艾薩克·巴羅英文版《歐幾里得原本》分析

陳夢鴿，薩日娜

（上海交通大學(xué) 科學(xué)史與科學(xué)文化研究院，上海 200240）

艾薩克·巴羅英文版《歐幾里得原本》分析

陳夢鴿，薩日娜

（上海交通大學(xué) 科學(xué)史與科學(xué)文化研究院，上海 200240）

討論巴羅拉丁文版和英譯本《歐幾里得原本》的底本問題，重點研究英譯版本，明確其具體出處、編寫目的和原因等。主要以巴羅英文版的第一卷為例，詳細分析其中的定義、假定、公理、命題，考察其主要表述方式和編寫特點。研究表明，巴羅在證明過程中的符號化特征明顯，簡潔有力的表達方式，走在同時代數(shù)學(xué)家的前列。

艾薩克·巴羅；《歐幾里得原本》；英譯本；第一卷

艾薩克·牛頓曾說：“如果我看得更遠，是因為我站在巨人的肩膀上?！迸ｎD是科技歷史長河中的巨人，他背后的巨人之一便是他的導(dǎo)師艾薩克·巴羅（Isaac Barrow，1630—1677）。巴羅是多才多藝的學(xué)者，精通希臘語、拉丁語、意大利語、法語等多種語言。他是數(shù)學(xué)家、神學(xué)家、語言學(xué)家，也是著名的教育家，又作為劍橋大學(xué)第一任盧卡斯教授，三一學(xué)院院長而負(fù)有盛名。他被評價為人謙和，曾長期致力于學(xué)校教育。巴羅一生著作豐厚，在數(shù)學(xué)方面主要翻譯《歐幾里得原本》①Euclid’s Elements在中國一般譯為《幾何原本》，這一名詞是來自徐光啟所譯。筆者認(rèn)為《幾何原本》只能代表Euclid’s Elements的中譯本。而本文所研究巴羅英譯本Euclid’s Elements:The Whole Fifteen Books Compendiously Demonstrated如果直接譯成《幾何原本》不妥，這里涉及作者不同，語種不同。因此，本文中筆者都作如上翻譯。（Euclid’s Elements）、《已知數(shù)》（Euclid’s Data），并撰寫《光學(xué)現(xiàn)象講義》（Lectiones Opticorum Phenomenon）、《光學(xué)和幾何學(xué)講義》（Lectiones Optic et Geometric）、《數(shù)學(xué)講義》（Lectiones Mathematic）等著作。

巴羅以Piérre Hérigone翻譯的《歐幾里得幾何學(xué)原本》②在巴羅英譯本前言中，巴羅將其名字寫為“Peter Herigon”，應(yīng)為Piérre Hérigone的英譯名。所根據(jù)的版本應(yīng)是Hérigone所著Cursus Mathematicus中第一卷關(guān)于歐式幾何學(xué)的內(nèi)容。Hérigone版本為拉丁語和法語對照。本文均用其法語名。為底本，于1655年出版自己翻譯的《歐幾里得原本》（Euclid’s Elements:The Whole Fifteen Books Compendiously Demonstrated）的拉丁語譯本；1660年巴羅在自己翻譯的拉丁文本基礎(chǔ)上出版了英語譯本，是《歐幾里得原本》各版本中數(shù)學(xué)符號化的代表之作。巴羅英譯本《歐幾里得原本》在英國作為標(biāo)準(zhǔn)的幾何學(xué)教材長達半世紀(jì)之久。很多人對巴羅《歐幾里得原本》的教育價值也作出了極高的評價。例如，John More爵士認(rèn)為所有Christ’s Hospital的數(shù)學(xué)學(xué)院男生都應(yīng)學(xué)習(xí)巴羅的《歐幾里得原本》［1］43。在該書出版半個世紀(jì)后，John Keill也給予了很高的評價：“（他）保留了歐幾里得的建構(gòu)和證明……他的建構(gòu)更清晰明了，更簡單地呈現(xiàn)出古代幾何學(xué)家復(fù)雜的思想。為了達到這一目的，巴羅增加了一些推論和評注，簡化了后面的一些證明?！保?］43

本文擬以巴羅英譯本《歐幾里得原本》第一卷為例，詳細分析其中的定義、假定、公理、命題、定義、問題等特點。

1　巴羅英文版《歐幾里得原本》的底本、編寫目的

據(jù)巴羅拉丁文版《歐幾里得原本》扉頁所寫，1655年出版的拉丁語版是獻給三位當(dāng)時在校學(xué)生：Edward Cecil，John Knatchbull和Francis Willughby①參見Isaac Barrow1655年Euclid’s Elementorum Libri XV Breviter Demonstrati扉頁。。巴羅當(dāng)時已經(jīng)在劍橋任教，書籍扉頁上寫著獻給當(dāng)時在校生，有些令人驚奇。不過這也從側(cè)面說明巴羅致力于教育，對學(xué)生無私奉獻的品質(zhì)。兩年后（1657年），出版商將巴羅編寫的歐氏《已知數(shù)》與其《歐幾里得原本》一同出版，此后這兩本冊子都在一起出版。本篇文章所討論的版本是1660年出版的巴羅英文版《歐幾里得原本》。巴羅版《歐幾里得原本》借鑒了法國學(xué)者André Tacquet編寫的八卷本《平面幾何與立體幾何原論》（Elementa Geometriae Planae et Solidae）中的一些內(nèi)容，沿用了法國數(shù)學(xué)家Piérre Hérigone所編寫的歐式幾何學(xué)中的體例、命題順序等［2］序言。這里會產(chǎn)生一個問題：在巴羅之前，拉丁語、希臘語各類版本的歐式幾何學(xué)比比皆是，如克拉維烏斯（Clavieus）1574年第一版發(fā)行的歐式幾何學(xué)曾被T L Heath評價為“非常有用的著作”［3］105，康曼迪諾（Comandinus）1572年版也被T L Heath認(rèn)為是“最重要的拉丁語譯本”［3］104。為什么熟知拉丁語的巴羅沒有進行現(xiàn)在所謂的“大眾化”的選擇而是采用了比較“小眾”②此處筆者對“大眾”和“小眾”的區(qū)分主要根據(jù)Heath版Euclid’s Elements前言部分對各版本的評價。對于巴羅所采用的兩個版本，Heath評論極少；但對克拉維烏斯以及康曼迪諾本則有很詳細的分析。很多西方版本也均是根據(jù)這兩個版本編譯。的版本呢？解答這一問題，要了解巴羅編寫歐式幾何學(xué)的動機和目的以及André Tacquet與Piérre Hérigone兩個版本的特點。

首先，André Tacquet的歐式幾何學(xué)內(nèi)容（Elementa geometriae planae et solidae）是作為學(xué)校里的教科書供教學(xué)使用。但只有8卷，并未涉及較難的章節(jié)以及數(shù)論部分。盡管巴羅很贊賞Tacquet編寫的內(nèi)容，但認(rèn)為這8卷并不能滿足英國一些知識分子的需求［2］序言。所以巴羅編寫《歐幾里得原本》的動機可能認(rèn)為Tacquet本過于簡略，想對其進行補充，并沿用其中清晰明了的證明方式完整地展現(xiàn)歐氏幾何學(xué)中的論證技巧和步驟。這正是當(dāng)時西方發(fā)行的各版本歐式幾何學(xué)中所缺的元素。雖然巴羅之前有完整的15卷本，但都會附有大量的評注和論述；簡單明了的版本則內(nèi)容不全。巴羅的版本涵蓋了整個15卷但只有350頁，便于閱讀攜帶。這也說明了巴羅版歐式幾何學(xué)已出版就十分暢銷［1］43的原因。

那么，為什么巴羅不重新編纂一本歐氏幾何學(xué)教科書，而是沿用Piérre Hérigone的體例呢？其一，該書成于巴羅1655年歐洲游學(xué)前夕，巴羅沒有足夠的時間自己重新寫一個新的版本。因此選擇了Hérigone在其Cursus Mathematica中第一卷歐式幾何學(xué)的內(nèi)容作為版本進行改寫［2］序言。其二，將數(shù)學(xué)邏輯證明符號化正契合巴羅的想法。巴羅編寫此書的目的是為了“幫助讀者的學(xué)習(xí)”［2］序言，這一點從巴羅歐式幾何學(xué)拉丁語版的扉頁中可以了解。這是獻給三位在校年輕學(xué)生的一本著作，因此內(nèi)容簡潔易懂是他撰寫的目標(biāo)之一。而符號化則是有力的工具。同時，巴羅對前人的版本也不是特別滿意。他認(rèn)為前人版本中純語言敘述使命題累贅繁復(fù)，命題之間的相互關(guān)系不明了。證明中諸如連詞和形容詞的缺失也會引起很多誤解和難題［2］序言。符號與語言相結(jié)合可以解決這一問題。在巴羅那個時代“（目前為止），只有Piérre Hérigone用這種方式（符號化）來闡釋歐式幾何學(xué)?！保?］序言同時，Hérigone在歐式幾何學(xué)的第一卷命題1后面有大篇幅的關(guān)于證明過程三段論的探討與分析，而在巴羅本中只有關(guān)于數(shù)學(xué)知識的探討證明。此外，巴羅本中采用的符號大多數(shù)來自英國數(shù)學(xué)家 William Oughtred，因為在當(dāng)時的英國，Oughtred的符號已被大多數(shù)人接受。因此不難看出，巴羅編寫的目的就是方便讀者學(xué)習(xí)掌握歐式幾何學(xué)的知識。正如Hérigone認(rèn)為，教授數(shù)學(xué)的最好方法就是將簡單明了與易于掌握相結(jié)合［4］153-193。

因此可以說巴羅編寫《歐幾里得原本》時參考的底本主要是由于巴羅自身對書籍的定位，編書目的以及對數(shù)學(xué)的理解決定的。

2　巴羅英譯本《歐幾里得原本》第一卷分析

巴羅的英文版《歐幾里得原本》只有350頁，卻涵蓋了歐式原本15卷的所有命題①巴羅在前言中敘述到，因為歐幾里得是柏拉圖學(xué)派代表，后兩卷關(guān)于五個常規(guī)立體圖形的定理應(yīng)為歐氏所作，不應(yīng)省略。，與同類的英文版歐氏幾何學(xué)著作相比，如比林斯利（H Billingysly）1570年版本（500頁左右）、希思（T L Heath）13卷本，可以說內(nèi)容簡潔明了，非常清晰地展現(xiàn)出古人的數(shù)學(xué)論證方法和技巧。

由于T L Heath版《歐幾里得原本》被學(xué)者認(rèn)為是最接近歐幾里得原著的版本，也是近代西方各版《歐幾里得原本》中比較權(quán)威的版本。因此本節(jié)將以第一卷為例，以Piérre Hérigone版及T L Heath版為參照，詳細分析其中的定義、公理、公設(shè)、命題、推論、評注等，揭示巴羅英譯本《原本》的特點。

2.1巴羅英譯本《歐幾里得原本》第一卷概況

巴羅英譯本大部分都根據(jù)Piérre Hérigone的Cursus Mathematicus一書中第一卷里有關(guān)歐式幾何學(xué)的內(nèi)容編寫。大部分證明方法都是遵照歐幾里得原本的做法，但在第2、7、8、9、13卷，巴羅對有些命題進行了改動。他認(rèn)為一些改動可以讓證明更方便簡潔［2］序言。

巴羅英譯本第一卷共包含36條定義，3條公設(shè)，20條公理，以及48條命題。本卷主要研究一些直線圖形的相關(guān)定理，如三角形、平行四邊形等。這些是最基本的圖形，因此放在《歐幾里得原本》的第一章。命題中運用了歸謬、反證、綜合等方法討論3個方面的內(nèi)容：（1）建構(gòu)三角形，研究三角形角、邊的特殊性質(zhì)，比較三角形之間的關(guān)系；（2）研究有關(guān)平行四邊形的相關(guān)定理，并由平行線的特殊性質(zhì)得出構(gòu)造平行四邊形的方法，進一步揭示平行四邊形的性質(zhì)；（3）研究三角形與平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)以及相互關(guān)系。

僅第一卷來說，與Piérre Hérigone版比對，筆者發(fā)現(xiàn)把巴羅本命題里的證明方法都沒有改動，但調(diào)整了Hérigone對某些命題評注和推論的順序，使論證更具有邏輯上的銜接性；刪減了一些簡單或者關(guān)聯(lián)不密切的評注和推論；拓展和增加了自己的觀點和理論，并在有些命題后面增加了對相應(yīng)定理的應(yīng)用題。筆者將在下面章節(jié)進行詳細分析。

2.2巴羅英譯本《歐幾里得原本》第一卷定義、公理、公設(shè)特點分析

2.2.1定義特點分析

首先，巴羅定義雖然數(shù)量較多，但所占篇幅很小，省略了大量有關(guān)亞里士多德邏輯學(xué)上對各個范疇的定義評注。筆者認(rèn)為這一特點十分有利于讀者對數(shù)學(xué)知識的掌握。無論是比林斯利譯本，還是T L Heath譯本，或者是以簡潔符號著稱的Hérigone都包含了有關(guān)某些定義的大量評注和補充，如Piérre Hérigone就對點、線等作出詳細評述。由此看來，巴羅在編寫此書時似乎更注重數(shù)學(xué)知識的運用而非純邏輯上的演繹和論述。

其次，除了一些基本定義，如點、線、面，對于其他一些較復(fù)雜的延伸概念，巴羅大部分沿用了Piérre Hérigone的體例，在定義后，配圖舉例及說明。如，在第一卷定義23中，巴羅在文字描述旁：“Of trilateral figures，that is an Equilateral Triangle，which hath three equal sides；such as Triangle A（等邊三角形是三邊相等的三角形；如三角形A）”附圖1。

圖1　定義23配圖

同時，巴羅在某些定義敘述中也糅合了符號表示，與純文字?jǐn)⑹鱿啾仁秩菀桌斫狻Ｈ珀P(guān)于垂線的定義10：“When a right line CG Standing upon a right line AB，makes the angles on either side thereof，CGA，CGB，equall one to the other，then both those equall angles are right angles；and the right line CG，which standeth on the other，is termed a Perpendicularto that（AB）whereon it standeth.（當(dāng)直線CG在直線AB上，使所成相鄰角，CGA、CGB相等，則兩角為直角；當(dāng)直線CG在另一直線上時，CG稱為這條直線（AB）的垂線）”并配圖2。

圖2　定義10配圖

同時，巴羅英譯本在下定義時還有一個特點，就是所定義的術(shù)語巴羅通常會用兩個同義詞表示，一般為拉丁語術(shù)語與通俗英語表達方式相結(jié)合。如定義31：“A rhombus，or diamond figure，is that which hath four equall sides，but is not right-angled.”［2］3再如定 義 33：“All other quadrilateral figures besides these（those that have been mentioned above）are called Trapezia or Tables.”［2］4這種方式至少在Heath版中沒有出現(xiàn)過，而Hérigone版本也只出現(xiàn)過一兩個。筆者認(rèn)為，巴羅這種敘述名詞的方式十分便于理解，初學(xué)者不需耗費大量精力去記住一些專有名詞。

最后，筆者擬從內(nèi)容上談?wù)劦谝痪矶x中巴羅自己的特色。第一，在銳角三角形定義之后，即定義28后，巴羅補充了兩個相近的概念，即等邊或等角圖形（equiangular or equilateral figure）及兩個圖形對應(yīng)角或邊相等。（two figures are equiangular or equilateral）。這一補充在Hérigone版里是沒有的，但確實為后面命題的理解掃清了障礙。但為何沒有獨立成為一條定義呢？在筆者看來，可能是因為此處為巴羅自行添加，但單獨成定義與整體又格格不入。定義中還有一處雖為下定義卻未單獨列出。即關(guān)于問題（Problem），定理（Ttheorem），引理（Lemma）以及推論（Corolary）的定義。了解這四者之間的異同能幫助讀者更好的了解后面命題的內(nèi)容和證明過程中的邏輯關(guān)系。而同樣的，未能像Hérigone一樣單獨列出定義也可能是因為巴羅編寫此書的目的是重在作為一本幾何學(xué)的教材供大家學(xué)習(xí)，而非一般邏輯學(xué)的書籍。

總而言之，巴羅的定義部分結(jié)合了文字?jǐn)⑹?，圖形示例以及符號表述，通俗易懂地介紹了各種結(jié)合學(xué)中基本概念，并對一些后面可能出現(xiàn)的模糊概念作出明確。

2.2.2公設(shè)和公理特點分析

Heath版本公設(shè)（Postulates）和公理（Axioms）各5條；Hérigone版本公設(shè)4條，公理20條，且大部分公理仍會延伸出很多小公理，這些小公理是綜合之前的公理推導(dǎo)出來的。如：在Hérigone的第12條公理中就包含一條小公理。原公理是：“兩個直角相等”［5］29，而延伸的小公理為：“若三只角兩兩相等，若其中一個為直角，剩下兩個都為直角?！保?］30同時，他的每條公理公設(shè)都配有圖示和符號表述。巴羅版則大體根據(jù)Hérigone版本編寫，但有些不同，公設(shè)只有前三條，公理20條。那么巴羅為什么沒有將Hérigone的第四條公設(shè)納入其中，為什么將Proclus的“Commentary on the First Book of Euclid’s Elements”中公設(shè)4和公設(shè)5列入公理12、公理13呢？可以肯定地說巴羅一定認(rèn)真研讀過Proclus的評論，因為卷一命題2中巴羅提到了有關(guān)Proclus的觀點。首先要了解一下公理和公設(shè)的區(qū)別。西方古代學(xué)者對公理和公設(shè)的卻總體來說有3類。

一類是Proclus對公理和公設(shè)的區(qū)分。Proclus認(rèn)為公理和公設(shè)的區(qū)別猶如定理與問題的區(qū)分。定理中我們可以提前得到結(jié)論，而問題則讓我們?nèi)フ业浇Y(jié)論或者去做某項工作。同樣地，公理是不證自明的，根據(jù)我們的常識很容易理解，闡述某些必要的性質(zhì)；而公設(shè)雖然也很容易理解，不需要復(fù)雜的手段，但需要我們找到某個主題（subject-matter），展示一個簡單的性質(zhì)［6］178-179。

第二類認(rèn)為公設(shè)僅用于幾何學(xué)，而公理對所有研究量和數(shù)的學(xué)科都有用［6］182。

第三類則是以亞里士多德為代表，認(rèn)為公理不可證明，且對學(xué)習(xí)任何事物都十分必要；公設(shè)則是可以得到證明的，但無論學(xué)習(xí)者接受同意與否都要接受的條件。

從這3個觀點來看，巴羅英譯本只包括三條公設(shè)，分別是“過兩點作一條直線”，“連續(xù)延長有限直線”以及“由任意圓心和半徑長度作圓”［2］6。而將“所有直角都相等”以及“同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于180°，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)一定相交?！保?］7列入公理。由此看來，巴羅更贊同Proclus對公理公設(shè)的劃分。當(dāng)然，Hérigone的公設(shè)4“給定一個數(shù)，可以取比它大的數(shù)或更小的數(shù)。”［5］51也沒有出現(xiàn)在巴羅版的公設(shè)和公理中。按照Proclus的標(biāo)準(zhǔn)這顯然不在公設(shè)之列。

與Hérigone不同，巴羅的公理都是文字表述，基本沒有符號語言的轉(zhuǎn)述（除了較復(fù)雜的公理13）。這也從側(cè)面證明巴羅認(rèn)同公理都是一些顯而易見，不證自明的定理。另外，巴羅還省略了Hérigone的21條公理，A即不大于B也不小于B則A=B。

2.2.3命題特點分析

巴羅英譯本《歐幾里得原本》一共有48道命題，其中包括兩條延伸定理以及將三個對之前定理實際應(yīng)用的求作。下面將詳細分析巴羅英譯本卷一命題的特點。

（1）命題中定理（Theorem）和求作（Problem）的劃分。對于歐式幾何學(xué)中的命題，以思波希波斯（Speusippus）和安菲諾莫斯（Amphinomus）為代表的先哲，將它們?nèi)伎醋魇嵌ɡ恚聿糠忠蚤T奈赫莫斯學(xué)派為代表的數(shù)學(xué)家則認(rèn)為命題都可以看作是求作［3］125。而Proclus認(rèn)為歐式幾何學(xué)中的命題有定理和求作之分。他認(rèn)為定理就是呈現(xiàn)必要的屬性；而求作則包括圖形的刪減則增添，產(chǎn)生或者分割［7］77。Hérigone的Cursus Mathematicus是拉丁語和法語對照。筆者發(fā)現(xiàn)，Hérigone在其拉丁語版本中對命題是屬于求作還是定理有詳細的劃分；但在法語版中卻沒有任何明顯劃分，統(tǒng)一稱作命題（Proposition）。巴羅雖然在命題命名上沒有區(qū)分定理和求作，但是在每道命題結(jié)尾都給出了詳細的區(qū)分。求作的結(jié)論都為：“which/what is to be done.”定理的結(jié)論都寫作：“which/what is to be Dem.”這就說明巴羅其實很贊同Proclus對命題的區(qū)分。而上述兩句也正是Proclus對求作和定理區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)［7］178-179。據(jù)此，卷一中的命題屬于求作的有14條，屬于定理的有34條。巴羅沒有采納Hérigone拉丁語版分開編寫求作和定理的體例，筆者認(rèn)為巴羅可能是擔(dān)心不同編號混淆層級關(guān)系。因為巴羅在某些命題下延伸出自己的求作和定理。并用Problem和Theorem命名。

（2）命題結(jié)構(gòu)特點分析。Proclus認(rèn)為所有的命題（包括定理和求作）都可以分為6個部分：題述（Enunciation），題例（Setting-out），所求（Definition），構(gòu)圖（Construction），證明（Proof）以及結(jié)論（Conclusion）?！邦}述陳述了已知條件和所要求的解；題例則單獨列出已知條件，并加以修改用于后面的證明；求解則清楚明白地陳述所要證明的事物或要求作的事物；構(gòu)圖則是為了求解而需要的圖形或已知數(shù)；證明是從已知的事實科學(xué)推導(dǎo)出一些結(jié)論；結(jié)論則是對題述的重申?！保?］225

Hérigone版中命題形式完全符合此六分法。只是除了題述為文字表述外，其余5部分全都是由符號化的語言表述。現(xiàn)以命題1為例（如表1）。

由此可見，雖然巴羅聲稱大部分沿用Hérigone的體例，但在命題表述方面卻沒有如此清晰地六部分劃分，而是將題述、題例和所求3部分用語言和符號糅合在一起。

巴羅這種將圖形、符號、語言糅合在一起直接形成一個命題形式，十分簡潔有力，省去了過多重復(fù)的贅述，又能使讀者結(jié)合圖示立刻理解要求證明的已知量和所求量，十分利于讀者學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)知識。但巴羅對每一題的結(jié)論可以說是做到了Proclus所說的結(jié)論的兩重性，即Proclus認(rèn)為結(jié)論一是題例中具體的結(jié)論，二是普遍性的結(jié)論，是特殊到普遍的一種過渡。Hérigone版里沒有明顯體現(xiàn)出這種特殊到普遍的過渡，但巴羅英譯本卻對此有所強調(diào)。再以上述命題1為例，經(jīng)過證明得出結(jié)論三角形ACB為等邊三角形，這是題例中的小結(jié)論。隨后的“which is to be done”則是一種普遍性的結(jié)論。

（3）命題內(nèi)容分析。巴羅命題內(nèi)容有如下特點：

第一，巴羅不僅在題目敘述上采用符號與語言相結(jié)合的簡潔方式，其構(gòu)圖，證明的過程也采用此種方式，證明過程也十分簡單，多用連詞等，形成連貫的思維，便于理解。同時，較之于Heath版本繁瑣的語言贅述，和Hérigone全符號表達式的證明過程，巴羅版則處于中間狀態(tài)，既簡潔又保證了思維的連貫性，十分容易理解。

表1　巴羅版、Hérigone版、Heath版命題各部分對比

第二，巴羅英譯本《歐幾里得原本》可以說只關(guān)心數(shù)學(xué)問題，對于形式邏輯則沒有絲毫涉及。如在Hérigone版命題1后有很長篇幅的評注，是Hérigone關(guān)于歐式幾何證明過程對三段論應(yīng)用的分析。而巴羅在命題1后的評注則是提及命題1的作圖方法也可以做出等腰三角形。相當(dāng)于利于歸約法推及到更廣的方面。

第三，巴羅似乎更注重命題內(nèi)容的深化，注重數(shù)學(xué)知識的拓展。這一點首先體現(xiàn)在巴羅在命題32后增加了兩條延伸定理。定理一是關(guān)于多邊形內(nèi)角和，來自與Herigone的評注2，而省略了Hérigone第一條關(guān)于多邊形邊數(shù)和所能劃分成三角形個數(shù)關(guān)系的評注。自行增加了定理二，證明所有圖形外角和為360°?？赡馨土_認(rèn)為Hérigone原來的評注一有些累贅，而進一步由多邊形內(nèi)角和求得外角和的定理。同時，在命題35后（要求證明兩平行線內(nèi)同底的長方形和平行四邊形面積相等），巴羅增加了自己的評注。通過移動和分割的思想得出長方形的面積公式并進一步推出平行四邊形的面積公式。這種思想可以說是有一點微積分的雛形。而這一評注也是對原命題的深化，而在命題47（關(guān)于畢達哥拉斯定理的證明）后提出3個求作，分別是求平方和線段，平方差線段和直角三角形的斜邊。闡釋命題應(yīng)用的方法，很有啟發(fā)意義。定理或求作不只是單純的證明，更是要對定理的應(yīng)用。再如，命題41（關(guān)于三角形面積與同底同高的平行四邊形面積關(guān)系）后，巴羅進一步深化知識，具體推出三角形面積公式。其次，巴羅對Hérigone原有的評注、推論和作圖進行取舍，丟棄與命題關(guān)聯(lián)不緊密，或者特別顯而易見的論述，取代為自己的一些拓展。如Hérigone在命題9（求作角平分線）和命題10（求作中線）后各附上了用圓規(guī)作圖的方法，由于二者的作圖方式類似，因此巴羅只在命題10后概括地提及到角平分線和中線可以由圓規(guī)和直尺作圖得到［2］14；卻在命題9后面將作圖方法推及到4等分，8等分角。

同時，巴羅省略了Hérigone一些與本命題不直接相關(guān)的評注，調(diào)整了一些評注和推論的順序，使整個論證邏輯更緊湊嚴(yán)密。如在命題16（三角形任一外角大于相對任一內(nèi)角）后，Hérigone增加了一條關(guān)于直線外一點不可能向該直線作兩條相等線段的命題。但與本命題關(guān)系并不緊密，巴羅刪去。如：命題13（一條直線上的射線與直線形成的兩個角之和為180°），Hérigone只有前兩條推論即關(guān)于命題13中兩個角相互關(guān)系以及若出現(xiàn)多條射線形成多個角之和。而巴羅的后兩條關(guān)于兩條直線相交形成四個角之和與交于一點的多條射線形成的多個角之和［2］16的推論在Hérigone版是放在命題15之后的。命題15是關(guān)于兩相交直線對角相等的定理。顯然作為推論，巴羅的安排更為合適。再如，Hérigone在命題46（給定線段求作正方形）后附加如下評注：證明定理等邊長的正方形面積相等以及面積相等的正方形邊長相等［6］54。而巴羅將此作為延伸定理單獨列在命題48后，因為在命題48的證明過程中會用到這一延伸定理的結(jié)論。

因此，巴羅英譯本《歐幾里得原本》第一卷，從形式上說，命題內(nèi)容上更加簡潔易懂，更注重數(shù)學(xué)知識的拓展應(yīng)用，整個邏輯順序更加嚴(yán)密。

3　結(jié)語

從巴羅英譯《歐幾里得原本》第一卷可以略窺巴羅本的特點，總結(jié)如下：

第一，符號、圖形、語言相結(jié)合，簡潔清楚地展現(xiàn)歐式幾何證明的思路，有利于讀者對數(shù)學(xué)知識的掌握和學(xué)習(xí)。當(dāng)時傳統(tǒng)西方數(shù)學(xué)慣例基本為純語言邏輯演繹，不添加任何符號；也有極少數(shù)數(shù)學(xué)家以“符號化”為代表；但巴羅本在命題證明解說過程中，糅合了符號與語言，在當(dāng)時是不多見的。這種做法更符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)教材的慣例。

第二，注重數(shù)學(xué)知識的深化而非形式邏輯的探討，省去了很多關(guān)于亞里士多德對于定義、范疇、三段論的解析。沒有搜集各類前人的評注，只是增添了某些自己對命題相關(guān)知識的拓展，是一部學(xué)習(xí)初等幾何的優(yōu)秀教材。

總而言之，巴羅的英譯本《歐幾里得原本》具有極高的教學(xué)價值，可以說是當(dāng)時涵蓋命題內(nèi)容較全面又非常簡明的一本幾何學(xué)教材。

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Isaac Barrow’s Euclid’s Elements（English Version）Analyzed

CHEN Mengge，SARina
（School of History and Culture of Science，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

The author discussed the original sources for Isaac Barrow’s Euclid’s Elements（English Version and Latin Version）by clarifying its origins，the motivation of Isaac Barrow and the readers of this book.Then，the paper offered a detailed analysis of the forms and features of the first book through a detailed study of the definitions，postulates，axioms and propositions presented.It can be safely concluded that Barrow’s Euclid’s Elements bears a similar tradition with the modern mathematical textbooks due to its elegant proofs and applications of notations.

Isaac Barrow；Euclid’s Elements；English version；the first volume

N09

A

1672-2914（2016）02-0018-07

2015-11-25

國家社會科學(xué)基金項目（13AZS002）；上海市教委創(chuàng)新項目（14ZS0292012）。

陳夢鴿（1990—），女，安徽巢湖市人，上海交通大學(xué)科學(xué)史與科學(xué)文化研究院碩士研究生，研究方向為早期近代西方數(shù)學(xué)史。

薩日娜，副教授，Email：sarina@sjtu.edu.cn。