CS-DOA估計中觀測矩陣性能分析

孫晶明

(1. 中國電子科技集團公司 智能感知技術(shù)重點實驗室,　南京 210039)(2. 南京電子技術(shù)研究所，　南京 210039)

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·信號處理·

CS-DOA估計中觀測矩陣性能分析

孫晶明1,2

(1. 中國電子科技集團公司 智能感知技術(shù)重點實驗室,南京 210039)(2. 南京電子技術(shù)研究所，南京 210039)

利用壓縮感知(CS)理論解決陣列信號波達方向角(DOA)估計問題，具有對快拍數(shù)據(jù)量要求低、可處理相關(guān)源等優(yōu)點。CS-DOA估計中的一個關(guān)鍵問題是構(gòu)建合適的觀測矩陣。文中對比分析了均勻線陣與隨機稀布陣兩種陣列流形的稀疏重構(gòu)性能，分析結(jié)果表明在實際應用中基于隨機稀布陣構(gòu)建的觀測矩陣性能更優(yōu)。仿真實驗從三個方面比較了兩種觀測矩陣的DOA估計性能，驗證了隨機稀布陣性能的優(yōu)越性，在不增加陣元數(shù)的前提下，能有效提高陣列的空間角分辨率。

壓縮感知；波達方向角估計；觀測矩陣；隨機稀布陣

0　引　言

隨著壓縮感知(CS)理論的不斷完善與發(fā)展，其在陣列波達方向角(DOA)估計領域中的應用也受到了學者的廣泛關(guān)注，體現(xiàn)出比傳統(tǒng)的空間譜估計方法更加優(yōu)越的性能。CS理論是Donoho、Candès、Romberg和Tao等[1-3]在泛函分析和逼近論的理論基礎上，于2004年根據(jù)信息論的研究成果建立的。CS理論指出：利用滿足一定條件的隨機觀測矩陣，可將稀疏的高維信號投影到低維的空間，投影后的信號包含了足夠的信息，通過非線性的優(yōu)化方法，便能高概率地重構(gòu)高維原始信號。DOA估計問題中，空間目標僅占少量空間分辨單元，因此空域目標滿足稀疏性約束，結(jié)合目標空域稀疏性的DOA 估計算法進而得到了廣泛研究。

Cetin和Malioutov等[4-5]最早從2002年開始將稀疏性的思想引入到陣列DOA估計中，通過對空間角度的離散化建立稀疏重構(gòu)模型，然后利用均勻線陣結(jié)合L1-SVD算法對空間目標進行稀疏估計，獲得了角度高分辨，但觀測矩陣的有限等距性質(zhì)(RIP)特性較差，且求解算法運算量較大。CS-DOA估計問題的兩個要素是：觀測矩陣與算法，但現(xiàn)有相關(guān)文獻都主要側(cè)重于算法研究[6-12]，只有少量文獻涉及到觀測矩陣研究[13-15]，且缺少對觀測矩陣性能的理論分析。

針對上述問題，本文對比分析了均勻線陣與隨機稀布陣兩種陣列流形的稀疏重構(gòu)性能，分析結(jié)果表明在實際應用中基于隨機稀布陣構(gòu)建的觀測矩陣性能更優(yōu)，其RIP特性更好，能保證DOA估計的準確性和魯棒性。

1　CS-DOA估計原理分析

1.1CS基本原理

設x是長度為n的信號，稀疏度為k(即x最多含有k個非零值)，Φ為m×n階觀測矩陣(m

我們需要求解如下最優(yōu)化問題

(1)

Candès等[2]指出，欲精確恢復k-稀疏的信號x，只要觀測值個數(shù)m(即y的長度)滿足m=O(k·lgn)，并且矩陣Φ滿足RIP[16]。

然而最小L0范數(shù)問題是一個NP難問題，通常需要對該問題加以轉(zhuǎn)化，如將最小L0范數(shù)問題轉(zhuǎn)化為最小L1范數(shù)問題以方便求解，即

(2)

由于一般的自然信號x本身并不是稀疏的，因此，需要在某種稀疏變換域上對它進行稀疏表示，即x=Ψa，其中，Ψ是稀疏變換矩陣，a是x的稀疏系數(shù)向量，且‖a‖0≤k。這時，CS方程為y=Φx=ΦΨa=Θa，其中，Θ=ΦΨ稱為恢復矩陣。我們需要求解如下問題

(3)

在實際測量過程中，不可避免地會引入噪聲，即y=Φx+n，于是優(yōu)化求解問題變?yōu)?/p>

(4)

1.2CS-DOA估計模型

在CS理論框架下研究DOA估計問題，需要對輻射源信號進行稀疏化表示以滿足CS理論的前提條件。顯然，輻射源信號是自然的空間稀疏信號，采用某種空間網(wǎng)格劃分可以實現(xiàn)其稀疏性表示，從而將信號與其空間位置實現(xiàn)一一對應，為從信號重構(gòu)的角度實現(xiàn)DOA估計提供了依據(jù)。這里我們主要討論利用陣列單快拍接收數(shù)據(jù)實現(xiàn)CS-DOA估計的問題模型。

設K個遠場窄帶信號入射到空間某均勻線性天線陣列上，其中，陣列由M個陣元組成，于是該陣列在t時刻接收信號的數(shù)學模型為

y(t)=Ax(t)+n(t)

(5)

其中，M×K階陣列流形矩陣A為

A=[a1(ω0)a2(ω0)…ak(ω0)]

(6)

導向矢量aq(ω0)(q=1,2,…,K)為

(7)

由此可見，陣列流形矩陣A的每一列對應了一個輻射源信號的空間位置，即陣列流形矩陣包含了輻射源信號的方位信息。

圖1　輻射源信號的空域稀疏化表示

將輻射源信號所在空間按方位角劃分為{θ1,θ2,…,θN}，并假設每一個方位角都對應一個潛在輻射源信號xn(n=1,2,…,N )，如圖1所示。圖中，“●”表示實際存在的輻射源，“○”表示實際不存在的輻射源。由輻射源信號的空域稀疏性可知，潛在的輻射源個數(shù)比實際存在的輻射源個數(shù)大得多，即N>>K。這樣就構(gòu)造了一個N×1階稀疏信號x，且x中只有K個位置有非零元素。于是，DOA估計模型轉(zhuǎn)化為

y=Ax+n

(8)

式中：y為某時刻陣列接收的M×1階信號；x為包含實際輻射源信號的N×1階稀疏信號；A為信號稀疏化表示后對應的M×N階陣列流形矩陣，其結(jié)構(gòu)只與布陣規(guī)則和空域稀疏化方式有關(guān)，而n則代表陣列接收的噪聲信號。

利用CS理論來解決DOA估計問題，本質(zhì)上就是由已知的陣列接收信號y和陣列流形矩陣A來重構(gòu)稀疏信號x，進而根據(jù)x與θ的一一對應關(guān)系就能得到輻射源信號的DOA估計。因此，CS-DOA估計問題即轉(zhuǎn)化為求解如下最優(yōu)化問題

(9)

式中：ε為噪聲功率估計值。

至此，我們已經(jīng)建立了CS-DOA估計模型。根據(jù)以上問題描述可知，陣列流形矩陣A相當于CS理論中的觀測矩陣Φ。因此，為了精確重構(gòu)輻射源信號并得到準確的DOA估計，矩陣A需要具備較好的RIP特性。

2　觀測矩陣性能分析

由于文獻[15]已經(jīng)證明，基于等正弦空間稀疏化方式得到的陣列流形矩陣具有比等角度劃分產(chǎn)生的陣列流形矩陣更優(yōu)越的稀疏重構(gòu)性能，因此，我們后面的分析都只考慮基于等正弦空間稀疏化方式得到的陣列流形矩陣。

(10)

隨機稀布陣與均勻線陣的區(qū)別在于其陣元間距不相等，因此，隨機稀布陣的陣列流形矩陣可視為均勻線陣的陣列流形矩陣的行隨機抽取子陣。

在CS理論框架下，觀測矩陣需要滿足的稀疏重構(gòu)條件是RIP準則。從幾何角度來講，RIP準則的要求是待重構(gòu)的稀疏信號在觀測矩陣Φ的作用下必須保持幾何性質(zhì)相一致，即必須保證Φ不會把兩個不同的k-稀疏信號投影到同一個采樣集合中。然而在實際應用中，判定一個給定的矩陣是否滿足RIP是一個NP難問題。因此，一般采用另一個與RIP等價的稀疏重構(gòu)條件作為判定準則，即：觀測矩陣任意兩列之間的相關(guān)性越小，其稀疏重構(gòu)性能越強。

定義1[1]：將M×N階觀測矩陣Φ表示為Φ=[Φ1,Φ2,…,ΦN]，Φi為Φ的第i列，i=1,2,…,N，則矩陣Φ的相關(guān)性定義為

(11)

為便于理論分析，這里給出一定條件下均勻線陣與隨機稀布陣的相關(guān)性數(shù)值對比結(jié)果，如圖2所示。取M=32，N=401，根據(jù)式(10)可得均勻線陣的32×401階陣列流形矩陣A。為了保證隨機稀布陣與均勻線陣的陣列流形矩陣階數(shù)相等，隨機稀布陣的陣列流形矩陣B為200×401階均勻線陣陣列流形矩陣的32×401階行隨機抽取子陣。

圖2　兩種觀測矩陣的相關(guān)性對比

從圖中可以獲得兩點信息：(1)由式(11)可知，μ(A)=0.99，μ(B)=0.83，所以μ(B)<μ(A)，即隨機稀布陣的相關(guān)性比均勻線陣的相關(guān)性小，反映出隨機稀布陣的RIP特性優(yōu)于均勻線陣；(2)對比兩條曲線在0°附近的主瓣3 dB寬度可知，均勻線陣的空間角分辨率約為6°，而隨機稀布陣的空間角分辨率約為1.2°。

由此我們可以得到一個結(jié)論：隨機稀布陣的DOA估計性能優(yōu)于均勻線陣。下面的仿真實驗將驗證這一點。

3　仿真實驗結(jié)果

仿真實驗將從多個方面比較隨機稀布陣與均勻線陣的DOA估計性能，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤(OMP)算法?；緟?shù)設置如下：M×N階觀測矩陣中N=401，即將角度空間按等正弦劃分為401個格點；隨機稀布陣構(gòu)建的觀測矩陣為200×401階均勻線陣觀測矩陣的M×401階行隨機抽取子陣；輻射源信號個數(shù)為3，且幅度均為1。

實驗1：不同陣元數(shù)M對DOA估計性能的影響。

本實驗中，設置陣元數(shù)M=15,16,…,50，輻射源信號的方位角分別為-8°, 0°, 8°，信噪比為10 dB。對于每個設定的M，分別進行100次仿真實驗，并統(tǒng)計DOA準確估計概率。如圖3所示，隨著陣元數(shù)M的逐漸增加，兩種觀測矩陣的DOA估計性能都逐漸提高，且隨機稀布陣的DOA估計性能明顯優(yōu)于均勻線陣。在陣元數(shù)較少(M在30左右)時，均勻線陣無法實現(xiàn)準確的DOA估計，而隨機稀布陣仍能保持較高的DOA準確估計概率(超過90%)。

實驗2：不同信噪比對DOA估計性能的影響。

本實驗中，設置陣元數(shù)M=45，輻射源信號的方位角分別為-8°, 0°, 8°，信噪比為5 dB～25 dB。對于每個設定的信噪比，分別進行100次仿真實驗，并統(tǒng)計DOA準確估計概率。如圖4所示，隨著信噪比的逐漸提高，兩種觀測矩陣的DOA估計性能都逐漸提高，且隨機稀布陣的DOA估計性能明顯優(yōu)于均勻線陣。在信噪比較低(5 dB左右)時，均勻線陣較難實現(xiàn)準確的DOA估計，而隨機稀布陣仍能保持較高的DOA準確估計概率(超過90%)。

圖3　不同陣元數(shù)M下DOA準確估計概率

圖4　不同信噪比下DOA準確估計概率

實驗3：不同方位角間隔對DOA估計性能的影響。

本實驗中，設置陣元數(shù)M=32，輻射源信號的方位角間隔為0°∶10°，信噪比為15 dB。對于每個設定的方位角間隔，分別進行100次仿真實驗，并統(tǒng)計DOA準確估計概率。如圖5所示，隨著方位角間隔的逐漸增大，兩種觀測矩陣的DOA估計性能都逐漸提高，且隨機稀布陣的DOA估計性能明顯優(yōu)于均勻線陣。在方位角間隔較小(1.2°左右)時，均勻線陣無法實現(xiàn)準確的DOA估計，而隨機稀布陣仍能保持較高的DOA準確估計概率(超過90%)。本實驗也驗證了圖2所示的兩種觀測矩陣的空間角分辨能力，且說明基于隨機稀布陣的DOA估計具有更強的魯棒性。

圖5　不同方位角間隔下DOA準確估計概率

通過以上各組實驗結(jié)果對比可知，基于隨機稀布陣構(gòu)建的觀測矩陣的DOA估計性能明顯優(yōu)于均勻線陣，而且在陣列的設計實現(xiàn)上具有更大自由度，具有更加優(yōu)越的抗噪性和更高的空間角分辨能力。

4　結(jié)束語

本文針對CS-DOA估計中的觀測矩陣構(gòu)建問題，從觀測矩陣相關(guān)性和空間角分辨能力兩方面，對比分析了均勻線陣與隨機稀布陣兩種陣列流形的稀疏重構(gòu)性能，分析結(jié)果表明在實際應用中基于隨機稀布陣構(gòu)建的觀測矩陣性能更優(yōu)，其RIP特性更好。仿真實驗從多個方面比較了兩種觀測矩陣的DOA估計性能，驗證了隨機稀布陣性能的優(yōu)越性，能保證DOA估計的準確性和魯棒性，且在不增加陣元數(shù)的前提下，能有效提高陣列的空間角分辨率。

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孫晶明男，1984年生，博士，工程師。研究方向為壓縮感知，雷達成像與目標識別，雷達信號處理。

Performance Analysis of Measurement Matrices in CS-DOA Estimation

SUN Jingming1,2

(1. Key Laboratory of Intelli Sense Technology, CETC, Nanjing 210039, China)(2. Nanjing Research Institute of Electronics Technology,Nanjing 210039, China)

The method of direction-of-arrival (DOA) estimation of array signals based on compressed sensing (CS) theory has advantages such as fewer snapshots requirement and the capacity of dealing with the coherent sources. One of the key issues of CS-DOA estimation is to construct an appropriate measurement matrix. A comparative analysis about the sparse recovery performance of two kinds of array manifold named uniform linear arrays and random thinning arrays is provided in this paper, and the analysis result shows that the performance of measurement matrices constructed by random thinning arrays is better in practical applications. Finally, in the simulation experiments the DOA estimation performance of the two kinds of measurement matrices is compared from three respects, and the advantage of the performance of random thinning arrays is verified that without increasing the number of array elements, random thinning arrays can improve the spatial angular resolution effectively.

compressed sensing; direction-of-arrival estimation; measurement matrices; random thinning arrays

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.09.010

孫晶明Email：sjm@hust.edu.cn

2016-04-26

2016-06-28

TP971.1

A

1004-7859(2016)09-0046-04