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    當(dāng)音樂擁抱數(shù)學(xué)

    2016-11-14 08:05:50王江山
    小演奏家 2016年9期
    關(guān)鍵詞:畢達(dá)哥拉斯音階莫扎特

    王江山

    你可能曾為巴赫鋼琴曲的壯麗而震撼,為肖邦圓舞曲的清新優(yōu)雅而沉醉,為柴可夫斯基樂章的悲壯與深情而感嘆,為貝多芬交響樂的激情澎湃而心旌搖曳。

    你一定也曾驚嘆過數(shù)學(xué)的縝密邏輯,那些巧妙的定理、簡潔或復(fù)雜的公式,其中都揭示著某種深刻的規(guī)律。數(shù)學(xué)如此抽象,有時(shí)候難免讓人產(chǎn)生迷惑,但也激發(fā)出人們一探究竟的樂趣。

    那么,充滿激情和幻想的音樂與強(qiáng)調(diào)理性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)之間有什么關(guān)系呢?音樂中是否蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí),音樂的和諧柔美是否也隱藏著數(shù)學(xué)的奧秘呢?

    畢達(dá)哥拉斯的思考:五度相生律

    “do、 re、mi……”隨著這幾個(gè)簡單的音階,我們開始了人生中的第一堂音樂課。數(shù)字簡譜以1、2、3、4、5、6、7代表音階中的7個(gè)基本音階,讀音為do、re、mi、fa、sol、la、si,休止以0表示。提到數(shù)學(xué)與音樂的關(guān)系,我們所能想到的第一個(gè)有關(guān)音樂與數(shù)學(xué)的結(jié)合,也許就是這7個(gè)基本音階了。你可曾想過,這些音階是按照什么規(guī)律排列的呢?

    讓我們回到2500年前,追隨大名鼎鼎的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的腳步,看看他是怎么解答的吧。

    據(jù)說,畢達(dá)哥拉斯曾在散步時(shí)路過一家鐵匠鋪,鐵匠鋪里傳出的叮叮當(dāng)當(dāng)?shù)那脫袈曃怂淖⒁?。他走進(jìn)去,發(fā)現(xiàn)這些美妙的聲音源于鐵錘和鐵砧的大小不一,故而發(fā)出的聲音也不同,這激發(fā)了他的思考:這些聲音的和諧與什么有關(guān)呢?

    眾所周知,畢達(dá)哥拉斯開創(chuàng)了自己的數(shù)學(xué)學(xué)派,該學(xué)派信奉數(shù)是萬物的起源,因此宇宙和諧的基礎(chǔ)應(yīng)當(dāng)是完美的數(shù)的比例。而音樂之所以能給人以美的感受,很大程度上是因?yàn)樗兄环N和諧。在這種意識(shí)的啟發(fā)下,畢達(dá)哥拉斯用不同的樂器做了許多實(shí)驗(yàn),進(jìn)而發(fā)現(xiàn)聲音與發(fā)聲體體積有著一定的比例關(guān)系。而后,他又在琴弦上做了試驗(yàn),發(fā)現(xiàn)只要按比例劃分一根振動(dòng)著的弦,就可以產(chǎn)生悅耳的音程,而它們彼此間是存在比例關(guān)系的。

    那么,這個(gè)比例是多少呢?能不能通過數(shù)學(xué)的方法計(jì)算出來呢?畢達(dá)哥拉斯又進(jìn)一步進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過更多的實(shí)驗(yàn)和推算,畢達(dá)哥拉斯終于發(fā)現(xiàn),當(dāng)弦長比分別為2∶1、3∶2、4∶3時(shí),發(fā)出的音律最為和諧,這就是我們后來所使用的五度相生律。

    美的東西總是簡單而和諧的。依據(jù)五度相生律產(chǎn)生的基礎(chǔ)音階構(gòu)成的旋律,按照任意的方式組合,都有各自的美感。而將全部半音階推算出來后,旋律的緊張度和動(dòng)力度會(huì)得到增強(qiáng),更能產(chǎn)生旋律之間動(dòng)態(tài)的美感和張力。所以,自然界需要和諧,音樂也需要和諧。

    中國先賢的探索:三分損益律

    德國著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨曾說過:“音樂是一種無意識(shí)的數(shù)學(xué)演算,是心靈的算術(shù)練習(xí)?!笨梢?,音樂和數(shù)學(xué)是有著內(nèi)在聯(lián)系的。我國古代著名的思想家管仲(管子)也曾認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與音樂的關(guān)系,他不僅是政治家、軍事家和思想家,還有很高的音樂修養(yǎng),被后人稱為我國“音律學(xué)之祖”。

    《管子·地員篇》里曾記載:“凡將起五音,凡首,先主一而三之,四開以合九九,以是生黃鐘小素之首,以成宮。三分而益之以一,為百有八,為徵。不無有三分而去其乘,適足,以是生商。有三分而復(fù)干其所,以是生羽。有三分去其乘,適足,以是成角?!边@篇文章中記載的宮、商、角、徵、羽就是我國古代的五音階。

    那么,管仲又是如何確定宮、商、角、徵、羽這五音階的呢?他首先將一個(gè)弦的長度定為基音,而后將它三等分,增加一份(益一)或去掉一份(損一),就可以定出另一個(gè)音律的長度。以此類推,直到獲得比基音高出一倍或低一半的音,最后就可以得到五音階。這種樂理又被后人稱為“三分損益律”,是我國古代音樂的重要成就,為我國古代音樂發(fā)展史做出了很大的貢獻(xiàn)。

    用這種方法產(chǎn)生的律被稱為“純律”,純律各音之間有最小的整數(shù)比關(guān)系,因此人們覺得純律的音色聽起來最為純凈。如今,純律主要在無伴奏的合唱中使用,人們一般認(rèn)為中國的古琴應(yīng)用了純律。從中我們也可以看出,只有當(dāng)兩音的音程關(guān)系符合泛音列中占優(yōu)勢(shì)的音程關(guān)系時(shí),才會(huì)使人感到音樂的美妙。音樂能夠反映出宇宙本質(zhì)的數(shù)理關(guān)系,還能夠體現(xiàn)出宇宙根本規(guī)律的和諧。

    五度相生律和三分損益律在生律法原則上是一致的,它們生律的結(jié)果也是相同的。由此可見,無論是東方還是西方,先哲們都是從悠揚(yáng)的樂聲中認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)的存在,他們發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律也間接地促進(jìn)了音樂的發(fā)展。

    尋找最美的音符:音樂中的黃金分割

    提到黃金分割,大家都不陌生。0.618這個(gè)奇妙的數(shù)值總令人產(chǎn)生無限的遐想,從貝類動(dòng)物身上的神秘螺線到金字塔的邊線角度,從人體的和諧線條到無機(jī)物質(zhì)的原子排列,這個(gè)神秘的比例在生活中隨處可見。那么,當(dāng)黃金分割理論被應(yīng)用于音樂中,又會(huì)碰撞出怎樣的火花呢?

    許多作曲家有意或無意地把黃金分割理論運(yùn)用到音樂中,這成了他們作品歷久彌新的法寶。許多樂曲都是一段式、二段式、三段式或五段回旋式,而黃金分割比例與音樂中的高潮位置有密切的關(guān)系。例如在《夢(mèng)幻曲》中,全曲共分為6句、24小節(jié),按照黃金分割率計(jì)算的話,高潮將在第14小節(jié)(24×0.618≈14.83)出現(xiàn),而這與實(shí)際情況完全符合。

    更典型的例子是莫扎特的《D大調(diào)奏鳴曲》,它的第一樂章全長160小節(jié),若用小節(jié)數(shù)乘以黃金分割比值,即160×0.618=98.88,而曲子的再現(xiàn)部位恰恰位于第99小節(jié),正好在黃金分割點(diǎn)上。也許是有意為之,也許是天賦的自然流淌,莫扎特的大部分鋼琴曲中都應(yīng)用了這個(gè)方法,以至于有人評(píng)價(jià)他:“我們應(yīng)當(dāng)知道,創(chuàng)作這些不朽作品的莫扎特也是一位喜歡數(shù)字的天才,莫扎特是懂得黃金分割,并有意識(shí)地運(yùn)用它的?!?/p>

    如果大家仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn),許多優(yōu)秀歌曲的高潮部分一般也會(huì)出現(xiàn)在黃金分割點(diǎn)上。這一點(diǎn)不僅在古典音樂中得到充分的展示,在流行歌曲中也可以找到痕跡,許多歌曲的主歌和高潮部分都落在這個(gè)神秘的點(diǎn)上。

    西爾弗斯特曾說過:“難道不可以把音樂描繪成感覺的數(shù)學(xué),而把數(shù)學(xué)描繪成理性的音樂嗎?這樣,音樂家感覺到數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)家想到音樂,每一方都經(jīng)由對(duì)方達(dá)到盡善盡美的境地?!睕]想到吧,音樂與數(shù)學(xué)的結(jié)合竟然如此奇妙,偉大的藝術(shù)中常常棲居著科學(xué)的秘密。

    音樂是人類靈魂的酣暢釋放,是感性思維中最唯美的表達(dá);數(shù)學(xué)是以數(shù)字為基本符號(hào)的排列組合,是理性思維最深刻的表現(xiàn)。然而,在更抽象的層面上,二者之間存在著緊密的聯(lián)系。正如德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨所說:“音樂是數(shù)學(xué)在靈魂中無意識(shí)的運(yùn)算?!币魳氛缬星榫w的數(shù)學(xué),而數(shù)學(xué)就像最純粹的音樂。樂音激蕩,數(shù)字翩躚,音樂與數(shù)學(xué)恰似人類心智開出的兩朵玫瑰。那么,就讓我們沉醉其中,縱情感受它們的魅力吧!

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