復數的概念教學的嘗試

浙江省慈溪市技工學校（慈溪杭州灣等職業(yè)學校） 胡偉杰

復數的概念教學的嘗試

浙江省慈溪市技工學校（慈溪杭州灣等職業(yè)學校） 胡偉杰

數學概念課一直以來比較難上，本文主要針對職高學生首次接觸到復數的概念所存在的問題與困難加以研究，介紹了一種可以讓職高學生更好地去接受、去認識復數的課堂教學方法，盡可能讓學生不但能掌握復數的概念，為以后繼續(xù)學習復數的其他知識打好扎實的基礎，而且還能使他們真正理解人類歷史上數是如何發(fā)展和擴充的，從而培養(yǎng)學生的求知欲和對數學學習的興趣。

復數；概念；教學；嘗試

一、現狀分析

中等職業(yè)學校學生普遍存在著重視專業(yè)課、輕視文化課的現象。從某種意義上說，絕大部分學生之所以選擇職校，也是由于本身文化課基礎弱。特別是數學課，很大一部分學生基礎較差，學起來確實有困難，原因在于有些學生從小學高年級開始就對數學不感興趣，慢慢落在“大部隊”后面，越學越沒興趣，越沒興趣越不想學，越不想學越學不進去，最后導致一竅不通；而另一些學生對數學雖然感興趣，但一遇到困難就逃避，就想偷懶。他們共同的一點就是看不到數學的實用價值，因而學習起來提不起勁兒。

影響上述的原因是多方面的。中等職業(yè)學校的大部分學生數學基礎欠扎實，思維、靈活性受基礎欠佳等原因制約，對前后知識間的聯系、理解、應用有一定難度，反應速度相對較慢。面對這樣一種局勢，尤其擺在數學教師面前的是一種壓力與挑戰(zhàn)。能不能讓學生把高度抽象、邏輯性強的數學轉化為簡單、形象的數學，是學生能否學好數學的關鍵。

筆者學校使用的數學教材是中等職業(yè)教育國家規(guī)劃教材人民教育出版社職業(yè)教育中心教材《數學》職業(yè)模塊理工類。在上完復數的概念這幾節(jié)內容后，發(fā)現大多數學生對復數的有關概念掌握得特別差。普遍問題：學生對一些簡單的復數概念了解得很茫然，不知道復數到底是怎么回事，所以做題目的時候大部分只會簡單模仿，根本不理解，一旦碰到新的題目時，就不知所措。

為此，筆者又重新把數學課本、數學課教學大綱、數學參考書看了好幾遍，再對照自己的教學方案與學生的錯誤題目，進行反復思考與揣摩。發(fā)現了問題之所在：學生在接受新的數學知識的時候最好知道它的本質，而且還要求在教學的過程中抓住幾個重要的環(huán)與點。

二、教材分析

復數概念這節(jié)內容無論從職高的教材還是從普高的教材來看，其中的教學思想方法一般有以下兩種模式：

1.先為了解決實數集上矛盾的方程x2+1=0，引入一個新數i，給出了它需要滿足的兩條性質：（1）它的平方等于-1，即i2=-1；（2）實數可以和它進行四則運算，進行四則運算時原有加（乘）法運算律仍然成立。在此基礎上進一步來研究復數的其他的有關知識。

2.同樣為解決方程x2+1=0，在實數范圍內，是無解的問題。先以x2=2在有理數上無解，以及正方形對角線的擴充度量問題為例，人們把有理數擴充到了實數系，說明了數擴充的必要性，讓學生繼續(xù)思考能否把數從實數再次擴充，再從有理數擴充到了實數系這個過程中闡述數擴充所需要的條件。并在實數擴充到新數的過程中給出了復數的一般形式；最后，有了這個新數i后，進一步來研究復數的其他的有關知識。

筆者多次比較了這兩種的教學思想模式，感覺它們各有所長。

對于前者模式，它的特點：簡單明了，基于“夠用、實用、適用”的原則，適合職業(yè)教育的特色。

而后者模式的特點在于：不但讓學生理解數學的本原，“數學來自于生活，用之于生活”，而且還符合人的一般認知規(guī)律：從簡單到復雜，從特殊到一般。

那么，能否把這兩種教學的模式結合起來，創(chuàng)造一種更適合職業(yè)學校學生的認知與接受能力的教學方法呢？

筆者，原先一直在這一點上努力研究，結果陷入困惑之中，后來才發(fā)現，其實，要創(chuàng)造一種更適合職業(yè)學校學生的認知與接受能力的教學方法，主要還是取決于：聯系學生的特點，了解學生的現狀，符合這批學生所在這個時期內有特色的教學模式（包括教學手段、教學方法等多方面綜合在一起）。因此，我覺得教學模式應該是靈活的、多樣的，而不是拘泥于某種方法或某種手段，一成不變的。以下，是筆者個人對這節(jié)課的一點構想與嘗試。

三、教學嘗試

筆者首先把教學課時從1課時增加到2課時，主要是為了讓學生有更多的時間去認識人類歷史上是如何把數一步步地擴充下去的這種思想方法，讓學生有種身臨其境的感覺及參與造數的過程的欲望，培養(yǎng)學生的興趣、激發(fā)學生的求知欲，以便更好地學習與掌握知識。

同時，我又把教材分解成以下幾個部分，提煉出幾個關鍵性問題：1.復數的導入要具有新穎性；2.復數形式的給出要具有易接受性；3.復數知識歸類要與例題具有緊密性與針對性；4.后續(xù)工作布置要具有鞏固性與延續(xù)性。

（一）復數的導入要具有新穎性

大家都知道“良好的開端是成功的一半”，所以一堂課的導入是至關重要的。

1.巧設懸念，設置問題

問題1：老師用巧妙的語言吸引學生，并在多媒體上演示出這樣一個問題：請大家在實數集上，解x2+1=0這個方程。追問：如何來解決這個問題呢？

2.針對目標，簡單類比

問題2：繼續(xù)解方程：要求學生在有理數集上快速解x2=2這個方程。

3.聯系歷史，得到啟示

聯系歷史，介紹數系的發(fā)展過程（展示多媒體）并再一次呈現我們的目標問題。

具體步驟：（1）從實際生產的需要：原始社會人類由于計數的需要，產生了自然數的概念，后來，進一步建立了自然數的概念；為了表示具有相反意義的量的需要產生了整數；由于測量的需要產生了有理數；由于表示量與量的比值（如正方形對角線的長度與邊長的比值）的需要產生了無理數（既無限不循環(huán)小數）。（2）從解方程的需要推進數的發(fā)展∶為了使方程x+5=3有解，就引進了負數；為了使方程3x=5有解，就要引進分數；為了使方程x2=2有解，就要引進無理數。那么為了使方程x2+1=0有解，應該引進什么數呢？注意數的擴充也需要遵循一些原則（從以上事例中暗示）。

4.指出原則，接近目標

把握數系擴充的原則及指出現在所面臨的原則及問題。

5.動感演示，引出復數

結合多媒體把實數集如何擴充到一個新的集合的過程，形象而且有動感地一一演示出來。

把握數系擴充的原則及指出現在所的面臨的原則及問題。

（二）復數形式的給出要具有易接受性

復數形式的給出恰當與否對于學生理解復數是相當重要的，所以復數形式的給出不但要自然，而且要使學生容易接受，容易理解。如果按照課本直接給出：如果a、b是實數，那么形如a+bi的數叫作復數。這樣很難達到預期的目的。

在引入新數i后，方程x2+1=0在實數集無解的問題得以解決，但是這個實數集也相應地擴充了。給出問題：根據這種規(guī)定，數的范圍擴充后，會出現什么形式的數呢？回答這個問題，就要從數系擴充的原則中一條實數可以和它進行四則運算，進行四則運算時原有加（乘）法運算律仍然成立。從這點上入手，并結合多媒體來給出復數形式。

第三步：把實數a與實數b和i相乘的結果相加，記作a+bi，如3+2i、。

再來分析以上這些數的各自特點：a+i可表示為a+1i；bi可表示為0+bi；實數a可表示為a+0i；i可表示為0+1i，發(fā)現這些數其實都可以用同一種表示，即為a+b（a、b為實數）形式；得到C=｛a+bi|a，b∈R｝復數集。它包括了所有的實數，符合了數系擴充的一般原則，圓滿解決了問題。我們用這樣一種方式來給出復數的形式，同時注意師生互動，可以得到事半功倍的效果。

（三）復數知識歸類要與例題具有緊密性與針對性

在上完本堂內容后，我發(fā)現如果按照書本的順序先把一些復數概念、分類等知識都講給學生，而對知識并不做歸類與例題的鞏固，那么效果是相當差的。所以，筆者認為，對知識的歸類與例題之間應具有緊密性與針對性。

1.正確理解復數的實部與虛部

例題：說出以下哪些是虛數？并指出它們的實部與虛部。

2.正確理解復數相等的概念

不能亂用復數相等的條件解題。用復數相等的條件要注意：①化為復數的標準形式z=a+bi（a，bR）；②實部、虛部中的字母為實數。結合以下例題讓學生真正搞懂。

（1）（x-1）+2i=3+yi，（x+2y） -i=6x+（x-y）i；

（2）（x+2）+yi=0，（x+y+1）-（x-y+2）i=0.

3.正確地對復數進行分類，弄清數集之間的關系

分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統(tǒng)一。

根據上述原則，復數集的分類如下：

例1：實數m取什么值時，復數z=m+1+（m-1）i 是（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？

例2 ：實數m取什么值時，復數z=（m2-5m+6）+（m2-3m）i=0是（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？

4.搞懂復數能否比較大小問題

教材最后指出：兩個實可以比較大小，但兩個復數，如果不全是實數，它們之間就不能比較大小。如2+i和3-i；3和i之間無大小而言。

實際上，根據兩個復數相等地定義，可知在a=c，b=d兩式中，只要有一個不成立，那么a+bi≠c+di。兩個復數，如果不全是實數，只有相等與不等關系，而不能比較它們的大小。

（四）后續(xù)工作布置要具有鞏固性與延續(xù)性

要真正學好數學，掌握數學的知識點，除了需要上課時認真聽講、認真跟著教師的節(jié)奏去接受新的知識，最重要的還在于學生自己課后重溫課本重溫知識點、并會歸類知識，做到獨立思考與獨立完成習題。

課后布置以下任務：

1.重溫課本。

2.歸類知識。

（1）數系的擴充；（2）復數的概念；（3）復數相等及比較大小問題；（4）復數的分類。

3.常見的例題與解法。

4.完成一些相關的配套練習。

5.預習新知識。

四 、心得體會

《數學課程標準》明確指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐，自主探索和合作交流是學生學習數學的重要方式?！辈⑶野堰^程性目標確定為“經歷”“體驗”和“探索”三個方面，要倡導積極主動、勇于探索的學習方式，數學教學應從學生的生活經驗和已有的知識背景出發(fā)，向他們提供充分的從事數學活動和交流的機會，讓他們在自己的生活中尋找數學、發(fā)現數學、探究數學、認識數學和掌握數學。

依照標準并結合職高學生的實際情況對教材的內容要加以適當的處理，特別是要使高度抽象、邏輯性強的數學轉化為簡單、形象的數學，而且對于一些學生很難、很混淆的知識要反復地進行教學、進行練習、進行歸類、及時解決。

數學概念課的教學一直比較困惑，作為數學老師就應該在自己的教學中不斷嘗試，不斷探索，不斷尋找一種適合學生的教學。

［1］中等職業(yè)教育國家規(guī)劃新教材人民教育出版社職業(yè)教育中心.數學（職業(yè)模塊理工類）［M］北京：人民教育出版社，2010.

［2］人民教育出版社課程教材研究所.數學［M］北京：人民教育出版社2007.