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    由一道高考試題引發(fā)的思考

    2016-11-11 22:07:18李平川崔成軍
    考試周刊 2016年84期
    關(guān)鍵詞:通徑動點端點

    李平川++崔成軍

    1.問題提出

    題目(2009年遼寧高考理科數(shù)學(xué)試題)已知橢圓C過點A(1, ),兩個焦點為(-1,0)和(1,0).

    (1)求橢圓C的方程;

    (2)E,F(xiàn)是橢圓上的兩個動點,如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值.

    本題第(1)問橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1,第(2)問主要考查直線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力和運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想.立意深刻,有內(nèi)涵.解題過程略,對于第(2)問,注意到點A(1, )的特殊性,這個點是橢圓的一條通徑(過焦點作長軸所在直線的垂線與橢圓交于A,B兩點,AB是橢圓的一條通徑)的端點,直線的斜率是定值,這個定值恰好是橢圓的離心率.那么本題能否推廣到一般情形呢?下面本文將對其進(jìn)行探究.

    2.問題探究

    探究1:已知橢圓C: + =1(a>b>0),點A(-c, )是橢圓的一條通徑的一個端點,E,F(xiàn)是橢圓上的兩個動點,如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,這個定值是橢圓的離心率的相反數(shù).

    證明:設(shè)E(x ,y ),F(xiàn)(x ,y ),直線AE的方程為y=k(x+c)+ ,代入橢圓方程,整理得(b +a k )x +(2kab +2k a c)x+b +2kb ac-a b =0.

    根據(jù)韋達(dá)定理x -c=- ,解得x = .

    因為直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù),x = .

    x +x = ,x -x = .

    k = = = =-e證畢.

    上述高考題中的A(1, )是位于第一象限的通徑的一個端點,根據(jù)橢圓的對稱性,屬于探究1的特殊情形.它的逆命題經(jīng)證明也成立,于是得到.

    探究2:已知橢圓C: + =1(a>b>0),點A(-c, )是橢圓的一條通徑的一個端點,E,F(xiàn)是橢圓上的兩個動點,如果直線EF的斜率為定值,這個定值是橢圓的離心率的相反數(shù),那么直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù).

    證明:設(shè)E(x ,y ),F(xiàn)(x ,y ),直線EF的方程為y=-ex+m,代入橢圓的方程整理得

    (b +a e )x -2a mex+m a -a b =0.

    x +x = ,x x = .則有

    (-ex +m)(x +c)+(-ex +m)(x +c)=-2ex x +(m-ec- )(x +x )+2mc- c

    =2mc(a -b -c )=0.

    k +k = +

    = =0.

    即直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù).證畢.

    橢圓有上述性質(zhì),經(jīng)證明雙曲線,拋物線也有類似的性質(zhì),于是又得到.

    探究3:已知雙曲線C: - =1(a>0,b>0),點A(-c, )是雙曲線的一條通徑的一個端點,E,F(xiàn)是雙曲線上的兩個動點,如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù),直線EF的斜率為定值,這個定值是雙曲線的離心率的相反數(shù).

    探究4:已知拋物線y =2px(p>0),點A( ,p),E,F(xiàn)是拋物線上的兩個動點,如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù),直線EF的斜率為定值,這個定值為-1.

    證明:設(shè)E(x ,y ),F(xiàn)(x ,y ),直線AE的方程為y=k(x- )+p,代入拋物線的方程y =2px,整理得k x -(pk -2kp+2p)x+ p -p k+p =0.

    根據(jù)韋達(dá)定理x + =- ,解得x = .

    因為直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù),x = .

    x +x = ,x -x = .

    k = = = =-1證畢.

    探究3,4的逆命題也成立,證明略.

    由此得到圓錐曲線的一個統(tǒng)一性質(zhì):

    已知點A是圓錐曲線Γ的一條通徑的一個端點,E,F(xiàn)是圓錐曲線上的兩個動點,且k +k =0則k =|e|.它的逆命題也成立.

    3.解后反思

    高考試題匯聚了命題專家的智慧與心血,如果我們能最大限度地發(fā)揮試題的探究功能,教師才能近距離與命題專家進(jìn)行心靈交流,同時解題后的反思可使理解進(jìn)入深層次,進(jìn)而誘發(fā)新的想法,展開新的探究,在探究中升華,在升華中讓能力生根.

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