基于最大譜的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)數(shù)據(jù)分析處理方法研究

徐俊，傅耘，張建軍，孫建勇，王星皓

（中國(guó)航空綜合技術(shù)研究所，北京 100028）

基于最大譜的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)數(shù)據(jù)分析處理方法研究

徐俊，傅耘，張建軍，孫建勇，王星皓

（中國(guó)航空綜合技術(shù)研究所，北京 100028）

目的 解決非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)無(wú)法采用功率譜密度分析方法的問(wèn)題。方法 基于最小均方誤差準(zhǔn)則，歸納總結(jié)FFT和數(shù)字濾波兩種最大譜分析方法。通過(guò)對(duì)比兩種方法在不同分辨率帶寬時(shí)計(jì)算的優(yōu)缺點(diǎn)，并分析其誤差。對(duì)優(yōu)選出來(lái)的最大譜分析方法進(jìn)行舉例驗(yàn)證。結(jié)果 理論分析和仿真結(jié)果均表明基于比例分辨率帶寬的FFT最大譜分析方法的誤差最小。將FFT最大譜分析方法應(yīng)用于某型炸彈9個(gè)架次自由飛振動(dòng)數(shù)據(jù)的處理和環(huán)境條件確定中，結(jié)果合理有效。結(jié)論 可用比例分辨率帶寬的FFT法分析非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，為基于最大譜制定型號(hào)振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)條件提供指導(dǎo)。

非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)；最大譜； FFT；數(shù)字濾波

近年來(lái)，隨著裝備作戰(zhàn)需求的提高，各個(gè)航空航天型號(hào)所面臨的環(huán)境愈加復(fù)雜多樣，其環(huán)境適應(yīng)性要求也越來(lái)越高，而GJB 150A/899A是基于美國(guó)裝備的特點(diǎn)制訂的標(biāo)準(zhǔn)，不完全適用于國(guó)內(nèi)裝備產(chǎn)品，因而基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)確定環(huán)境條件也顯得愈加重要。對(duì)于運(yùn)載器、火箭、炸彈等裝備在飛行過(guò)程中，經(jīng)歷熱、振和噪聲等綜合環(huán)境尤其復(fù)雜，并且采集到的振動(dòng)樣本少、飛行時(shí)間短、狀態(tài)變化大，主要表現(xiàn)為非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)數(shù)據(jù)。因此，有必要選擇合理的數(shù)據(jù)分析方法對(duì)非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，為振動(dòng)環(huán)境條件確定提供基礎(chǔ)[1—3]。

目前，功率譜密度分析方法是處理平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)數(shù)據(jù)的重要工具，但不適用于非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的處理。對(duì)于非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，大多通過(guò)時(shí)頻分析識(shí)別不同時(shí)刻的不同頻率成分。裝備環(huán)境適應(yīng)性的驗(yàn)證，主要是利用特定量值的等效平穩(wěn)振動(dòng)代替難以復(fù)現(xiàn)的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)進(jìn)行環(huán)境驗(yàn)證試驗(yàn)。因此需要對(duì)現(xiàn)有的時(shí)頻分析算法進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)相關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范和試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的應(yīng)用指南，推薦采用基于短時(shí)傅里葉變換（STFT）的最大譜作為非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)數(shù)據(jù)的主要分析處理方法。國(guó)內(nèi)外關(guān)于最大譜的工程應(yīng)用研究較少，難以指導(dǎo)設(shè)計(jì)和試驗(yàn)人員合理分析非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，并得出正確的環(huán)境條件。

文中首先結(jié)合GJB/Z 222—2005《動(dòng)力學(xué)環(huán)境數(shù)據(jù)采集和分析指南》附錄B[4]中的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)相關(guān)資料，歸納出兩種最大譜分析方法。其次詳細(xì)介紹了這兩種方法的分析流程，給出了最大譜分析方法的工程應(yīng)用建議。最后針對(duì)某型號(hào)炸彈實(shí)測(cè)的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)數(shù)據(jù)，選擇合理的分析方法計(jì)算最大譜，并確定其環(huán)境條件。

1　最大譜分析方法

1.1 分析流程

非平穩(wěn)振動(dòng)的最大譜通常可解釋為設(shè)計(jì)和試驗(yàn)所需要的等效平穩(wěn)載荷自譜，為非平穩(wěn)事件中每個(gè)頻率分辨率帶寬下最大的譜值，因此采用最大譜的均方根值應(yīng)該大于原始信號(hào)的均方根值。主要分析流程如圖1所示，首先剔除非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)中的瞬態(tài)事件；然后確定在最大譜分析過(guò)程中的參數(shù)，即平均時(shí)間T和分析帶寬B；最后根據(jù)選用的最大譜計(jì)算方法計(jì)算自譜，并且通過(guò)平均處理提高統(tǒng)計(jì)精度得到最大譜結(jié)果。

圖1 非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)最大譜分析流程Fig.1 The analysis process of maximum spectral fornonstationary random data

對(duì)于隨機(jī)信號(hào)x(t)的功率譜密度G（f）是x(t)通過(guò)中心頻率為f、分析帶寬為B的窄帶濾波器，當(dāng)B趨于0和平均時(shí)間趨于無(wú)限時(shí)的均方值[5]，數(shù)學(xué)上可表示為：

式中：T為平均時(shí)間；B為分析帶寬；x2(f，t，B)為經(jīng)窄帶濾波器后信號(hào)的瞬時(shí)平方值。

在Bendat和Piersol[6]的論文中已經(jīng)表明，公式(1)在T→∞并且B→0，BT→∞的極限條件下得到了隨機(jī)振動(dòng)的真實(shí)功率譜密度。在現(xiàn)實(shí)中這些極限條件無(wú)法實(shí)現(xiàn)，即對(duì)于一個(gè)實(shí)際的PSD估計(jì)，BT必須是有限的，并且?guī)払為非0，因此實(shí)際的PSD估計(jì)存在隨機(jī)（統(tǒng)計(jì)抽樣）誤差、時(shí)間分辨偏置誤差和頻率分辨偏置（頻域平滑）誤差[7—9]。為了將功率譜密度估計(jì)的總誤差最小化，需要確定最大譜分析的最佳參數(shù)（平均時(shí)間 T和分析帶寬B）。

1.2 參數(shù)確定

在計(jì)算最大譜的過(guò)程中，選取合理的參數(shù)能夠減小功率譜密度估計(jì)的總誤差，主要包括平均時(shí)間和頻率分辨率帶寬的確定。

1.2.1 平均時(shí)間的確定

在整個(gè)非平穩(wěn)事件上，在所要求的頻率分析范圍內(nèi)每一個(gè)分析帶寬上，通過(guò)滑動(dòng)平均計(jì)算時(shí)變自譜[10]。對(duì)所測(cè)的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)，推薦用下列方法選擇譜分析用的固定平均時(shí)間[11]：在用解析法或試湊法計(jì)算振動(dòng)信號(hào)總均方根值時(shí)，對(duì)分段線性平均，近似取最佳平均時(shí)間T0；當(dāng)計(jì)算整個(gè)頻帶的譜時(shí)，平均時(shí)間取2T0。

1.2.2 頻率分辨率帶寬的確定

1) 比例分辨率帶寬。為了使典型運(yùn)載器發(fā)射時(shí)振動(dòng)數(shù)據(jù)譜分析的均方誤差接近最小，相應(yīng)的比例帶寬是1/12倍頻程帶寬（B0=0.058f），而當(dāng)小于43 Hz時(shí)，修正為常帶寬（B0=2.5 Hz）[12]。

2) 固定分辨率帶寬。這種方法實(shí)質(zhì)為常分辨率帶寬，在頻率范圍從20～2000 Hz的譜分析，要達(dá)到可接受的均方誤差，可用表1中三種常帶寬來(lái)實(shí)現(xiàn)[13]。

中心頻率/Hz 　　分析帶寬/Hz 20≤f＜100 　3 100≤f＜400 　10 400≤f≤2000 　30

表1 固定分辨率帶寬

Table 1 Fixed resolution bandwidth

式中：i=0，1，2，…，(n-1)；n為總段數(shù)；M為段長(zhǎng)（每段之間的數(shù)據(jù)值數(shù)目）。

以上兩種分辨率帶寬能夠在一定程度上減小由于分析帶寬無(wú)法趨近于 0而帶來(lái)的頻率分辨偏置誤差。對(duì)于統(tǒng)計(jì)隨機(jī)誤差，則采樣分段線性平均的方法，對(duì)離散時(shí)間序列測(cè)量數(shù)據(jù)x(nΔt)，n=1，2，…，滑動(dòng)平均的等效值可在N個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上(T=N·Δt)用分段的無(wú)加權(quán)（線性的）平均來(lái)計(jì)算[14—15]：

1.3 最大譜計(jì)算方法

基于最小均方誤差準(zhǔn)則，通過(guò)功率譜密度的兩種表示形式，歸納出兩種最大譜分析方法，分別是FFT法和數(shù)字濾波法。

1.3.1 FFT最大譜分析法

非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的時(shí)變自譜可以用 FFT法來(lái)估計(jì)：

式中：E[|X(f,T)|2]為傅里葉變換后平方值的期望。式(5)的計(jì)算框圖如圖2所示。

1.3.1.1 集合平均FFT法

圖2 時(shí)變自譜密度函數(shù)估計(jì)程序(FFT法)Fig.2 Procedure for estimating time-varying autospectral density function (FFT)

計(jì)算振動(dòng)數(shù)據(jù)的自譜最常用的方法是FFT法。其主要思路是將時(shí)域信號(hào)分段，然后分別求各個(gè)子樣本的自譜，最后進(jìn)行平均處理提高精度，如圖 3所示。計(jì)算步驟為：把感興趣的時(shí)間段分隔成 nd個(gè)不相連的數(shù)據(jù)段，每段長(zhǎng)為T(mén)；計(jì)算每段的原始自譜；對(duì)原始譜進(jìn)行集合平均，得到時(shí)間為T(mén)0=ndT的平均自譜。當(dāng)采用滑動(dòng)平均時(shí)，步長(zhǎng)為 0.2ndTs或小于0.2ndN。

圖3 集合平均FFT法Fig.3 The drawing of conventional FFT computation

1.3.1.2 單次FFT法

單次FFT法進(jìn)行譜分析如圖4所示，其主要思路是將整體樣本進(jìn)行單次FFT，然后在頻域上滑動(dòng)平均求自譜。計(jì)算步驟為：將原始信號(hào)進(jìn)行單次FFT變換；在平均時(shí)間為T(mén)上，采用比例分辨率帶寬計(jì)算原始自譜，得到一系列頻率間隔為 Δf=1/T的離散譜分量（該計(jì)算應(yīng)用矩形窗來(lái)完成，不應(yīng)加為抑制旁瓣泄漏的加窗處理）；按要求把相鄰的譜分量一起平均，以得到頻率分辨率帶寬下譜分量的集合平均，它近似于 1/12倍頻程；最后從兩個(gè)或更多個(gè)的搭接段來(lái)計(jì)算頻率平均自譜，每段長(zhǎng)為N·Δt=T

1.3.2 數(shù)字濾波最大譜分析法

非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的時(shí)變自譜可以用濾波法來(lái)估計(jì)：

式中：x2(t,B,f)表示經(jīng)過(guò)中心頻率為f、帶寬為B的窄帶濾波器后的信號(hào)瞬時(shí)平方值。

圖4 單次FFT法Fig.4 The drawing of single FFT computation

式(4)的計(jì)算框圖如圖5所示。

圖5 時(shí)變自譜密度函數(shù)估計(jì)程序(數(shù)字濾波法)Fig.5 Procedure for estimating time-varying autospectral density function (digital filter)

1.3.2.1 時(shí)域?yàn)V波法

使用數(shù)字濾波法進(jìn)行最大譜分析，當(dāng)采用時(shí)域?yàn)V波時(shí)，原始信號(hào)通過(guò)窄帶濾波器后，求其瞬時(shí)平方值，在時(shí)間T上平均，如圖6所示。計(jì)算步驟為：x(t) 通過(guò)中心頻率為f、帶寬為B的時(shí)域帶通濾波器，得到x(f, B, t)；對(duì)時(shí)域?yàn)V波后（采用1/12倍頻程濾波器）的信號(hào)進(jìn)行平方，在時(shí)間T上平均，得到自譜φx(f, B, t)；將自譜除以帶寬B得到Gxx(f,t)。

1.3.2.2 頻域?yàn)V波法

圖6 時(shí)域?yàn)V波法Fig.6 The drawing of time-domain filter

使用頻域數(shù)字濾波法時(shí)，與時(shí)域?yàn)V波不同的是，首先將原始信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換，然后采取頻域?yàn)V波，得到各個(gè)中心頻率上的時(shí)域信號(hào)，如圖7所示。計(jì)算步驟為：將原始信號(hào)進(jìn)行單次FFT變換，在頻域上進(jìn)行濾波，采用固定分辨率帶寬；然后利用傅立葉逆變換得到時(shí)域信號(hào)，在平均時(shí)長(zhǎng)T0上平均；除以帶寬。

圖7 頻域?yàn)V波法Fig.7 The drawing of frequency-domain filter

與 FFT最大譜分析法相比，數(shù)字濾波方法由于濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)不可能是理想的矩形，在分析的過(guò)程中會(huì)額外引入靜態(tài)誤差，而 FFT法則不存在濾波誤差。因此在平均時(shí)間和分析帶寬等參數(shù)相同的條件下，選用 FFT最大譜分析法的誤差會(huì)相對(duì)較小。另外，集合平均 FFT法對(duì)總樣本的時(shí)間進(jìn)行分段，計(jì)算每個(gè)頻率分辨率帶寬下最大的譜值。單次 FFT法則在計(jì)算過(guò)程中丟失了很多時(shí)域上的信息，只是對(duì)分析帶寬內(nèi)的多個(gè)譜值進(jìn)行平均，因此單次 FFT法計(jì)算的最大譜值偏小，而集合平均FFT法的最大譜值更為準(zhǔn)確。

1.4 最大譜分析誤差

在非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)數(shù)據(jù)譜分析中，分辨率帶寬是可選的。在分析中，存在時(shí)間分辨率偏置誤差和隨機(jī)誤差，這些誤差可用下列歸一化形式來(lái)估算。

時(shí)間分辨率偏置誤差：

隨機(jī)誤差：

式中：b[?xx(f,t)]為 ?xx(f,t)估計(jì)的偏置誤差，b[?xx(f,t)]=E[?xx(f,t)]-Gxx(f,t)；σ[?xx(f,t)]為 ?xx(f,t)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差； B為譜估計(jì)的頻率分辨率帶寬；T為譜估計(jì)的時(shí)間分辨率（平均時(shí)間）。

為了評(píng)估最大譜分析過(guò)程中的時(shí)間分辨偏置誤差，選擇式(7)中的 d2[Gxx(f,t)]/dt2的值是非常必要的，而二次求導(dǎo)的值與實(shí)際樣本分析的自譜值密切相關(guān)。在分析樣本相同、平均時(shí)間相同的情況下，各方法計(jì)算的時(shí)間分辨偏置誤差在理論上基本相同。

分析式(6)可知，最大譜分析過(guò)程中的隨機(jī)誤差與平均時(shí)間和分析帶寬相關(guān)，通常各分析方法選取的平均時(shí)間是相同的，因此無(wú)論是 FFT還是數(shù)字濾波最大譜分析方法，隨機(jī)誤差主要與分析帶寬有關(guān)。對(duì)比上述幾種最大譜分析方法的隨機(jī)誤差，其關(guān)系見(jiàn)表2。以中心頻率為橫坐標(biāo)，隨機(jī)誤差為縱坐標(biāo)，繪制比例分辨率帶寬和固定分辨率帶寬下的隨機(jī)誤差如圖所示。

表2 FFT和數(shù)字濾波最大譜分析方法的隨機(jī)誤差對(duì)比Table 2 The comparison of random error for FFT and digital filter maximum spectral

圖8 不同分析帶寬下的隨機(jī)誤差Fig.8 The random error of different bandwidths

通過(guò)對(duì)比分析，當(dāng)各分析方法的平均時(shí)間相同時(shí)，在大部分頻率范圍內(nèi)，比例分辨率帶寬最大譜分析的隨機(jī)誤差較小。

綜上所述，從理論分析的角度判斷可知，選用比例分辨率帶寬的 FFT最大譜分析方法時(shí)，分析過(guò)程中產(chǎn)生的隨機(jī)誤差較小，且其誤差隨中心頻率的增大而不斷減小。

2　仿真實(shí)例

根據(jù)某型號(hào)炸彈在自由飛過(guò)程中采集的振動(dòng)數(shù)據(jù)，結(jié)合其物理飛行過(guò)程，包括點(diǎn)火、舵機(jī)啟控等瞬態(tài)事件，設(shè)計(jì)如下非平穩(wěn)隨機(jī)仿真數(shù)據(jù)，其振動(dòng)曲線如圖所示。由于其中包括瞬態(tài)事件，因此截取30～49 s之間的數(shù)據(jù)進(jìn)行最大譜分析。

圖9 某型炸彈實(shí)測(cè)非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)Fig.9 Non-stationary random data of a certain missile

經(jīng)過(guò)計(jì)算，采用上述的最大譜分析方法進(jìn)行處理，得到各最大譜分析方法計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖和表3。

圖10 各方法計(jì)算得到的最大譜圖Fig.10 The maximum spectrals

表3 各最大譜分析方法計(jì)算結(jié)果Table 3 The results of maximum spectrals computation

在非平穩(wěn)事件期間，每個(gè)頻率上譜密度值達(dá)到最大值時(shí)，它的偏置誤差一般將是最大的，因此在最大譜的每個(gè)頻率上計(jì)算得到的誤差代表著最大誤差。各種方法的時(shí)間偏置誤差和隨機(jī)誤差如圖和圖12所示。

圖11 時(shí)間偏置誤差Fig.11 Time resolution bias error

圖12 隨機(jī)誤差Fig.12 Random error

對(duì)比分析結(jié)果可知：

1) 集合平均FFT法、單次FFT法和數(shù)字濾波法（比例分辨率帶寬）進(jìn)行最大譜分析得到的均方根值較為接近，且隨機(jī)誤差均隨著中心頻率的增大而減小。在100～2000 Hz范圍內(nèi)時(shí)間偏置誤差小于5%；在中心頻率較小時(shí)，時(shí)間偏置誤差和隨機(jī)誤差均較大。

2) 在所有的方法中，單次FFT法的計(jì)算結(jié)果與原始信號(hào)的均方根值最接近，因?yàn)閱未?FFT法進(jìn)行了頻率平均，并不是每個(gè)頻率帶寬下的最大的譜值，因此均方根值與原始信號(hào)最接近。

3) 數(shù)字濾波法中的頻域?yàn)V波計(jì)算的結(jié)果偏差最大，這是由于原始信號(hào)進(jìn)行濾波時(shí)引入了靜態(tài)誤差。

4) 無(wú)論是FFT法還是數(shù)字濾波法，選用固定分辨率帶寬計(jì)算出的最大譜均方根偏大，因?yàn)樵谄骄鶗r(shí)間相同時(shí)，固定分辨率帶寬引入了更大的隨機(jī)誤差。

5) 通過(guò)對(duì)比時(shí)間偏置誤差和隨機(jī)誤差的大小，隨機(jī)誤差普遍較大，是仿真實(shí)例最大譜計(jì)算總誤差的主要組成部分。

綜上所述，通過(guò)仿真分析，各種最大譜分析方法的誤差與理論分析一致，推薦在工程應(yīng)用中選用FFT比例分辨率帶寬的最大譜分析方法。

3　應(yīng)用舉例

針對(duì)某型炸彈自由飛過(guò)程，共實(shí)測(cè)9個(gè)架次的數(shù)據(jù)，選用基于 FFT比例分辨率帶寬的最大譜分析方法進(jìn)行計(jì)算，并確定其環(huán)境試驗(yàn)條件。選取該型炸彈所有實(shí)測(cè)架次的后艙段y向?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)，分別計(jì)算其最大譜并取包絡(luò)，得到最終的試驗(yàn)規(guī)范譜如圖所示。

圖13 后艙段y向規(guī)范譜Fig.13 Normalized spectral of rear section in y

考慮到外場(chǎng)實(shí)測(cè)與實(shí)驗(yàn)室模擬試驗(yàn)的差別，以及實(shí)測(cè)型號(hào)的樣本數(shù)量有限，分別在實(shí)測(cè)規(guī)范譜譜型上乘以載荷分散系數(shù)1.2，安全系數(shù)1.2，得到后艙段y向試驗(yàn)條件見(jiàn)表4。

表4 后艙段y向試驗(yàn)條件Table 4 The value of normalized spectral of rear section in y

4　結(jié)論

通過(guò)對(duì)比 FFT和數(shù)字濾波兩種最大譜分析方法的優(yōu)缺點(diǎn)并分析其誤差，可得以下結(jié)論。

1) 與數(shù)字濾波最大譜分析方法相比，選用 FFT（比例分辨率帶寬）最大譜分析方法的誤差最小。

2) 對(duì)比兩種方法在不同分辨率帶寬時(shí)計(jì)算的誤差，理論分析和仿真結(jié)果一致，驗(yàn)證了最大譜分析方法的有效性。

3) 將 FFT最大譜分析方法應(yīng)用于某型炸彈 9個(gè)架次自由飛振動(dòng)數(shù)據(jù)的處理和環(huán)境條件確定中，獲得的自由飛振動(dòng)試驗(yàn)條件合理有效。

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The Research of Processing Method Based on Maximum Spectral for Non-stationary Random Vibration Data

XU Jun, FU Yun, ZHANG Jian-jun, SUN Jian-yong, WANG Xing-hao
（China Aero-Polytechnology Establishment, Beijing 100028, China）

Objective To solve the problem that the environmental measurement of non-stationary random vibration data can’t deal with power spectral density. Methods Two methods of maximum spectral analysis were summed up, namely FFT and digital filter which were based on minimum mean-square error criterion. The advantages, disadvantages and error of two methods with different bandwidth were discussed, and then examples were given to testify the better method. Results The theoretic analysis and simulation results showed that: the error was minimum with conventional FFT computations (proportional resolution bandwidth). The conventional FFT computations were applied to 9 sorties of non-stationary vibration data processing and environmental condition determination for a certain missile, and the result was reasonable and effective. Conclusion The conventional FFT is the best method to deal with non-stationary random vibration data, which provides guidance for formulating environmental condition based on maximum spectral.

non-stationary random vibration data; maximum spectral; FFT; digital filter

2016-08-16； Revised：2016-08-16

10.7643/ issn.1672-9242.2016.05.009

TJ86

A

1672-9242(2016)05-0054-07

2016-08-16；

2016-08-16

徐?。?990—），男，湖北武漢人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)檠b備環(huán)境工程。

Biography：XU Jun（1990—）， Male， from Wuhan， Hubei， Maser graduate student， Research focus: equipment environmental engineering.