導(dǎo)言課先行滲透坐標法思想的實踐與探索

李建明

[摘 要] 坐標法思想是解析幾何內(nèi)容的核心素養(yǎng)之所在！也是平面解析幾何學科育人價值的重要體現(xiàn)，這一價值是其他所有高中數(shù)學學科分支所無法實現(xiàn)的，其獨特功能無可替代. 它應(yīng)該也必須貫穿平面解析幾何學教學的始終. 設(shè)置導(dǎo)言課“先行滲透”坐標法思想，對幫助學生認識、理解這一新的學科分支意義重大.

[關(guān)鍵詞] 坐標法思想；導(dǎo)言課；先行滲透

“在數(shù)學中得到的訓練和修養(yǎng)會很好地幫助我們學習其他理論，數(shù)學素質(zhì)的提高對于個人能力的發(fā)展至關(guān)重要”（人教版教材《主編寄語》）. 新一輪課改也要求學科教學要能夠更好地培養(yǎng)學生今后發(fā)展所需的學科核心素養(yǎng)！什么樣的課堂教學能讓學生得到這樣的訓練與修養(yǎng)呢？筆者認為需要思考兩個問題：首先要明白數(shù)學學科到底應(yīng)該教給學生什么，某一數(shù)學學科分支的核心育人價值在哪里；其次就是課堂教學如何最大限度地發(fā)揮該學科的獨特育人價值以提升學生發(fā)展的核心素養(yǎng). 本文嘗試以《解析幾何》這一數(shù)學學科分支內(nèi)容為對象，談點個人的體會與認識，敬請批評指正.

[?] 坐標法思想是《解析幾何》的核心素養(yǎng)之所在

當前中學數(shù)學課堂教學中，認為解析幾何就是研究直線、圓和圓錐曲線的方程及其性質(zhì)的學科的師生普遍存在，應(yīng)該說這種認識既狹隘又片面. 事實上，解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學思想. 課程標準指出，在平面解析幾何初步的教學中，教師應(yīng)幫助學生經(jīng)歷如下的過程：首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；其次，處理代數(shù)問題；最后，分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題. 這里的幾何問題可以覆蓋中學所有的平面圖形，至于通過研究什么曲線來經(jīng)歷上述過程實現(xiàn)課標要求并非問題的本質(zhì)，教材的設(shè)計是讓學生通過對幾種特殊平面圖形（直線、圓及圓錐曲線）的坐標法研究過程，來體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想. 可見坐標法思想才是解析幾何內(nèi)容的核心素養(yǎng)之所在，也是平面解析幾何學科育人價值的重要體現(xiàn). 這一價值是其他所有高中數(shù)學學科分支所無法實現(xiàn)的，其獨特功能無可替代. 它應(yīng)該也必須貫穿平面解析幾何學教學的始終.鑒于以上認識，我們認為坐標法思想是高中解析幾何學科的核心價值之所在，它在培養(yǎng)并提升學生發(fā)展核心素養(yǎng)上能起到獨特功能.

[?] 導(dǎo)言課“先行滲透”坐標法思想的意義與教學目標

人教A版高中數(shù)學教材每章都有章頭圖與章引言，對全章內(nèi)容與思想方法進行統(tǒng)領(lǐng)性的介紹，但限于篇幅與內(nèi)容特點，這種介紹無法呈現(xiàn)“解析幾何”內(nèi)容所特有的歷史地位與思想價值，無法讓學生充分感受到坐標法思想的精髓與靈魂，這種簡要介紹只會讓學生產(chǎn)生并留存下更多的疑惑，為此我們認為有必要設(shè)置一節(jié)融章頭圖與章引言內(nèi)容在內(nèi)的“導(dǎo)言課”. 它既是起始課，也是統(tǒng)領(lǐng)課. 通過導(dǎo)言課，我們要幫助學生站在整體與全局的視角了解這一學科的歷史起源，通過具體案例幫助學生體會坐標法思想實現(xiàn)的可能性，通過經(jīng)歷實際問題的探究過程了解解析幾何學科的研究方法與手段，感悟它獨特的思維方式與育人價值. 從先行組織者的觀點看，通過導(dǎo)言課“先行滲透”坐標法思想，對幫助學生認識理解這一新的學科分支意義重大.

設(shè)置導(dǎo)言課還有助于學生在整個解析幾何內(nèi)容的學習過程中，都能在坐標法思想光芒指引下不斷提升發(fā)展核心素養(yǎng). 學生通過這節(jié)課體會了坐標法思想與坐標法解決問題的方法步驟后，就相當于從此掛起了一盞導(dǎo)航明燈，從此學生就能在此明燈的光芒照射下在教師的適當引導(dǎo)下展開研究學習. 雖然在具體問題的解決中會碰到不同的曲線，會有不同的形成規(guī)則，也會有不同的代數(shù)形式，處理代數(shù)問題的過程會略有差異，但坐標法思想不會改變，問題解決的基本過程與步驟幾無差別. 如果能切實地將這一思想貫穿于平面解析幾何學科分支的整個學習過程的始終，可以相信，在本內(nèi)容學習結(jié)束之時，坐標法思想一定會在學生思維深處留下深深的烙印，解析幾何的獨特育人價值一定能在學生身上得到體現(xiàn)，學生在這一學科分支的核心素養(yǎng)就能得到很好的培養(yǎng)與提高.

[?] 實踐與探索——充滿生機與活力的導(dǎo)言課

鑒于以上的認識與設(shè)想，我們開展了系統(tǒng)的研究與探索，取得了一些共識與成果，下面通過《解析幾何導(dǎo)言課》的設(shè)計教學談?wù)劸唧w的實踐與體會. （實踐案例的教學過程）

1. 回顧與欣賞

我們今天開始將要學習的數(shù)學內(nèi)容有“近代數(shù)學的第一個里程碑”的美譽.這是一座什么樣的里程碑呢？在這座里程碑之前我們的數(shù)學都走過了一段什么樣的路途呢？讓我們沿著數(shù)學發(fā)展的歷程，一起來回顧與欣賞數(shù)學的產(chǎn)生與發(fā)展，慢慢走近這座豐碑！

問題1：從小學到現(xiàn)在，我們都學習過哪些不同的數(shù)學分支？你知道代數(shù)學研究什么內(nèi)容嗎？幾何學又研究什么內(nèi)容呢？（代數(shù)主要研究數(shù)與式的運算，幾何研究三角形、四邊形、圓等幾何圖形的性質(zhì)）

我們學到現(xiàn)在所掌握的代數(shù)與幾何知識在歷史上相當于16世紀末的水平，此時的幾何學就像個“帥小伙”，已長得既帥氣又有內(nèi)涵；而代數(shù)學就如同一個漂亮的“小姑娘”，出落得亭亭玉立，做起事來細心又精致. 但直到十五世紀末，小伙與姑娘始終保持著一定的距離，幾乎沒任何關(guān)聯(lián).

設(shè)計意圖：通過不點題的介紹，了解即將學習數(shù)學分支的重要性，同時通過簡單復(fù)習回顧，理清代數(shù)學與幾何學所研究對象與研究方法的差異，為后續(xù)問題的解決做好鋪墊. 將數(shù)學知識的復(fù)習以“講故事”的方式演繹，可以增強數(shù)學的趣味性. 擬人的比喻能夠展現(xiàn)數(shù)學的幽默與靈動，讓課堂充滿生機與活力.

讓我們來一次集體“穿越”，來到十六世紀的歐洲：隨著科技的發(fā)展，天文、力學、航海等對幾何學提出了新的需要. 比如，天文學家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿橢圓軌道運行的；伽利略發(fā)現(xiàn)拋擲物體是沿拋物線運動的.

要研究解決這些問題，需要運動學知識，需要精確測定經(jīng)緯度，需要研究曲線的切線，這些都難以僅用靜態(tài)幾何的方法來解決. 顯然我們碰到了新問題.

問題2：面對一個新問題需要解決時，我們習慣的辦法會怎么做？（試圖用老方法來解決）如果老方法解決不了新問題，又該做怎樣的思考？哪些問題是值得我們分析的？

設(shè)計意圖：借用富有時代氣息的詞句引領(lǐng)學生一起走進歷史的時光隧道，幫助學生感受歷史的真切感，在學生感覺身臨其境的狀態(tài)下引導(dǎo)他們一起展開思考與分析，可以最大限度地激發(fā)學生的身心狀態(tài)，全身心地投入問題的思考中. 問題2的設(shè)置不只給學生思考問題解決的途徑，更重要的是幫助學生建立了一種分析處理新問題、解決新問題的基本模式與套路.

2. 思考與變革

面對一個新問題，我們習慣的思維是嘗試可能的老方法來解決，如果老方法解決不了，我們必然會尋求新的方法，如何能找到新方法呢？下面這些問題是值得我們思考與分析的：

問題3：天體運行的幾何形態(tài)（新問題）與初等幾何研究的幾何圖形（老問題）的本質(zhì)區(qū)別是什么？（展示兩個對比圖，圖3以動畫形態(tài)呈現(xiàn)：行星繞著太陽沿橢圓軌道轉(zhuǎn)動）

問題4：如圖3，要研究這一類新問題中天體運行的狀態(tài)（比如說要確定在某時刻該行星運行在什么位置、拋出的物體在某時刻會飛到什么地方等），你認為需要什么手段？

設(shè)計意圖：通過對比圖的設(shè)計，幫助學生體會兩種幾何形態(tài)的差異：動態(tài)與靜態(tài)！動態(tài)的幾何圖形是由點按某種方式運動后得到的，這是我們現(xiàn)在碰到的幾何形態(tài)的一個共性. 問題4引導(dǎo)學生思考如何用數(shù)學的方法把握這樣一種運動的形態(tài)，幫助學生自己想到用代數(shù)計算的方法來實現(xiàn)，給學生模擬經(jīng)歷數(shù)學方法在需要之中被“再發(fā)現(xiàn)”的機會.

事實上，在真實的歷史發(fā)展中，十七世紀法國的兩位數(shù)學家的基本數(shù)學思想與我們剛才的想法是一致的，正是他們大膽的設(shè)想與艱辛卓越的工作，這樣的豐碑才得以建立. 先讓我們一起來了解一下兩位偉大數(shù)學家和他們?nèi)〉玫某删停ㄍㄟ^課件出示兩位科學家的頭像并對其生平和對數(shù)學的貢獻進行介紹）：

當時的他們各自獨立地都把精力集中在研究怎樣把代數(shù)方法用于解決幾何問題，讓我們沿著他們的足跡，繼續(xù)尋求如何實現(xiàn)用代數(shù)計算的方法來解決動態(tài)幾何問題.

問題5：要實現(xiàn)代數(shù)方法解決幾何問題，首先要解決的是將幾何元素用代數(shù)形式表示出來. 根據(jù)我們目前所學知識，你認為要實現(xiàn)上述設(shè)想有條件嗎？什么工具能幫助我們實現(xiàn)？（將幾何元素表示為代數(shù)形式）

設(shè)計意圖：通過介紹兩位數(shù)學家的思想與成就，一是幫助學生了解解析幾何發(fā)明的真實背景與歷史，二是讓學生感受到我們今天一系列的思維與想法與當年偉大數(shù)學家的思想很相近，油然而生的自豪感可以激發(fā)學生更積極主動地思考問題.

3. 突破與創(chuàng)新

我們馬上就能想到：在初中我們學習過坐標系，已經(jīng)有了將點用一對有序?qū)崝?shù)對（坐標）表示的經(jīng)驗. 如圖4，在平面直角坐標系中，平面上任意一點都能用一個坐標來表示，反之，任何一個坐標都表示了一個點.坐標系幫我們實現(xiàn)了將平面上最簡單的圖形（點）用代數(shù)形式（坐標）表示.

問題6：坐標系也能幫助我們把平面上其他圖形（特別是我們試圖研究的動點形成的曲線）用代數(shù)形式來表示嗎？

數(shù)學研究具體問題的方法總是從簡單與特殊情形入手，點按某種規(guī)則（無規(guī)則的運動顯然是無法研究的）運動后形成的圖形什么最簡單呢？（直線與圓）限于時間，我們只選擇一種來嘗試研究，請同學們選一種. （本案例采用圓）

設(shè)計意圖：坐標系的提出務(wù)必要在教師的引導(dǎo)和幫助下由學生自己提出來，才能感受到發(fā)現(xiàn)新方法的激動；有了這一發(fā)現(xiàn)就能自然地想到提出問題6并躍躍欲試地想找條曲線來嘗試，學生的主動性就自然流露出來了.從而又引出了下一個問題.

問題7：結(jié)合我們用圓規(guī)畫圓，從運動的角度看，圓是由點如何運動所形成的曲線？它遵循什么樣的規(guī)則？

問題8：面對這樣一條曲線，使用坐標系來表示它、研究它，你會怎么建立坐標系？這個圓是由點有規(guī)則地運動形成的，那么圓上所有點的坐標肯定會受這種“規(guī)則”所制約，而且每個點的兩個坐標x，y相互之間也肯定會有制約，你能找到反映這種制約的關(guān)系式嗎？

這里有幾個概念要幫助學生理解清楚：數(shù)學如何實現(xiàn)對無數(shù)個點的研究？圓上所有點受到的制約是到圓心的距離為定值，每個點的坐標x，y受到的制約是x2+y2=r2（勾股定理），也就是圓上所有點的坐標都滿足關(guān)系x2+y2=r2，這個式子在代數(shù)學上叫什么？

問題9：前面我們說，幾何圖形就像小伙子，代數(shù)式就像小姑娘，數(shù)學就如同生活一樣，當小伙子全身心付出愛的同時，他肯定會希望小姑娘也能付出所有的愛，也就是說以這個方程的解為坐標的點都在圓上嗎？

解決了上述問題，就得到以下事實：在平面直角坐標系的幫助下，圓上所有點所形成的集合與方程x2+y2=r2的解確立的坐標的集合之間就形成了“無縫隙”的一一對應(yīng)的關(guān)系，這樣我們就得到了上述研究思路與結(jié)論的一個框架路線圖：

設(shè)計意圖：通過上述實例研究，幫助學生了解解析法思想，幫助學生認識到通過建立直角坐標系，用代數(shù)形式表示幾何元素是可能的，并從學科整體上了解解析幾何學科所研究問題的形態(tài)，研究的內(nèi)容、方法以及研究方向，為后續(xù)學習與研究高高掛起一盞導(dǎo)航的“明燈”.

例題：觀察圖7，僅憑觀察你能判斷點A是在圓內(nèi)、圓外還是圓上嗎？有什么方法可以確定點A與該圓的位置關(guān)系？請寫出過程.

設(shè)計意圖：通過該例題的解答，幫助學生進一步理解解析法思想，熟悉解析法解決問題的方法步驟，更重要的意圖是幫助學生了解、體會解析法在解決動態(tài)幾何問題時的優(yōu)點，認識解析法思想偉大的意義，理解解析幾何學科能被稱為“近代數(shù)學的第一個里程碑”的道理.

本教學設(shè)計定稿前在兩次的市級教研活動中進行了公開展示，兩次實踐均取得了很好的效果，學生的反映有以下幾點：以前從沒有聽過這樣的數(shù)學課，通過這節(jié)課清楚了解到解析幾何知識發(fā)展的歷程；第一次感覺到離當年的數(shù)學家以及這一學科知識的發(fā)明如此之近；以前都是一章內(nèi)容上結(jié)束了，教師才提煉出思想方法，這節(jié)課讓我們從這章的第一課就了解了坐標法思想，相信對后續(xù)內(nèi)容的學習會更有幫助.

數(shù)學任何一個學科分支的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升不是一兩節(jié)課的提煉與訓練可以達成的，它應(yīng)該貫穿整個學科分支教學過程的始終，學生如果從一開始就有機會站在學科思想的制高點一覽該學科的源頭與流向，他就能在接下來的學習過程中主動朝著主流的方向前行，就能主動積極地運用坐標法思想解決問題，就能對坐標法思想有更深刻的理解與感悟. 相信通過長期的努力與堅持，學生在數(shù)學學科的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升一定能夠得以實現(xiàn).