例談圓模型在幾何最值問題中的妙用

張淑波

最值問題一直是初中數(shù)學問題中的一大難點，這類問題出現(xiàn)的題型內(nèi)容豐富，知識點多，涉及面廣，解法靈活多樣.其中幾何中的最值問題是重中之重，常見方法有利用軸對稱性得到三點共線；利用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)變成垂線段最短；利用函數(shù)思想等，本文主要探究看似無圓的幾何最值問題中如何巧妙地找到圓模型，使復雜的最值問題得以圓滿解決.

模型呈現(xiàn)：如圖1，圓外一點與圓上任意一點聯(lián)結(jié)所成的線段中PA最長，PB最短（其中PA、PB所在的直線經(jīng)過圓心O）.有了這種方法能使很多最值問題中的較難問題得到圓滿解決.

案例1：如圖2，點E為正方形ABCD的邊AD上的動點，過點A作AH⊥BE于點H，若正方形的邊長為4，則線段DH的最小值是多少？

分析：由AH⊥BH可知，∠AHB始終為90°，因此點H在以AB為直徑的⊙F上運動，此時點D為⊙F外一點，所以可利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離模型（圖1），聯(lián)結(jié)DF交⊙F于點H（如圖3），此時DH最小.

思考：本題學生的解答正確率其實并不高，關(guān)鍵在于學生不容易發(fā)現(xiàn)動點H的運動路徑是以AB為直徑的圓.那么如何才能在看似無圓的題設(shè)中準確找到圓模型呢？本題經(jīng)驗告訴我們，直角三角形的直角頂點在以斜邊為直徑的圓上，故看到直角，容易找到圓模型.

經(jīng)驗利用1：在正方形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動.

（1）如圖4，當點E自D向C，點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖5，當E，F(xiàn)分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）

（3）如圖6，當E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；

（4）如圖7，當E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E，F(xiàn)的移動，使得點P隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最小值.

分析：（1）、（2）、（3）中AE⊥DF（證明略）.（4）根據(jù)已知條件得AE⊥DF，∠APD始終為90°.因此根據(jù)案例1的經(jīng)驗不難發(fā)現(xiàn)點P在以AD為直徑的圓上運動，記圓心為點O，連接OC與圓交于點P，利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離這一結(jié)論，得到此時CP為最小.

經(jīng)驗利用2：設(shè)a為實數(shù)，已知直線l：y=ax-a-2，過點P（-1，0）作直線l的垂線，垂足為M.點O（0，0）為坐標原點，則線段OM長度的最小值？

分析：本題共有兩大難點：第一難點是這條直線無法確定，但可以肯定的是必經(jīng)過A（1，-2），第二難點是怎么發(fā)現(xiàn)圓模型.我們發(fā)現(xiàn)直線無論怎么變，∠PMA始終為直角，這樣根據(jù)案例1的經(jīng)驗，以AP為直徑的圓就形成，點M始終在以AP為直徑的圓上，利用圓內(nèi)一點與圓的最近距離和最遠距離這一結(jié)論確定了OM的最小值.

經(jīng)驗拓展：如圖9，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（3，0），C（0，3 ），點D是第一象限的一點，滿足∠ADB=30°，則線段CD的最小值？

分析：本題中沒有明顯的圓模型，也沒有同案例1一樣的隱含圓模型的直角，但∠ADB恒為30°，可以看成一個30°圓周角，同樣可以找到圓模型.由于圓周角∠ADB=30°，故對應(yīng)的圓心角∠AMB=60°，⊙M就是以AB的長為半徑，經(jīng)過A，B兩點的圓，同樣可以利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離模型（圖1），最終確定CD的最小值.

推廣：當某個角的大小為恒值時，該角頂點必在以該角為圓周角的圓上.特殊的，當該角為直角時，則該直角頂點在以該直角所對斜邊為直徑的圓上.

案例2：如圖11，已知拋物線y=- （x-1）（x-7）與軸交于A、B兩點，對稱軸與拋物線交于點C，與x軸交于點D，⊙C的半徑為2，G為⊙C上一動點，P為AG的中點，則DP的最大值？

分析：這一問題已經(jīng)明確有圓了，但怎樣利用圓的模型解決？很明顯，所求的線段PD沒有任何一個點在圓上，沒法直接利用本模型.不難發(fā)現(xiàn)D為線段AB的中點，結(jié)合條件“P為AG中點”，我們可以聯(lián)結(jié)BG，則PD構(gòu)成△ABG的中位線，利用中位線的性質(zhì)PD= BG可將PD最長轉(zhuǎn)換為BG最長.B為圓外定點，G為圓上動點，利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離模型可將這個問題完滿解決.

經(jīng)驗利用：如圖12，二次函數(shù)y=a2x+bx+c（a≠0）的圖像交x軸于點A（-1，0），B（4，0），交y軸于點C（0，2），過B，C畫線直線，并聯(lián)結(jié)AC.

（1）求二次函數(shù)的解析式和直線BC的解析式；

（2）點F是線段BC上的一點，過點F作△ABC的內(nèi)接正方形DEFG，使得邊DE落在x軸上，點G在AC上，GF交y軸于點M.

①求該正方形的邊長；

②將線段EF延長，交拋物線于點H，那么點F是EH的中點嗎？請說明理由.

（3）在（2）的條件下，將線段BF繞點B旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點P始終為CF為中點，請直接寫出線段OP的最大值.

分析：（1）（2）略.第（3）問沒有明顯的圓模型，看似與圓無關(guān)，很多學生面對這個問題無從下手，其實將線段BF繞點B旋轉(zhuǎn)，可以根據(jù)圓的定義發(fā)現(xiàn)一個以B為圓心，BF為半徑的圓，F(xiàn)始終在這個圓上，圓模型出現(xiàn)了，但同案例2一樣，點O、點P均不是圓上的動點.從條件“點P始終為CF為中點”出發(fā)，根據(jù)案例2中利用中點構(gòu)造中位線實現(xiàn)線段轉(zhuǎn)換的經(jīng)驗，不妨作C關(guān)于X軸的對稱點C′，連接OP，C′F（如圖13），發(fā)現(xiàn)OP是三角形CC′F的中位線，因此把OP的最小值轉(zhuǎn)化成了C′F的最小值，利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離這個結(jié)論，這個問題迎刃而解.

綜合應(yīng)用：如圖14在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C.則A′C長度的最小值？

分析：本題沒有明顯的圓模型，也沒有像上文案例一樣隱含圓模型的條件.但根據(jù)軸對稱變換的性質(zhì)，不妨聯(lián)結(jié)AA′，交MN與點H（如圖15），則MN垂直平分AA′，結(jié)合M為AD的中點，可模仿案例2聯(lián)結(jié)A′D構(gòu)造中位線，易證AA′⊥DA′，即∠AA′D使終為90°，根據(jù)案例1的經(jīng)驗可得點A′在以AD為直徑的圓上運動，圓心為點M，利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離模型，連接MC與圓交于點A′，此時CA′為最小.

在很多看似無圓的幾何最值問題中，我們可以利用直角、固定的圓周角、圓的定義等找到隱藏的圓模型，利用構(gòu)造法、轉(zhuǎn)換思想等建立圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離模型解決問題.但是很顯然上述案例的探究只是利用圓模型解決幾何最值問題中的一小部分，更是紛繁復雜的幾何最值問題的冰山一角.