有限元分析壓電半空間接觸問題

高鵬博，劉鐵軍

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學 理學院力學系，內(nèi)蒙古呼和浩特，010051）

有限元分析壓電半空間接觸問題

高鵬博，劉鐵軍★

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學 理學院力學系，內(nèi)蒙古呼和浩特，010051）

壓電材料作為一種擁有優(yōu)越機電耦合性能的智能材料，其力學性能受到了研究者的廣泛關(guān)注。本文采用有限元方法分析壓電半空間在剛性球形壓頭和剛性圓柱平底壓頭作用下的壓痕響應(yīng)。文中假定兩種形狀的剛性壓頭均為絕緣體壓頭。利用有限元軟件ANSYS，本文分析了在荷載作用下，壓電材料在球形和圓柱形壓頭作用下的壓入深度、接觸半徑、表面接觸應(yīng)力和接觸區(qū)域電勢曲線。另外，本文還利用數(shù)值結(jié)果對理論解進行驗證。

壓電半空間，接觸問題，有限元分析

0 引言

壓電材料[1]是一種能夠?qū)崿F(xiàn)電能和機械能相互轉(zhuǎn)化的智能材料，已被廣泛用來制造壓電傳感器和驅(qū)動器。優(yōu)越的力電轉(zhuǎn)化性能，使其在智能結(jié)構(gòu)和微電機系統(tǒng)中發(fā)揮著重要的作用[2]。接觸問題是研究固體間相互接觸時在接觸區(qū)的作用狀況，包括位移、應(yīng)變和應(yīng)力，以及由此引起的強度分析方面的問題。接觸問題體在研究接觸表面的破壞機理，通過壓痕實驗測定材料力學性能等方面具有重要的意義。Johnson[3]則在其經(jīng)典著作中給出了彈性體材料的接觸問題分析方法。最近，Giannakopoulos等[4][5]用Hankel積分變換方法得到了壓電材料半空間在導電體和絕緣體壓頭作用下的三維接觸問題的解析解，同時，該文還針對三種商業(yè)壓電材料進行了有限元分析，并對理論解與Abaqus有限元解進行比較。該文主要側(cè)重理論分析，未給出有限元分析的詳細過程，以及應(yīng)力分布，壓痕-壓力關(guān)系以及壓力和電勢的關(guān)系曲線。現(xiàn)在，有限元軟件的使用越來越廣泛，如王光建[6]基于ANSYS軟件分析了雙螺旋副斜齒輪強度，為材料力學性能問題的解決提供了新的思路。有限元在有限元分析接觸問題的方面，孫林松等[7]列舉了三種數(shù)值方法來分析接觸問題；李一耕[8]通過ANSYS進行了推力球軸承赫茲接觸問題的計算，所得結(jié)果與赫茲理論解進行對比；王振波[9]通過有限元方法分析了MEMS涂層的接觸問題，為MEMS涂層的可靠性設(shè)計提供了理論基礎(chǔ)。趙亞素[10]基于ANSYS軟件分析了非均勻涂層在均布荷載作用下的接觸問題

本文利用大型有限元分析軟件ANSYS，分析壓電半空間的三維無摩擦接觸問題。通過對三種目前可供商業(yè)使用的壓·電材料進行分析和建模，求解了在特定荷載值作用下，三種壓電材料在圓柱形和球形壓頭作用下的壓入深度、表面接觸應(yīng)力和電勢。

1 問題的描述

三維壓電半空間接觸問題的幾何模型如圖1所示，本文主要研究平底圓柱 （圖1a）和球形（圖1b）兩種幾何形狀剛性壓頭作用于壓電半空間的接觸問題。柱坐標體系如圖所示，平面半徑方向由r表示，外法線方向由z表示。壓電半空間的尺寸遠大于壓頭尺寸。接觸面為z=0的平面，由作用力P引起的壓入深度為δ0，同時，接觸半徑為a。壓電材料受壓的極化軸與z軸一致。

2 有限元模型建立及求解

本文針對三種可供商業(yè)使用的壓電材料PZT-4、BaTiO3和PZT-5A進行分析。三種壓電材料半空間在剛性壓頭作用下的接觸問題，三種壓電材料性能參數(shù)參見表1。

圖1 壓電半空間受剛性圓柱形壓頭（a）和剛性球形壓頭作用（b）Fig.1 Piezoelectric half-space with the action of rigid flatcylindrical punch（a） or a rigid sphere punch（b）

表1 壓電半空間材料性能參數(shù)［11］［12］Tab.1 The performance parameters of piezoelectric half-space

2.1 剛性平底圓柱壓頭算例

剛性圓柱壓頭半徑為0.2m，壓電半空間半徑為2m，厚度為2m。荷載P分別取0.2N，2N，5N，10N，15N，20N，25N，30N，35N，40N，50N共12組模擬。NSYS建模過程中剛性壓頭采用SOLID185單元，壓電半空間采用SOLID5耦合場單元。如圖2所示，因為是軸對稱模型，建模時將模型簡化為1/4模型，提高運算效率。網(wǎng)格劃分時采用六面體網(wǎng)格，并在接觸區(qū)域進行網(wǎng)格細化，提升計算精度。接觸對設(shè)置將壓頭下表面設(shè)置為目標面，壓電半空間上表面設(shè)置為接觸面，接觸表現(xiàn)設(shè)置為Standard，接觸方向設(shè)置為On nodes-Normal from contact。PZT-5A壓電半空間在P=2N時平底圓柱壓頭作用下的壓入深度、表面接觸應(yīng)力與電勢的云圖分別見圖3、圖4與圖5。

2.2 剛性球形壓頭算例

圖2 平底圓柱壓頭作用下接觸問題模型與網(wǎng)格劃分Fig.2 The model and meshing of contact problem with flat cylinder punch

圖3 平底圓柱壓頭作用下 PZT-5A半空間在P=2N時接觸表面的壓入深度云圖Fig.3 The cloud map of penetration in the contact surface of PZT-5A half-space with the action of flat cylinder punch when P=2N

圖4 平底圓柱壓頭作用下PZT-5A半空間在P=2N時表面接觸應(yīng)力云圖Fig.4 The cloud map of contact pressure in the contact surface of PZT-5A half-space with the action of flat cylinder punch when P=2N

圖5 平底圓柱壓頭作用下PZT-5A半空間在P=2N時電勢云圖Fig.5 The cloud map of electric potential of PZT-5A halfspace with the action of flat cylinder punch when P=2N

剛性球形壓頭半徑R=0.2m，壓電半空間半徑為2m。施加的荷載P與剛性圓柱形壓頭相同。球形壓頭采用solid187單元，壓電半空間采用耦合場solid98單元，建立1/4模型。如圖6所示，因為剛性球形壓頭與壓電半空間接觸區(qū)域較小，需要在接觸區(qū)域附近的網(wǎng)格劃分足夠密，因此采用四面體網(wǎng)格。接觸對設(shè)置將壓頭下表面設(shè)置為目標面，壓電半空間上表面設(shè)置為接觸面，接觸表現(xiàn)設(shè)置為Standard，接觸方向設(shè)置為On nodes-Normal from contact。PZT-5A壓電半空間在P=0.2N時平底圓柱壓頭作用下的壓入深度、表面接觸應(yīng)力與電勢的云圖分別見圖7、圖8與圖9。

3 數(shù)值結(jié)果與分析

以下將對圓柱形壓頭和球形壓頭作用下的接觸應(yīng)力分布，壓力-壓痕曲線以及壓力-電勢曲線進行分析。

首先，為了驗證結(jié)果的正確性，本文計算了球形壓頭最大壓入深度、接觸半徑。計算結(jié)過如表2所示，本文的結(jié)果與文獻[13]符合較好。

圖6 球形壓頭作用下接觸區(qū)域附近網(wǎng)格劃分細節(jié)Fig.6 The detail of meshing near the contact area with the action of sphere punch

圖7 球形壓頭作用下PZT-5A半空間在P=0.2N時接觸表面的壓入深度云圖Fig.7 The cloud map of penetration in the contact surface of PZT-5A half-space with the action of sphere punch when P=0.2N

圖8 球形壓頭作用下PZT-5A半空間在P=0.2N時表面接觸應(yīng)力云圖Fig.8 The cloud map of contact pressure in the contact surface of PZT-5A half-space with the action of sphere punch when P=2N

圖9 球形壓頭作用下PZT-5A半空間在P=0.2N時Fig.9 The cloud map of electric potential of PZT-5A halfspace with the action of sphere punch when P=2N

表2 球形壓頭作用下最大壓入深度、接觸半徑與理論值的比較Tab.2 Comparison between numerical results and theoretical solution of max penetration and contact radius with the action of sphere punch

圖10和圖11給出了三種不同壓電材料在圓柱形壓頭作用下的壓痕和接觸應(yīng)力分布。從圖10中可以發(fā)現(xiàn)，同樣作用力作用下，平底圓柱壓頭壓入深度從大到小依次為PZT-5A材料、PZT-4材料、Ba-TiO3材料。從圖11中可以發(fā)現(xiàn)，相同作用力作用下，三種材料的表面接觸應(yīng)力數(shù)值接近，在接觸區(qū)域內(nèi)變化較為平緩，接觸邊界處同時存在大幅度的急劇增高，這一現(xiàn)象與解析解結(jié)論中接觸邊界存在的奇異性相吻合。

圖12和圖13給出了三種不同壓電材料在平壓頭作用時，壓入深度δ0與壓力P以及最大電勢φ0與壓力P的關(guān)系曲線。從圖12中可以發(fā)現(xiàn)，δ0與P呈線性關(guān)系。相同荷載作用下，PZT-5A材料產(chǎn)生的δ0最大，而BaTiO3產(chǎn)生的δ0最小。從圖12中可以看到，φ0與P同樣呈現(xiàn)出線性關(guān)系。在相同荷載作用下，PZT-5A材料產(chǎn)生較大的電勢而BaTiO3產(chǎn)生較小的電勢。

如圖14和圖15所示，球形壓頭作用下的最大壓入深度δ0與最大接觸應(yīng)力P0被給出。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，相同作用力作用下，產(chǎn)生δ0由大到小的壓電材料依次為PZT-5A、PZT-4、BaTiO3。而產(chǎn)生的最大應(yīng)力則剛好相反。

圖16和17分別給出了當荷載P=0.2N時，壓電半空間表面的應(yīng)力分布和電勢分布。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，最大接觸應(yīng)力P0出現(xiàn)在接觸區(qū)域的中心。其中，BaTiO3材料產(chǎn)生的最大接觸應(yīng)力最大而接觸區(qū)半徑最小。PZT-5A材料產(chǎn)生的最大接觸應(yīng)力最小而接觸區(qū)域半徑最大。如圖17所示，同樣條件下，最大電勢φ0同樣出現(xiàn)在接觸區(qū)域中心，電勢沿徑向逐漸降低；電勢由大到小依次為PZT-5A、PZT-4、BaTiO3，整體趨勢與理論結(jié)果相同。

圖10 P=2N平底圓柱壓頭作用下壓電半空間接觸面壓入深度Fig.10 Penetration at contact area of piezoelectric half space under the flat cylinder punch when P=2N

圖11 P=2N平底圓柱壓頭作用下壓電半空間表面接觸應(yīng)力分布Fig.11 Contact pressure at contact area of piezoelectric half space under the flat cylinder punch when P=2N

圖12 平底圓柱壓頭作用下r=0處壓入深度與作用力的關(guān)系Fig.12 The relationship between penetration at the point of r=0 and applied force with the action of flat cylinder punch

圖13 平底圓柱壓頭作用下壓電半空間最大電勢與作用力的關(guān)系Fig.13 The relationship between the max electric potiential and applied force with the action of flat cylinder punch

圖14 球形壓頭作用下最大壓入深度與作用力的關(guān)系Fig.14 The relationship between the max penetration andapplied force with the action of sphere punch

圖15 球形壓頭作用下最大表面接觸應(yīng)力與作用力的關(guān)系Fig.15 The relationship between the max contact pressure and applied force with the action of sphere punch

圖16 P=0.2N球形壓頭作用下壓電半空間表面接觸應(yīng)力分布Fig.16 Contact pressure at contact area of piezoelectric half space under the sphere punch when P=2N

圖17 P=0.2N球形壓頭作用下壓電半空間表面電勢分布Fig.17 Electric potential at the surface of piezoelectric half space under the sphere punch when P=2N

圖18 球形壓頭作用下最大電勢與作用力的關(guān)系Fig.18 The relationship between the max electric potiential and applied force with the action of cylinder punch

圖18給出了最大電勢φ0與作用力P的關(guān)系曲線。從圖中可以看出，在相同荷載作用下，Ba-TiO3材料產(chǎn)生的電勢最小，而PZT-5A產(chǎn)生的結(jié)果最大。

4 結(jié)論

利用ANSYS軟件模擬接觸問題可以得到比較精確的結(jié)果。

相同荷載作用下，BaTiO3壓電材料產(chǎn)生較大的應(yīng)力分布和較小的最大壓痕，而PZT-5A壓電材料產(chǎn)生較小的應(yīng)力分布和較大的壓痕。

在相同荷載作用下，PZT-5A材料產(chǎn)生較大的電勢，PZT-4材料產(chǎn)生電勢次之，而BaTiO3材料產(chǎn)生的電勢較小。

［1］ Jaffe H. Piezoelectric Ceramics［J］. Journal of the American Ceramic Society，1958，41（11）：494-498

［2］ Berlincourt D. Piezoelectric ceramics：Characteristics and applications［J］. The Journal of the Acoustical Society of America，1981，70（6）：1586-1595

［3］ Johnson K L. Contact Mechanics ［M］. UK；Cambridge University Press，1985.

［4］ Giannakopoulos A E，Suresh S，Alcala J. Spherical indentation of compositionally graded materials［J］. theory and experiments. Acta Mater.1997，45（4）：1307-1321

［5］ Giannakopoulos A E. Strength Analysis of Spherical Indentation of Piezoelectric Materials［J］. Journal of Applied Mechanics，2000，67（2）：409-416.

［6］ 王光建，熊正清. 基于ANSYS的雙螺旋副斜齒輪強度分析［J］. 新型工業(yè)化，2013，3（9）：47-52. Wang Guangjian，Xiong Zhengqing. Strength Analysis of double-helical Bevel Gear Based on ANSYS［J］. The Journal of New Industrialization，2013，3（9）：47-52.

［7］ 孫林松，王德信，謝能剛. 接觸問題有限元分析方法綜述［J］. 水利水電科技進展，2001，21（3）：18-20. Sun Songlin，Wang Xinde，Xie Nenggang. A Summary of Finite Element Analysis for Contact Problems［J］. Advanced in Science and Technology of Water Resources，2001，21（3）：18-20.

［8］ 李一耕，陳錦江，龍超，等. 基于ANSYS的球軸承赫茲接觸問題有限元分析［J］. 機械研究與應(yīng)用，2011，5：35-37. Li Yigeng，Chen Jingjiang，Long Chao，et al. Finite element analysis of Hertz contact problem in ball bearing based on ANSYS［J］. Mechanical Research and Application，2011，5：35-37.

［9］ 王振波. MEMS涂層接觸問題的有限元分析［D］. 北京；北京理工大學，2015：1-14.

Wang Zhengbo. FEA on Contact Problems of MEMS coating［D］. Beijing；Beijing Institude of Technology，2015，1-14.

［10］ 趙亞素，劉鐵軍，蔣雨明. ANSYS求解圓形均布荷載作用下非均勻土層表層位移［J］. 新型工業(yè)化，2014（9）：30-33. Zhao Yasu，Liu Tiejun，Jiang Yuming. Ansys for Surface Displacement of Non-Homogeneous Soil Layer with Circular Uniformly Distributed Load［J］. The Journal of New Industrialization，2014（9）：30-33.

［11］ Wang J H，Chen C Q，Lu T J. Indentation responses of piezoelectric films［J］. Journal of the Mechanics & Physics of Solids，2008，56（12）：3331-3351.

［12］ Bechmann R. Elastic，Piezoelectric，and Dielectric Constants of Polarized Barium Titanate Ceramics and Some Applications of the Piezoelectric Equations［J］. Journal of the Acoustical Society of America，1956，28（3）：347-350.

［13］ Giannakopoulos A E，Suresh S. Theory of Indentation of piezoelectric materials［J］. Acta Material 1999，47（7）：2153-2164.

Finite Element Method for Contact Problem of Piezoelectric Half-space

GAO Peng-bo, LIU Tie-jun
(Department of mechanics, school of science, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot, 010051 China)

Piezoelectric material is a kind of intelligent material. It has the excellent coupled mechanical-electrical characteristics. The mechanical performance of piezoelectric materials has

extensive attention of the researchers. In this paper， the indentation responses problems of piezoelectric half-space under a rigid sphere punch or a rigid flat cylindrical punch are considered by using the finite element methods. It is assumed that two kinds of punches are insulated. The finite element software package ANSYS is used to calculate the indentation depth, contact radius, surface contact pressure and electric potential of the piezoelectric materials under the sphere and cylindrical punch under the applied load. Otherwise, this paper gives the numerical results to verify the theoretical solution.

Piezoelectric half-space; Contact problems; Finite element analysis

10.3969/j.issn.2095-6649.2016.02.005

GAO Peng-bo, LIU Tie-jun. Finite Element Method for Contact Problem of Piezoelectric Half-space[J]. The Journal of New Industrialization， 2016， 6（2）: 27-33.

內(nèi)蒙古自然科學基金（2012MS0119），內(nèi)蒙古自治區(qū)“青年科技英才支持計劃”（NJYT-13-B09）和部分國家自然科學基金（11262013）

高鵬博（1991-），男，在讀，碩士，研究方向為新型功能材料的接觸力學分析；劉鐵軍（1978-），男，教授，博士，研究方向為新型功能材料力學行為研究

本文引用格式：高鵬博，劉鐵軍. 有限元分析壓電半空間接觸問題［J］. 新型工業(yè)化，2016，6（2）：27-33.