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    樹的強(qiáng)自同態(tài)幺半群的一些特征

    2016-11-11 22:47:40祝富洋
    考試周刊 2016年84期

    摘 要: 給定圖τ=(V,E)為只有有限個(gè)頂點(diǎn)的無(wú)向,簡(jiǎn)單樹(文中涉及的樹都滿足這個(gè)條件).設(shè)τ的所有強(qiáng)自同態(tài)映射組成的半群為樹圖τ的強(qiáng)自同態(tài)幺半群,記作sEndτ.通過(guò)樹的特征研究了樹的強(qiáng)自同態(tài)幺半群的特征,得到結(jié)論:若τ′為τ的連通子圖,則sEndτ′同構(gòu)于sEndτ的子半群.

    關(guān)鍵詞: 自同態(tài)幺半群 連通子圖 子半群 右理想

    有限單群的分類經(jīng)過(guò)群論工作者長(zhǎng)達(dá)150年的努力,已于上個(gè)世紀(jì)八十年代完成[1].學(xué)者們最終證明,有限單群共有十八個(gè)無(wú)限族和二十六個(gè)零散單群.單群分類完成后,Gorenstein提到了群論研究的幾個(gè)發(fā)展方向:新領(lǐng)域的出現(xiàn)(比如,對(duì)可解群的研究更加深入),圖的研究及在分類過(guò)程中提出的研究方法的應(yīng)用等.

    通過(guò)閱讀與思考,發(fā)現(xiàn)其中研究得比較多的對(duì)象是通過(guò)群構(gòu)造的凱萊圖(均是點(diǎn)傳遞的圖,即圖在其自同構(gòu)群作用下只有一條頂點(diǎn)軌道),還有一些特殊圖,如正則圖線圖等.例如:在文獻(xiàn)[8]中,討論了雙Cayley圖的自同構(gòu)群.在文[2],[3],[4]討論了Cayley圖的Hamilton性.還有的討論點(diǎn)傳遞圖的Hamilton性的文章,見(jiàn)文獻(xiàn)[5][6].

    文章嘗試討論圖的自同態(tài)幺半群與圖的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系.因?yàn)橐话銏D形的研究難度較大,于是主要討論簡(jiǎn)單樹強(qiáng)自同態(tài)幺半群,最后得到:樹的每個(gè)連通子圖的強(qiáng)自同態(tài)幺半群均同構(gòu)與樹的強(qiáng)自同態(tài)幺半群的子半群;樹的強(qiáng)自同態(tài)幺半群的極大右理想對(duì)應(yīng)樹的極大連通子圖.

    文章未作特殊說(shuō)明處,均討論有限個(gè)頂點(diǎn)的簡(jiǎn)單無(wú)向樹.

    τ表示一棵樹.用V 為樹τ的頂點(diǎn)集,E 為樹τ的邊集.

    給定兩棵樹τ′,τ.設(shè)α是V →V 的一個(gè)映射,且滿足?坌x,y∈V ,若(x,y)∈E,則(α(x),α(y))∈E 且?坌m,n∈V ,(m,n)∈E ,蘊(yùn)含(m,n)的原象屬于E ,稱α為圖τ到τ′上的一個(gè)強(qiáng)同態(tài).

    樹τ的強(qiáng)自同態(tài)半群:τ到自身的所有強(qiáng)同態(tài)組成的集合,記作sEnd(τ).

    α(τ)表示同態(tài)映射α作用于樹τ得到的新樹,記為α(τ)=τ .

    其中V =τ(V ),E =τ(E ).

    引理1 樹τ的強(qiáng)自同態(tài)半群sEnd(τ)為幺半群.

    證明:設(shè)e是Autτ的單位元,由定義可知e∈sEnd(τ),顯然有?坌α∈sEndτ,αe=eα所以引理得證.

    引理2 設(shè)α∈sEndτ,令α(τ)=τ ,則τ 為τ的連通子圖.

    證明:由定義易知,?坌x,y∈V ,若(x,y)∈E ,則(α(x),α(y))∈E 有τ 連通圖.又因?yàn)閂 ?哿V ,?坌m,n∈V ,(m,n)∈E 蘊(yùn)含(m,n)的原象屬于E ,

    則顯然有τ 為τ的子圖.所以τ 為τ的連通子圖.

    引理 3 設(shè)τ的階是n(n≥2),若τ 為τ的n-1階連通子圖,則?堝α∈sEndτ,使得α(τ)=τ ,α(τ )=τ .

    證明:易證τ 為τ的n-1階連通子圖,等價(jià)于τ去掉的是一片葉子.當(dāng)n=2時(shí),引理顯然成立.當(dāng)n≥3時(shí),設(shè)τ 是去掉了葉子v 得到,令v 是與v 相鄰的(即(v ,v )∈E ),v 是與v 相鄰且v ≠v .構(gòu)造α,令α(v )=v ?搖?搖i≠1v ?搖?搖i=1,由sEnd(τ)的定義易知α∈sEndτ.引理得證.

    推論1設(shè)τ的階是n(n≥2),若τ 為τ的k(k=1,2…,n-1,n)階連通子圖,則?堝α∈sEndτ,使得α(τ)=τ ,且α(τ )=τ .

    證明:當(dāng)k=n時(shí),α∈Autτ,顯然有α∈sEndτ.當(dāng)k=n-1時(shí),由引理3結(jié)論可得證.當(dāng)k=n-2時(shí),可得存在τ 為τ的n-1階連通子圖且τ 為τ 的n-2階連通子圖,由引理3,?堝β∈sEndτ,使β(τ)=τ ,α(τ )=τ .同理得,?堝?掊∈sEndτ ,使?掊(τ )=τ ,?掊(τ )=τ .則α=?掊·β.由定義易知α∈sEndτ.推論1得證.

    定理1若τ′為τ的連通子圖,則sEndτ′同構(gòu)于sEndτ的子半群.

    證明:由推論1知?堝α∈sEndτ,使得α(τ)=τ′,α(τ′)=τ′.?坌β∈sEndτ′,令β′=αβ,S ={αβ|β∈sEndτ′}.一、若?坌β ,β ∈sEndτ′,β ≠β ,則有αβ ≠αβ ,所以sEndτ′與S ={αβ|β∈sEndτ′}之間一一對(duì)應(yīng).二、由(αβ )·(αβ )=αβ αβ =α(β α)β =α(β β ),得sEndτ′與S ={αβ|β∈sEndτ′}之間同態(tài)關(guān)系α:β→αβ.由一、二可得sEndτ′同構(gòu)于S ={αβ|β∈sEndτ′}.易知S ={αβ|β∈sEndτ′}?哿sEndτ,所以sEndτ′同構(gòu)于sEndτ的子半群.

    將已知條件中的樹換成有限階的有向簡(jiǎn)單樹時(shí)則不一定出現(xiàn)定理一的情況.

    例子1,構(gòu)造有限階的簡(jiǎn)單有向樹τ=(V,E),如圖1.再構(gòu)造其子圖τ′=(V′,E′),如圖2.

    由圖1可知,sEndτ為{e,α},α(v )=v ,i≠8v ,i=8,i=1,2,…,9.由圖2可得Autτ′=S ?哿sEndτ′.易知,sEndτ′不可能同構(gòu)于sEndτ的子半群.

    進(jìn)一步思考,還有什么樣的圖能有定理一這樣的性質(zhì)呢?通過(guò)研究得到1個(gè)簡(jiǎn)單的猜想.

    當(dāng)一個(gè)有限階的簡(jiǎn)單有向圖有一個(gè)圈時(shí),則不一定有定理一的性質(zhì).例如:構(gòu)造有限階的簡(jiǎn)單無(wú)向圖G=(V,E),其中v={v ,v ,v },E={(v ,v ),(v ,v ),(v ,v )},如圖3.易知,圖4G′=(V′,E′)為G=(V,E)的連通子圖.我們有AutG=S ,但是AytG′=S .顯然圖G與G′有不同自同構(gòu)群.又因?yàn)閟EndG=S ,所以sEndG′不可能同構(gòu)于sEndG的子半群.

    因此,產(chǎn)生一個(gè)猜想,只有當(dāng)限階的簡(jiǎn)單有向圖G=(V,E)是一棵樹時(shí),才會(huì)有定理一的結(jié)果.

    參考文獻(xiàn):

    [1]D.Gorenstein,F(xiàn)inite Simple Groups,Harper and Row,NewYork,1968.

    [2]路在平.雙Cayley圖的自同構(gòu)群[J].北京大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,39(1):1-5.

    [3]Meng Jixiang,Huang qiongxiang.Almost all Cayley Graphs Are Hamiltonian[J].Acta Mathematica Sinica,1996,12:151-155.

    [4]Li Haizhu,Wang Jianfang,Sun Liang.Hamiltonian decomposition of Cayley graphs of ordersp2 andpq [J].Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2000,16:78-86.

    [5]S.J.Curran,J.A.Gallian.Hamiltonian cycles and paths in Cayley graphs and digraphs—a survey,Discrete Math,1996 (156):1-18.

    [6]D.Marusic,Hamiltonian cycles in vertex-symmetric graphs of order 2p^2,Discrete Math,1987(66):169-174.

    [7]祝富洋,游泰杰,徐波.樹在其自同構(gòu)群下的點(diǎn)軌道集的特征[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013.

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