Kolmogorov-Spieqel-Sivashinsky方程的漸近吸引子及維數(shù)估計

周萍，邢超，羅宏

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川 成都　610066）

Kolmogorov-Spieqel-Sivashinsky方程的漸近吸引子及維數(shù)估計

周萍，邢超，羅宏

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066）

研究了周期邊界條件下Kolmogorov-Spieqel-Sivashinsky方程的漸近吸引子，并給出了它的維數(shù)估計.首先利用正交分解法構(gòu)造了一個有限維解序列，然后分兩步證明該解序列收斂于方程的真實解.

Kolmogorov-Spieqel-Sivashinsky方程；漸近吸引子；維數(shù)估計

1　引言

Kolmogorov-Spieqel-Sivashinsky（KSS）方程：

是Spieqel，Sivashinsky等人在研究Kolmogorov流和可壓縮對流的大規(guī)模結(jié)構(gòu)時所導(dǎo)出的方程［13］.若方程（1）對x求導(dǎo)數(shù)，并令u=ψx，則有

人們在研究無窮維動力系統(tǒng)的過程中，常常對吸引子結(jié)構(gòu)進行探討，因此相繼出現(xiàn)了整體吸引子、近似慣性流形和指數(shù)吸引子等概念，2000年，王冠香和劉曾榮也在文獻［5］中提出了漸近吸引子這一概念.

定義1.1對一個發(fā)展系統(tǒng)記其相空間為H，解算子半群為｛s（t），t≥0｝，吸收集為假設(shè)對任意存在N維子空間中的近似解序列滿足：

則定義

為系統(tǒng)（3）的漸近吸引子.其中‖·‖H為相空間H的范數(shù)，uk（t）依賴于初值u0，而只依賴于吸收集半徑，即t?對中的u0是一致的.

自此概念被提出以后，有關(guān)漸近吸引子的成果陸續(xù)出現(xiàn)，如2004年，文獻［6］得到了相空間上Extended Fisher-Kolmogorov系統(tǒng)的漸近吸引子；2007年，文獻［7-8］分別得到了推廣的B-BBM方程的漸近吸引子和二維Navier-Stokes方程的漸近吸引子；2014年，張曉明等人在文獻［9-10］中分別討論了Kdv-Burgers-Kuramoto系統(tǒng)和非線性梁方程的漸近吸引子.

本文考慮周期邊界條件下導(dǎo)數(shù)形式的KSS方程

2　漸近吸引子

首先引入文獻［4］關(guān)于吸收集的結(jié)論，并構(gòu)造一個有限維解序列.

即

是系統(tǒng)（4）-系統(tǒng)（7）的吸收集.

其中

系統(tǒng)（10）-（11）的解的存在唯一性問題類似于原系統(tǒng).下面將證明漸近解序列uk（x，t）對真解u（x，t）的逼近性.首先證明，對上述所得漸近解序列不會遠離吸收集

成立.

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［2］Depassier M C.A note on the free boundary conditions in Rayleigh-Bernard convection between insulating boundaries［J］.Phys.Lett，1984，102A（8）：359-361.

［3］Poyet J P.The Rayleigh-Benard two-dimensional convection in a fluid between two plates of finite conductivity［D］.New York：Columbia University，1983.

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［5］王冠香，劉曾榮.Kuramoto-Sivashinsky方程的漸近吸引子［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2000，23（3）：329-336.

［6］羅宏，蒲志林.Extended Fisher-Kolmogorov系統(tǒng)的漸近吸引子［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2004，20（2）：150-156.

［7］何素芳，朱朝生.推廣的B-BBM方程的漸近吸引子［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，30（1）：49-52.

［8］Zhao L N，Zhang X Y，Xing T L.The asymptotic attractor of 2D Navier-Stokes equation［J］.數(shù)學(xué)研究，2007，40（3）：251-257.

［9］張曉明，姜金平，董超雨.Kdv-Burgers-Kuramoto系統(tǒng)的漸近吸引子［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2014，30（6）：595-603.

［10］張曉明，姜金平，董超雨.非線性梁方程的漸近吸引子［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2015，45（2）：302-308.

2010 MSC:35B41

The asymptotic attractor and dimensional estimate of Kolmogorov-Spieqel-Sivashinsky equation

Zhou Ping，Xing Chao，Luo Hong
（College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu610066，China）

In this paper，we study the asymptotic attractor of Kolmogorov-Spieqel-Sivashinsky equation with periodic boundary conditions，and obtain the dimensional estimate of the asymptotic attractor.Firstly，the solution sequence is constructed by using orthogonal decomposition.Secondly，it is proved that the solution sequence converges to solution of the equation by two processes.

Kolmogorov-Spieqel-Sivashinsky equation，asymptotic attractor，dimensional estimate

0175.29

A

1008-5513（2016）05-0457-13

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.003

2016-07-06.

國家自然科學(xué)基金（11271271）；四川省科技計劃項目（2015JY0125）.

周萍（1990-），碩士，研究方向：偏微分方程與動力系統(tǒng).