水文設(shè)計(jì)值置信區(qū)間估計(jì)研究

梁　駿，宋松柏

(西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

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水文設(shè)計(jì)值置信區(qū)間估計(jì)研究

梁駿，宋松柏

(西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

【目的】 研究給定設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)下水文設(shè)計(jì)值置信區(qū)間的估算方法，評(píng)定設(shè)計(jì)值的不確定性?！痉椒ā?以陜西省關(guān)中地區(qū)4個(gè)氣象測(cè)站年降水量為例，選用矩法(MOM)和極大似然法(ML)研究P-Ⅲ分布水文設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間計(jì)算方法，計(jì)算出不同設(shè)計(jì)頻率下水文設(shè)計(jì)值在95%置信水平下的置信區(qū)間，并對(duì)基于矩法和極大似然法估算的設(shè)計(jì)值置信區(qū)間的長度數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析。【結(jié)果】 在設(shè)計(jì)頻率為0.2%時(shí)，周至、臨潼、藍(lán)田、戶縣4個(gè)測(cè)站采用極大似然法估算在95%置信水平下的設(shè)計(jì)值置信區(qū)間長度分別為414.28，338.88，360.65和371.24，采用矩法估算在95%置信水平下的設(shè)計(jì)值置信區(qū)間長度分別為546.61，435.64，384.91和403.92。在設(shè)計(jì)頻率為99%時(shí)，上述4站采用極大似然法估算在95%置信水平下的設(shè)計(jì)值置信區(qū)間長度分別為144.44，124.93，177.67和160.73，采用矩法估算在95%置信水平下的設(shè)計(jì)值置信區(qū)間長度分別為183.28，151.26，187.31和178.62。由此可知，在低設(shè)計(jì)頻率和高設(shè)計(jì)頻率時(shí)，極大似然法估算的設(shè)計(jì)值置信區(qū)間長度均較矩法小。【結(jié)論】 置信區(qū)間能夠?yàn)樵O(shè)計(jì)值的估算提供相對(duì)可靠的變化范圍，用極大似然法估算水文設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間比矩法能更有效地降低水文設(shè)計(jì)值的不確定性。

水文設(shè)計(jì)值；設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)；標(biāo)準(zhǔn)差；置信區(qū)間；關(guān)中地區(qū)

水文現(xiàn)象是一種受氣候、氣象、地形、地貌和下墊面等因素影響的復(fù)雜自然現(xiàn)象，蘊(yùn)含著確定性的動(dòng)態(tài)規(guī)律和不確定性的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。由于水文現(xiàn)象的極端復(fù)雜性以及人類認(rèn)識(shí)水平的限制，使得對(duì)水文過程的認(rèn)識(shí)存在著不確定性[1]。為了描述和減少水文事件的不確定性問題，目前國內(nèi)外大都是采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，通過對(duì)歷史實(shí)測(cè)資料進(jìn)行分析，從而揭示水文現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，從概率的角度定量預(yù)估研究區(qū)未來可能的水文情勢(shì)。預(yù)測(cè)水文極值事件發(fā)生的頻率和大小對(duì)整個(gè)社會(huì)具有非常重大的意義。在水利工程的防護(hù)工作和警示系統(tǒng)中，采用頻率分析能夠減少或者消除由于暴雨和洪水引起的生命財(cái)產(chǎn)損失。減少估計(jì)誤差及降低不確定性的影響從而得到比較合理的預(yù)估結(jié)果，以及對(duì)成果進(jìn)行合理性分析，是水文分析計(jì)算的重要內(nèi)容，因此需要特別重視[2]。對(duì)于一個(gè)設(shè)計(jì)師或者工程師而言，量化水文設(shè)計(jì)值不確定性是非常有必要的[3]。實(shí)際中，有兩種方法用來描述水文設(shè)計(jì)值估算的不確定性程度，即標(biāo)準(zhǔn)誤差和置信區(qū)間，其中設(shè)計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差用于描述由樣本估算的設(shè)計(jì)值與真設(shè)計(jì)值(真設(shè)計(jì)值未知)之間的偏離程度，樣本估算設(shè)計(jì)值的置信區(qū) 間則描述了給定概率下真設(shè)計(jì)值的取值區(qū)間。點(diǎn)估計(jì)及其標(biāo)準(zhǔn)差是對(duì)一個(gè)參數(shù)真實(shí)值的不確定性描述，除非知道問題中有關(guān)參數(shù)估計(jì)值的分布[4]。對(duì)于一個(gè)點(diǎn)估計(jì)及其標(biāo)準(zhǔn)誤差來說，置信區(qū)間能夠提供更多的信息。

20世紀(jì)60年代起，國外有學(xué)者提出了一些水文設(shè)計(jì)值置信區(qū)間的計(jì)算方法[5-10]，而國內(nèi)在這方面的研究相對(duì)較少，缺乏不同參數(shù)估算方法相應(yīng)置信區(qū)間的對(duì)比。目前用于水文頻率計(jì)算中的分布線型已多達(dá)十余種，但仍然無法知道水文隨機(jī)變量概率分布的確切線型，我國水利水電工程水文計(jì)算規(guī)范中推薦采用的是P-Ⅲ型分布。因此，本研究采用矩法和極大似然法進(jìn)行參數(shù)估算，以陜西省關(guān)中地區(qū)降水資料為例，選用P-Ⅲ型概率分布,用矩法和極大似然法兩種參數(shù)估算方法進(jìn)行水文設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間估算，度量水文設(shè)計(jì)值的不確定性，以期為水文設(shè)計(jì)值的估算提供相對(duì)可靠的計(jì)算依據(jù)。

1　水文設(shè)計(jì)值置信區(qū)間

(1)

式(1)表明，為了得到水文設(shè)計(jì)值置信區(qū)間，需要先計(jì)算出水文設(shè)計(jì)值的近似方差或均方差 。

2　基于矩法估算設(shè)計(jì)值的近似方差

(2)

水文頻率計(jì)算中，可以將水文設(shè)計(jì)值[13]表示為頻率分布參數(shù)的函數(shù)形式，即：

(3)

由式(2)、(3)知水文設(shè)計(jì)值的近似方差公式為：

(4)

應(yīng)用方差與數(shù)學(xué)期望值間的關(guān)系，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得原點(diǎn)矩、中心矩的方差和協(xié)方差公式分別為：

(5)

式中：n為樣本序列長度，μ2為2階中心矩，其余符號(hào)意義同上。

(6)

式中：vr為r階原點(diǎn)矩，v2r為2r階原點(diǎn)矩。

(7)

式中：vs為s階原點(diǎn)矩，vr+s為r+s階原點(diǎn)矩。

(8)

式中：μr為r階中心矩，μ2r、μr-1、μr+1分別為2r階、r-1階、r+1階中心矩。

(9)

式中：μs為s階中心矩，μr+s、μs-1、μs+1分別為r+s階、s-1階、s+1階中心矩。

原點(diǎn)矩與中心距的協(xié)方差:

(10)

(11)

KT的近似計(jì)算可以采用Wilson-Hilferty變換公式[14]，有：

(12)

式中：zt為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中對(duì)應(yīng)于不超越概率(P=1-1/T)的分位數(shù)。

通過式(12)推導(dǎo)KT對(duì)Cs的偏導(dǎo)計(jì)算公式，在給定設(shè)計(jì)頻率p下，得到離均系數(shù)KT以及KT對(duì)Cs偏導(dǎo)的近似值，連同矩法公式得到的樣本序列特征值一起代入式(11)，求出基于矩法估算的水文設(shè)計(jì)值的近似方差，從而可由式(1)求出給定置信水平下水文設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間。

3　基于極大似然法估算設(shè)計(jì)值的近似方差

P-Ⅲ型分布的密度函數(shù)為：

(13)

式中：γ為位置參數(shù)，α為尺度參數(shù)，β為形狀參數(shù)，Γ(β)為gamma函數(shù)。

根據(jù)水文統(tǒng)計(jì)原理，有似然函數(shù)：

(14)

式中：xi是樣本序列第i個(gè)值，lnL為對(duì)數(shù)似然函數(shù)。

式(14)對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別對(duì)α、β、γ求偏導(dǎo)數(shù)，并令相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)值為0，求解非線性方程組即可獲得參數(shù)α、β、γ的估算值。極大似然法推求參數(shù)過程比較麻煩，計(jì)算時(shí)可以使用優(yōu)選法、查數(shù)值表法和MATLAB軟件編程法得到3個(gè)分布參數(shù)的估計(jì)值[15]。本研究使用MATLAB軟件編程，將通過矩法求出的分布參數(shù)估算值作為初值，迭代后得到滿足似然方程為0條件的分布參數(shù)α、β、γ。

由P-Ⅲ型分布的性質(zhì)[16]，有：

E(x)=αβ+γ；var(x)=α2β。

(15)

(16)

由式(16)可知，需要先計(jì)算出P-Ⅲ分布中參數(shù)的方差和協(xié)方差。

方差-協(xié)方差矩陣U是Fisher信息矩陣I的逆矩陣。信息矩陣的元素等于似然函數(shù)關(guān)于分布參數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。方差-協(xié)方差矩陣為：

(17)

信息矩陣為：

(18)

式中：L是P-Ⅲ型分布的密度函數(shù)的似然函數(shù)，var(α)、cov(α,β)等意義同上。

利用似然函數(shù)對(duì)分布參數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)求期望，則信息矩陣轉(zhuǎn)化為:

(19)

對(duì)式(19)中矩陣求逆，因?yàn)榉讲?協(xié)方差矩陣是信息矩陣的逆矩陣，則有：

(20)

將上述通過極大似然法求得的分布參數(shù)值代入式(20)得到化簡后的方差-協(xié)方差數(shù)值矩陣，連同離均系數(shù) (計(jì)算方法同矩法)一起代入式(16)，可以求出極大似然法估算參數(shù)的水文設(shè)計(jì)值近似方差，從而可由式(1)求出給定置信水平下水文設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間。

4　實(shí)例應(yīng)用

以陜西省關(guān)中地區(qū)周至(1957-2008年)、臨潼(1959-2008年)、藍(lán)田(1959-2008年)、戶縣(1959-2008年)4個(gè)氣象測(cè)站年降水量序列為例，選用P-Ⅲ型分布函數(shù)作為降水量頻率分布模型，分別應(yīng)用矩法(MOM)和極大似然法(ML)進(jìn)行模型參數(shù)估算，利用上文講述的公式計(jì)算不同設(shè)計(jì)頻率下各站年降水量估算值及其在95%置信水平下的置信區(qū)間，結(jié)果見表1～4。由表1～4可知，關(guān)中地區(qū)周至、臨潼、藍(lán)田和戶縣4個(gè)測(cè)站年降水量資料選用P-Ⅲ分布作為模型分布時(shí)，采用矩法和極大似然法估算的設(shè)計(jì)值在95%置信水平下的置信區(qū)間有如下規(guī)律：置信區(qū)間的長度隨著設(shè)計(jì)頻率的減小(設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的提高)有一個(gè)先窄后寬的變化。中間段頻率的置信區(qū)間長度最窄，往低頻段和高頻段，區(qū)間長度逐漸變大；在低設(shè)計(jì)頻率段，設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間長度都大于中高設(shè)計(jì)頻率段設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間長度，表明設(shè)計(jì)頻率越低，設(shè)計(jì)值的不確定性程度越高。實(shí)際工作中，通常需要計(jì)算低設(shè)計(jì)頻率和高設(shè)計(jì)頻率(即頻率曲線的高尾部和低尾部)的水文設(shè)計(jì)值，為水利工程的規(guī)劃、設(shè)計(jì)和管理提供依據(jù)。通過比較基于矩法和極大似然法估算的設(shè)計(jì)值置信區(qū)間長度，無論在低設(shè)計(jì)頻率還是高設(shè)計(jì)頻率，4個(gè)測(cè)站均是采用極大似然法估算的設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間長度較小，說明采用極大似然法估算設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間比矩法能更加有效地降低水文設(shè)計(jì)值的不確定性。

表 1　周至站不同設(shè)計(jì)頻率下年降水量設(shè)計(jì)值及其在95%置信水平下的置信區(qū)間Table 1　Annual precipitation quantile estimation and its 95% confidence interval under different design frequencies in Zhouzhi station　mm

表 2　臨潼站不同設(shè)計(jì)頻率下年降水量設(shè)計(jì)值及其在95%置信水平下的置信區(qū)間Table 2　Annual precipitation quantile estimation and its 95% confidence interval under different design frequencies in Lintong station　mm

表 3　藍(lán)田站不同設(shè)計(jì)頻率下年降水量設(shè)計(jì)值及其在95%置信水平下的置信區(qū)間Table 3　Annual precipitation quantile estimation and its 95% confidence interval under different design frequencies in Lantian station　mm

表 3(續(xù))　Continued table 3

表 4　戶縣站不同設(shè)計(jì)頻率下年降水量設(shè)計(jì)值及其在95%置信水平下的置信區(qū)間Table 4　Annual precipitation quantile estimation and its 95% confidence interval under different design frequencies in Huxian station　mm

為了反映出置信區(qū)間與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)之間以及頻率曲線與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)之間的關(guān)系，表明置信區(qū)間能夠用來度量水文設(shè)計(jì)值的不確定性，根據(jù)表1～4的計(jì)算結(jié)果，先點(diǎn)繪出不同測(cè)站的年降水量經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)，然后繪制出各水文站理論頻率曲線以及置信區(qū)間上下限曲線，結(jié)果見圖1～4。

圖 1　基于MOM和ML估算周至站不同設(shè)計(jì)頻率下的年降水量設(shè)計(jì)值及其95%置信水平下的置信區(qū)間Fig.1　MOM and ML estimated annual precipitation quantile and its 95% confidence interval under different design frequencies for Zhouzhi station

由圖1～4可以看出，頻率曲線的中下部與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合效果較好，而在曲線的兩端，偏差較大。在頻率曲線高尾部，各測(cè)站運(yùn)用MOM和ML估算的水文設(shè)計(jì)值都比實(shí)測(cè)的降雨量小；在頻率曲線低尾部，各測(cè)站運(yùn)用MOM和ML估算的水文設(shè)計(jì)值都比實(shí)測(cè)的降雨量大。但是，各測(cè)站年降水量的經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)基本上都被包含在設(shè)計(jì)值的區(qū)間上限和區(qū)間下限2條曲線之間，盡管有測(cè)站會(huì)出現(xiàn)一兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)落在設(shè)計(jì)值的區(qū)間上限和下限所圍成的曲線區(qū)間外，但距離也十分接近。說明置信區(qū)間可以為設(shè)計(jì)值的估算提供相應(yīng)可靠的取值范圍，從而降低水文設(shè)計(jì)值的不確定性。

圖 2　基于MOM和ML估算臨潼站不同設(shè)計(jì)頻率下的年降水量設(shè)計(jì)值及其95%置信水平下的置信區(qū)間Fig.2　MOM and ML estimated annual precipitation quantile and its 95% confidence interval under different design frequencies for Lintong station

圖 3　基于MOM和ML估算藍(lán)田站不同設(shè)計(jì)頻率下的年降水量設(shè)計(jì)值及其95%置信水平下的置信區(qū)間Fig.3　MOM and ML estimated annual precipitation quantile and its 95% confidence interval under different design frequencies for Lantian station

圖 4　基于MOM和ML估算戶縣站不同設(shè)計(jì)頻率下的年降水量設(shè)計(jì)值及其95%置信水平下的置信區(qū)間Fig.4　MOM and ML estimated annual precipitation quantile and its 95% confidence interval under different design frequencies for Huxian station

5　結(jié)　論

本文研究了基于矩法和極大似然法估算參數(shù)設(shè)計(jì)值置信區(qū)間的計(jì)算方法，通過對(duì)陜西省關(guān)中地區(qū)周至、臨潼、藍(lán)田和戶縣4個(gè)氣象測(cè)站年降雨量序列進(jìn)行實(shí)例計(jì)算，結(jié)果表明：置信區(qū)間能夠用來描述水文設(shè)計(jì)值的不確定性，為水文設(shè)計(jì)值的估算提供相對(duì)可靠的變動(dòng)范圍，可提高設(shè)計(jì)值估算的精度。在相同設(shè)計(jì)頻率下，無論是低頻還是高頻，極大似然法估算的置信區(qū)間長度均比矩法小，說明利用極大似然法估算設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間能夠更加有效地降低水文設(shè)計(jì)值的不確定性。因此，在實(shí)際工作中更加推薦使用極大似然法估算水文設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間。另外，關(guān)于選用其他參數(shù)估算方法(如概率權(quán)重矩法、線性矩法等)計(jì)算設(shè)計(jì)值的置信區(qū)間仍需進(jìn)一步研究。

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Estimation of confidence interval for hydrologic design values

LIANG Jun，SONG Songbai

(CollegeofWaterResourcesandArchitecturalEngineering,NorthwestA&FUniversity,Yangling,Shaanxi712100,China)

【Objective】 This paper studied estimation methods for hydrologic quantile confidence interval under given design standard and assessed the uncertainty of design value.【Method】 MOM and ML methods were used to study P-Ⅲ distribution hydrologic quantile confidence interval and figure out 95% confidence interval of hydrologic quantile estimation under different design frequencies at four meteorological stations in Guanzhong area.The results from MOM and ML were also compared and analyzed.【Result】 At the design frequency of 0.2%,confidence interval lengths of hydrologic quantile under 95% confidence level based on ML for the 4 hydrologic stations of Zhouzhi,Lintong,Lantian and Huxian were 414.28,338.88,360.65,and 371.24,while those based on ML were 546.61,435.64,384.91,and 403.92,respectively.At the design frequency of 99%,confidence interval lengths of hydrologic quantile under 95% confidence level based on ML for Zhouzhi,Lintong,Lantian and Huxian were 144.44,124.93,177.67,and 160.73,while those based on ML were 183.28,151.26,187.31,and 178.62,respectively.Independent of design frequency,confidence interval lengths of hydrologic quantile based on ML were always smaller than based on MOM.【Conclusion】 Confidence interval can provide relatively reliable range of variation for the hydrologic quantile estimation and the estimated confidence interval lengths based on ML were more effective in reducing the uncertainty of hydrologic quantile.

hydrologic quantile;design standard;standard error;confidence interval;Guanzhong area

時(shí)間:2016-09-0709:03DOI：10.13207/j.cnki.jnwafu.2016.10.031

2015-04-17

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51179160，50879070，50579065)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(20110204110017)

梁駿(1990-)，女，湖南長沙人，在讀碩士，主要從事流域水文模擬及水文預(yù)報(bào)研究。E-mail：460132683@qq.com

宋松柏(1965-)，男，陜西永壽人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事水文水資源研究。E-mail：ssb6533@nwsuaf.edu.cn

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1671-9387(2016)10-0221-08

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