基于Sobol’法的殲擊機需求影響因素靈敏度分析*

羅承昆，陳云翔，張執(zhí)國，王莉莉

（空軍工程大學裝備管理與安全工程學院，西安710051）

基于Sobol’法的殲擊機需求影響因素靈敏度分析*

羅承昆，陳云翔，張執(zhí)國，王莉莉

（空軍工程大學裝備管理與安全工程學院，西安710051）

針對殲擊機需求確定影響因素眾多、傳統(tǒng)分析方法僅能進行定性分析的問題，提出了基于Sobol’法的殲擊機需求影響因素靈敏度分析方法。在構建了殲擊機需求確定模型的基礎上，提出了基于Sobol’法的殲擊機需求確定模型參數(shù)靈敏度分析步驟，并結(jié)合算例驗證了方法的可行性和有效性。分析結(jié)果表明：我方擬奪取空中優(yōu)勢等級的概率、敵方出動殲擊機的數(shù)量和敵我雙方殲擊機作戰(zhàn)效能的比值對殲擊機需求的影響較大，戰(zhàn)術運用系數(shù)、協(xié)同作戰(zhàn)系數(shù)和管理優(yōu)劣系數(shù)的影響微乎其微。

殲擊機需求，Sobol’法，影響因素，靈敏度分析

0　引言

奪取制空權在航空兵部隊各項作戰(zhàn)任務中占據(jù)著非常重要的地位。由于殲擊機需求影響因素眾多，加之執(zhí)行任務過程中存在的復雜性和不確定性，因此，科學確定影響殲擊機需求的敏感性因素，定量分析其影響情況，對于合理確定及優(yōu)化殲擊機規(guī)模結(jié)構，圓滿完成空軍承擔的各項作戰(zhàn)任務，具有重要的軍事應用價值。

靈敏度分析［1］是研究模型輸出結(jié)果受輸入因素變化的影響程度及模型本身受輸入因素影響程度的分析方法。通過對模型進行靈敏度分析，不僅可以研究輸入信息不準確或者變動時所得到的最優(yōu)解的穩(wěn)定性，還可以確定哪些參數(shù)對模型會產(chǎn)生較大的影響。因此，很多領域研究者都將靈敏度分析作為系統(tǒng)建模和模型分析的必要補充，靈敏度分析在對備選方案進行評價和決策時也具有十分重要的作用。根據(jù)分析對象、目的和因素的不同，通常可將靈敏度分析方法分為局部靈敏度分析和全局靈敏度分析。

由于局部靈敏度分析沒有考慮參數(shù)本身的概率分布、不適用于參數(shù)在大范圍內(nèi)變化并且不能確定各參數(shù)間的交互作用，因而難以有效確定參數(shù)變化對模型的影響。Sobol'法是當前最常用的全局靈敏度分析方法［2-5］，能有效確定對模型影響較大或者交互作用較強的因素，因此，本文采用Sobol'法對殲擊機需求確定的影響因素進行靈敏度分析，識別了影響需求的敏感性因素，為殲擊機規(guī)模結(jié)構的確定及優(yōu)化提供了指導。

1　Sobol’法基本原理

Sobol’靈敏度分析方法是一種基于方差的蒙特卡羅法［6］。其核心思想是把模型分解成單個參數(shù)和各參數(shù)相互組合的2m項函數(shù)，通過計算模型輸出的總方差和各階偏方差來確定靈敏度系數(shù)。若模型為，其中xi服從[0，1]均勻分布，f2（x）可積，那么模型可以被分解成：

顯然，這種分解并不是唯一的，要使分解唯一，則必須滿足以下條件：在式（1）中，f0應為常量；其余各子項對其所包含任一因素的積分必須為零，即有。同時，式（1）中各子項之間都相互正交，即當時，。

由于各分解項之間至少存在一個因素不同，因而相應的積分經(jīng)過式（1）計算后都變成零，且有。因此，所有分解項可以通過多重積分進行求解：

其中，x-i表示除xi以外的其他變量，x-ij表示除xi和xj以外的其他變量。同理，可求得其他各高階項。

因此，靈敏度系數(shù)可表示為：

其中，Si為一階靈敏度系數(shù)，表示參數(shù)xi對模型輸出結(jié)果的主要影響；Sij（i≠j）是二階靈敏度系數(shù)，表示兩個參數(shù)之間的相互作用對模型輸出結(jié)果的影響；依次類推。而參數(shù)xi的總靈敏度系數(shù)則是包含該參數(shù)的所有子項的靈敏度系數(shù)之和，且有。

Sobol’法一個顯著特點就是方差D和偏方差Di、Dij可由蒙特卡羅積分法估計求得：

其中，N為抽樣次數(shù)。式（8）中的上標（1）、（2）為輸入變量組（x1，x2，…，xm）的兩個N×m維抽樣數(shù)組，實質(zhì)上就是對除xi外其他參數(shù)分別進行兩次抽樣，而參數(shù)xi僅抽樣一次，再將兩組抽樣值分別代入模型進行計算，確定對應的方差。根據(jù)式（8），D-i也可通過下式進行計算：

因此，參數(shù)xi的總靈敏度系數(shù)為

2　殲擊機需求確定模型構建

采用Sobol'法對殲擊機需求確定的影響因素進行分析，首先需要構建出殲擊機需求確定參數(shù)化模型。特定任務背景下的殲擊機需求主要是根據(jù)我方想要達到的空中優(yōu)勢等級，通過與敵方出動的殲擊機進行力量對比求出。

為確?？哲姂?zhàn)役的順利遂行和最終勝利，必須確保我方對敵方具備一定的空中優(yōu)勢?？罩袃?yōu)勢等級通?？梢苑譃闉?級［7］：一級是絕對空中優(yōu)勢，二級是較大空中優(yōu)勢，三級是略有空中優(yōu)勢，四級是均勢。量化空中優(yōu)勢等級的指標為“空中優(yōu)勢系數(shù)”（K優(yōu)），可用下式表示［8］：

其中，K運用為戰(zhàn)術運用系數(shù)，K協(xié)同為協(xié)同作戰(zhàn)系數(shù)（指預警機或地面指揮引導水平），K管理為管理優(yōu)劣（含支撐能力）系數(shù)。

假設我方和敵方參戰(zhàn)的殲擊機數(shù)量分別為N甲、N乙，殲擊機作戰(zhàn)效能指數(shù)分別為C甲、C乙，則殲擊機數(shù)量比為K數(shù)量=N甲/N乙，空戰(zhàn)損失比為K損失=（C乙/C甲）0.5。在計算空戰(zhàn)損失比的過程中，當一方使用的殲擊機不止一種時，為宏觀估計其作戰(zhàn)效能指數(shù)，應按不同機種及數(shù)量計算加權平均效能值，即：

其中，Ci為第i種飛機的作戰(zhàn)效能指數(shù)，Ni為第i種飛機的數(shù)量。

對應不同的K優(yōu)值，奪取不同等級空中優(yōu)勢的概率可分別用下式計算：

因此，根據(jù)我方要求達到的空中優(yōu)勢等級，得到我方的殲擊機需求確定模型為：

絕對空中優(yōu)勢：

較大空中優(yōu)勢：

略有空中優(yōu)勢：

均勢：

3　基于Sobol’法的殲擊機需求確定模型參數(shù)靈敏度分析步驟

在構建出殲擊機需求確定參數(shù)化模型后，即可對其進行Sobol'法全局靈敏度分析。首先確定需要進行靈敏度分析的參數(shù)及其取值范圍和概率分布；其次對所確定的參數(shù)進行蒙特卡羅采樣，計算各采樣點的殲擊機需求；然后運用Sobol'法對所建立的模型進行全局靈敏度分析，確定各參數(shù)的一階靈敏度系數(shù)、交叉項靈敏度系數(shù)、總靈敏度系數(shù)和貢獻率，其中一階靈敏度系數(shù)（亦稱主效應）反映的是各參數(shù)單獨變化對模型的影響程度，交叉項靈敏度系數(shù)（亦稱交互效應）反映的是與該參數(shù)相關的所有耦合因素發(fā)生變化對模型的影響程度，而總靈敏度系數(shù)（亦稱總效應）反映的是與該參數(shù)相關的所有因素發(fā)生變化對模型的影響程度，對各參數(shù)的總靈敏度進行歸一化處理即可得到各參數(shù)的貢獻率；最后以確定出的敏感性因素作為決策變量為后續(xù)殲擊機規(guī)模結(jié)構優(yōu)化工作奠定基礎。具體的靈敏度分析流程如圖1所示。

4　算例分析

假定長期與我國存在領土主權爭議的某國在爭議區(qū)域可能投入的殲擊機為54架，其中三代機為48架，四代機為6架。設我方三代機與四代機的比例約為1∶0.1，我方和敵方三代機、四代機的作戰(zhàn)效能指數(shù)相同，分別為16、80［8］，并且敵我雙方的戰(zhàn)術運用能力、協(xié)同作戰(zhàn)能力和管理能力都相同。要求我方在戰(zhàn)斗過程中奪取略有空中優(yōu)勢的概率不低于70%?，F(xiàn)運用本文所提出的方法確定我方殲擊機的需求并對其影響因素進行靈敏度分析。

圖1　殲擊機需求確定模型全局靈敏度分析流程

首先，確定我方殲擊機的需求。經(jīng)計算，我方所需的殲擊機數(shù)量為104架。其中三代機為94架，四代機為10架。

其次，采用Sobol'法對殲擊機需求確定的影響因素進行全局靈敏度分析。首先應確定需要分析的參數(shù)及其取值范圍和概率分布。本文主要分析敵方出動殲擊機的數(shù)量（N乙）、敵我雙方殲擊機作戰(zhàn)效能的比值（C比）、我方擬奪取“略有”空中優(yōu)勢等級的概率（P略有）、戰(zhàn)術運用系數(shù)（K運用）、協(xié)同作戰(zhàn)系數(shù)（K協(xié)同）、管理優(yōu)劣系數(shù)（K管理）等6個參數(shù)的變化對我方殲擊機需求確定的影響，根據(jù)統(tǒng)計分析和專家調(diào)查可以確定各參數(shù)的取值范圍和概率分布如表1所示。

表1　靈敏度分析參數(shù)的取值范圍及概率分布

確定各參數(shù)的取值范圍和概率分布后，即可利用蒙特卡羅抽樣方法對各參數(shù)進行采樣，采樣次數(shù)為9 000次，計算得到各采樣點的殲擊機需求，最后利用Sobol'法確定各輸入?yún)?shù)的一階靈敏度系數(shù)、交叉項靈敏度系數(shù)、總靈敏度系數(shù)和貢獻率，計算結(jié)果如表2所示。

表2　靈敏度分析結(jié)果

為了更加直觀地說明各參數(shù)變化對殲擊機需求的影響程度，繪制各參數(shù)的靈敏度系數(shù)直方圖和貢獻率餅圖分別如圖2和圖3所示。

Sobol'法能夠方便地分析各參數(shù)之間的交互作用對模型的影響。本文在此僅分析任意兩個參數(shù)發(fā)生變化對殲擊機需求確定模型的影響程度（即參數(shù)的二階交互效應），具體計算分析結(jié)果如表3及圖4所示。

表3　各參數(shù)的二階靈敏度系數(shù)

通過上述分析可知，對于殲擊機的需求確定，各參數(shù)的主效應和總效應排序是一致的，即P略有＞N乙＞C比＞K管理＞K協(xié)同＞K運用。其中，P略有對殲擊機需求的影響最大，其次是N乙和C比，K運用、K協(xié)同和K管理這3個參數(shù)對殲擊機需求的影響微乎其微。同時，P略有和N乙這兩個參數(shù)的交叉項靈敏度系數(shù)都比較大，說明這兩個參數(shù)和其他參數(shù)之間存在較強的交互作用，特別是當P略有和N乙同時變化時對殲擊機需求確定的影響較大。

圖2　各參數(shù)的主效應及總效應

圖3　各參數(shù)靈敏度系數(shù)的貢獻率

圖4　各參數(shù)的二階交互效應

因此，要確定完成特定任務的殲擊機需求，首先必須合理確定我方想要達到的空中優(yōu)勢等級及概率，其次要科學預測敵方可能出動的殲擊機數(shù)量，最后要根據(jù)敵方出動殲擊機的作戰(zhàn)效能指數(shù)合理確定我方出動的殲擊機類型。由于敵方可能出動的殲擊機類型及數(shù)量不直接受我方控制，因而在確定我方的殲擊機需求后需要對其進行優(yōu)化時，首先應考慮調(diào)整我方此次行動的任務目標，或者更換參與行動的殲擊機類型。

5　結(jié)論

本文采用Sobol'全局靈敏度分析方法對所構建的殲擊機需求確定參數(shù)化模型進行了分析，得到了殲擊機需求確定模型各參數(shù)的靈敏度值。所得計算結(jié)果定性反映了模型各參數(shù)的靈敏程度，為合理確定及優(yōu)化殲擊機規(guī)模結(jié)構提供了指導。本文所得到的方法，也可以廣泛運用到其他裝備的需求影響因素分析中，其研究具有重要的軍事應用價值。

［1］SALTELLI A，RATTO M.Global sensitivity analysis［M］. ThePrimer.Chichester：JohnWiley&SonsLtd，2008.

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Sensitivity Analysis on Influencing Factors of Fighter’s Demand Based on Sobol’Method

LUOCheng-kun，CHENYun-xiang，ZHANG Zhi-guo，WANG Li-li
（School of Equipment Management and Safety Engineering，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China）

Aiming at the problem of numerous influencing factors existing in fighter’s demand calculation and traditional analysis method can only conduct qualitative analysis，a sensitivity analysis method on influencing factors of fighter’s demand based on Sobol’method is proposed.Based on the building of fighter’s demand calculation model，the sensitivity analysis procedure of fighter’s demand calculation model parameter based on Sobol’method is proposed，and a numerical example is given to verify the feasibility and validity of this method.The result shows that the probability we intend to despoil the air superiority level，the fighter number of our enemy and the combat effectiveness of both fighters have an obvious effect on our fighter’s demand.At the same time，the coefficient of tactics application，cooperative combat and management quality have very little effect on our fighter’s demand.

fighter’sdemand，Sobol’method，influencingfactors，sensitivityanalysis

E917

A

1002-0640（2016）10-0122-04

2015-08-09

2015-09-26

“：十二五”國防預研基金資助項目（513300102）

羅承昆（1990-），男，湖南邵陽人，碩士研究生。研究方向：裝備管理與決策、裝備系統(tǒng)工程。