise primarily uses the phase information of ambient noise correlation function (NCF) to extract the seismic velocity and anisotropy of the Earth with travel time measurement by performing inversion. Researchers recently utilize the amplitude of NCF to extract the Earth′s attenuation. In theory, NCF is proportional to the first kind of zero-order Bessel function in a 2-D elastic case, which is directly extended to the dissipative media by introducing an exponential attenuation coefficient. The attenuation of the structure is then obtained by comparing the observed data from NCF to the Bessel function multiplied by a decaying exponential term. The NCF, however, is affected by azimuth averaging of ambient noise sources distributed in attenuated media. This empirical and simple extension cannot be used to extract a reliable decay coefficient. In this paper, we study the theoretical expressions of NCF in the frequency domain between two stations under different coordinate systems and accordingly different source distributions which are composed of superposition of plane waves. We show that the coherency expressions in dissipative media vary with coordinate systems. The expressions are different for different normalized factors. The attenuation coefficient obtained by fitting the coherency J0(k0r)·e-α(ω)rwith the observed data is smaller than the real one.

Noise cross-correlation function; Amplitude; Attenuation; Coherency; Source distribution

10.6038/cjg20160909.

國家自然科學(xué)基金(41174041)資助.

王凱明，男，1990年生，博士研究生，主要從事地震噪聲成像理論研究.E-mail:951489278@qq.com

*通訊作者 魯來玉，男，研究員，博士生導(dǎo)師，主要從事地震波的傳播與散射理論，及地震層析成像等方面的研究.E-mail：laiyulu@cea-igp.ac.cn

10.6038/cjg20160909

P315

2015-11-23，2016-01-27收修定稿

王凱明, 魯來玉, 劉慶華. 2016. 由地震背景噪聲提取介質(zhì)衰減：衰減介質(zhì)中的空間相干表示. 地球物理學(xué)報，59(9):3237-3247,

Wang K M, Lu L Y, Liu Q H. 2016. On the spatial correlation of seismic noise in an attenuating medium.ChineseJ.Geophys. (in Chinese),59(9):3237-3247,doi:10.6038/cjg20160909.