N階斐波那契數(shù)列和階黃金分割及其應(yīng)用

周　琪,池艷艷,周一勤

(1.溫州市交通工程質(zhì)量監(jiān)督局,浙江 溫州 325000；2.溫州市交通重大項(xiàng)目前期工作辦公室,浙江 溫州 325000；3.溫州市公路管理局,浙江 溫州 325000)

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N階斐波那契數(shù)列和階黃金分割及其應(yīng)用

周琪1,池艷艷2,周一勤3

(1.溫州市交通工程質(zhì)量監(jiān)督局,浙江 溫州 325000；2.溫州市交通重大項(xiàng)目前期工作辦公室,浙江 溫州 325000；3.溫州市公路管理局,浙江 溫州 325000)

黃金分割法是斐波那契數(shù)列的一個(gè)重要應(yīng)用，具有優(yōu)美的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，揭示了自然界的一些科學(xué)規(guī)律。以廣義的階斐波那契數(shù)列推演出階黃金分割，其中二階黃金分割與混合料密級(jí)配填充理論在原理方面是相同的，以常用的水泥混凝土、水泥級(jí)配碎石和瀝青混凝土混合料配合比的實(shí)例說明與二階黃金分割吻合較好，以期通過二階黃金分割原理找到水泥混凝土、水泥級(jí)配碎石和瀝青混凝土混合料的最優(yōu)配合比或通過黃金分割的方法快速或減少配合比試驗(yàn)次數(shù)，有效提高混合料結(jié)構(gòu)的工程質(zhì)量。

N階斐波那契數(shù)列；黃金分割；混合料配合比

1　N階斐波那契數(shù)列

著名的斐波那契數(shù)列[1]來自兔子繁殖的實(shí)際模型,具體數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,……，這一數(shù)列通項(xiàng)的遞推公式為

F(m)=F(m-1)+F(m-2)

(1)

式(1)中，初始條件為F(0)=1，F(xiàn)(1)=1，m=2,3,4,…。

文獻(xiàn)[2-3]將斐波那契數(shù)列遞推公式推廣為

Fn(m+n)=Fn(m+n-1)+Fn(m+n-2)+…+Fn(m),m=1,2,3,…

(2)

式(2)稱為N階斐波那契數(shù)列，式中初始條件為

Fn(0)=1，F(xiàn)n(i)=2i-1，i=1,2,3,…，n-1,n=1,2,3…。

N階斐波那契數(shù)列Fn(i),(i=1、2、3…、m,m?n)，的通項(xiàng)公式為

(3)

直接用式(3)求N階斐波那契數(shù)列前項(xiàng)與后項(xiàng)的比值比較繁雜，現(xiàn)采用N階斐波那契數(shù)列遞推公式(2)直接進(jìn)行導(dǎo)出，推導(dǎo)過程十分簡(jiǎn)潔。

當(dāng)n=2時(shí)，二階斐波那契數(shù)列前項(xiàng)與后項(xiàng)的比值由式(1)得

(4)

(5)

解一元二次方程式(5)，舍去負(fù)根得

(6)

這就是著名的黃金分割。

當(dāng)n=3時(shí)，

(7)

(8)

解一元三次方程式得其中一個(gè)正數(shù)根為φ3=0.543689012。

以此類推，當(dāng)m→∝時(shí)，得

φn+φn2+φn3+…+φnn-1=0

(9)

式(9)就是N階斐波那契數(shù)列前項(xiàng)與后項(xiàng)的比值通項(xiàng)公式。

(10)

2　N階黃金分割原理

2.1二階黃金分割原理

圖1　二階黃金分割原理圖

(11)

由式(11)得

(12)

解一元三次方程得

(13)

2.2N階黃金分割原理

一般的線段AAn=L=1分割為n段(圖2)，令

圖2　N階黃金分割原理圖

(14)

同理可得

(15)

這是一元n次方程。令x1=φn-1，則式(15)就是式(9)，這就是N階黃金分割。

3　二重黃金分割原理的應(yīng)用

黃金分割的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，許多文獻(xiàn)作了介紹,特別在優(yōu)選法中的應(yīng)用更為著名[4]。

水泥混凝土、水泥級(jí)配碎石和瀝青混凝土混合料都由多種不同粒徑的松散集料如石子、砂逐級(jí)連續(xù)或間斷(折斷)級(jí)配相互之間嵌擠，并由石屑(礦粉)和水泥或?yàn)r青填充膠結(jié)材料形成穩(wěn)固的結(jié)構(gòu)。目前,常用的級(jí)配理論主要有最大密度曲線理論(如拋物線、i法、K法等)和粒子干涉理論或填充理論。本文以混合料密級(jí)配為例對(duì)二階黃金分割進(jìn)行探索。

左—球形嵌擠模型　　右—集料嵌擠結(jié)構(gòu)剖面

3.1水泥混凝土黃金分割配合比

水泥混凝土集料由水泥膠結(jié)后為密實(shí)固體，孔隙率幾乎為零。選用文獻(xiàn)[5]中碎石混凝土配合比表(中砂、5～40mm碎石)，分別配以普通水泥P.032.5、P.042.5、P.052.5等級(jí)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，見表1。

由表1，按二階黃金分割計(jì)算最大相對(duì)誤差絕對(duì)值為6.6584%，可見二階黃金分割與水泥混凝土配合比吻合較好；但從級(jí)配的比例絕對(duì)值來看，最大絕對(duì)誤差為(0.295-0.28)=1.5%，這在實(shí)際工程中初步級(jí)配計(jì)算時(shí)可以接受的。對(duì)于C30～C50混凝土的其他組成原材料粒徑范圍也有基本相同的結(jié)果。

表1　文獻(xiàn)[5]推薦的碎石混凝土配合比與二階黃金分割統(tǒng)計(jì)分析表

3.2水泥級(jí)配碎石基層混合料

高速公路和一級(jí)公路按文獻(xiàn)[6]C-B-1、C-B-2、C-B-3的水泥穩(wěn)定級(jí)配碎石和老規(guī)范文獻(xiàn)[7]的水泥穩(wěn)定級(jí)配碎石配合比見表2。

由表2可見，文獻(xiàn)[6]粗集料比例增加幅度較大，同時(shí)大幅度減少了細(xì)集料比例，按二階黃金分割計(jì)算的石屑填充和膠結(jié)料最大相對(duì)誤差為22.8%；老規(guī)范文獻(xiàn)[7]與水泥碎石配合比中石屑填充和膠結(jié)料最大相對(duì)誤差為-23.2%。新規(guī)范文獻(xiàn)[6]針對(duì)老規(guī)范文獻(xiàn)[7] 填充和膠結(jié)材料過多，在使用過程中容易出現(xiàn)開裂及抗沖刷能力不足的缺陷，增加了粗集料的含量、減少了填充和膠結(jié)材料。如將文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]推薦的水泥穩(wěn)定級(jí)配碎石配合比進(jìn)行平均，則與二重黃金分割吻合較好，相對(duì)誤差大為減少，絕對(duì)誤差僅為(29.5-26.0)%=3.5%。

3.3瀝青混合料配合比

普通瀝青及改性瀝青密級(jí)配瀝青混合料AC-25、AC-20、AC-16、AC-13等密級(jí)配瀝青混合料[8]是按密級(jí)配原理設(shè)計(jì)組成的各種粒徑顆粒的礦料與瀝青結(jié)合料拌和而成，設(shè)計(jì)空隙率較小的嵌擠密級(jí)配瀝青混凝土混合料。表3列出文獻(xiàn)[8]推薦常用密級(jí)配瀝青混凝土混合料配合比與二階黃金分割方法統(tǒng)計(jì)分析情況。

由表3可見，各級(jí)集料配合比的平均值按二階黃金分割計(jì)算最大絕對(duì)誤差為(54.69-50.46)%=4.23%,最大相對(duì)誤差為7.73%，總體與二階黃金分割基本接近。

表2　文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]推薦的水泥穩(wěn)定級(jí)配碎石配合比與二階黃金分割統(tǒng)計(jì)分析表

注：①高速公路和一級(jí)公路基層碾壓壓實(shí)度標(biāo)準(zhǔn)為不小于98%，水泥級(jí)配碎石混合料壓實(shí)成型空隙近似取2%，水泥用量取3～5%的平均值4%；②由于成型孔隙率和水泥用量是集料總量外加的，故表4中文獻(xiàn)[6]的平均配合比和文獻(xiàn)[7]推薦的配合比近似地除以1.06。

表3　文獻(xiàn)[8]推薦的密級(jí)配瀝青混凝土混合料配合比與二階黃金分割統(tǒng)計(jì)分析表

注：由于瀝青混凝土成型孔隙和瀝青用量是集料總量外加的，故表3中粗集料：細(xì)集料：礦粉填充和膠結(jié)料占總重量平均配合比已近似地除以1.09。

4　結(jié)　語

(1)水泥混凝土、水泥級(jí)配碎石和集料密級(jí)配瀝青混凝土混合料配合比原理與二階斐波那契數(shù)列和二階黃金分割式(11)在理論原理方面是相同的，其平均配合比符合二階黃金分割原理。雖然現(xiàn)有的水泥混凝土、水泥級(jí)配碎石和集料密級(jí)配瀝青混凝土混合料配合比實(shí)例與二重黃金分割存在著一定誤差，但總體上吻合較好。這可能預(yù)示著運(yùn)用二階黃金分割原理可能找到水泥混凝土、水泥級(jí)配碎石和瀝青混凝土混合料的最優(yōu)配合比或通過0.618優(yōu)選法的方法和途徑快速或減少試驗(yàn)次數(shù)，有效提高混合料結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。

(2)由于水泥混凝土、水泥級(jí)配碎石和瀝青混凝土結(jié)構(gòu)性能十分復(fù)雜，是由組成材料構(gòu)造、性能、成型過程和使用條件等諸多因素決定的，階斐波那契數(shù)列和階黃金分割或二階斐波那契數(shù)列和二階黃金分割主要作用是體現(xiàn)這些混合料密級(jí)配嵌擠效果和功能，不能完全解決水泥混凝土、水泥級(jí)配碎石和瀝青混凝土的物理、化學(xué)、力學(xué)和耐久性問題。通過二階黃金分割原理，從最基礎(chǔ)的混合料組成材料的幾何特征入手，再運(yùn)用材料學(xué)、化學(xué)和力學(xué)等多學(xué)科綜合方法，優(yōu)化和提高其結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、穩(wěn)定性和耐久性。

(3)二階黃金分割原理的應(yīng)用方法、使用范圍和實(shí)際效果有待于進(jìn)一步的研究和實(shí)踐的驗(yàn)證。

[1]吳松等．漫談黃金分割[M]．烏魯木齊：新疆科技衛(wèi)生出版社，1994．

[2]孫振華．r階Fibonacci數(shù)列[J]．銀川師專學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1993,25(3):40-45．

[3]梁昌洪，譚康伯，張偉．N代斐波那契數(shù)列和N代黃金分割[J]．西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2011，38(3):1-6．

[4]華羅庚．優(yōu)選法平話及其補(bǔ)充[M]．北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1971．

[5]楊紹林，田加才，田麗．新編混凝土配合比實(shí)用手冊(cè)[M]．北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2002．

[6]JTG/T F20-2015，公路路面基層施工技術(shù)細(xì)則[S]．

[7]JTJ 034-2000，公路路面基層施工技術(shù)規(guī)范[S]．

[8]JTG F40-2004，公路瀝青路面施工技術(shù)規(guī)范[S]．

N-Order Fibonacci Sequence and the N th-Order Golden Section and Its Application

ZHOU Qi1，CHI Yan-yan2，ZHOU Yi-qin3

(1.Wenzhou Traffic Quality Supervision Bureau，Wenzhou 325000,China;2.Wenzhou transportation major project preparatory work office，Wenzhou 325000,China;3. Wenzhou Highway Administration Bureau, Wenzhou 325000,China)

The golden section method is an important application of the Fibonacci sequence, with beautiful Proportional, artistry and harmony, contains rich aesthetic value, reveals the nature of the laws of science. To generalized N-order Fibonacci sequence to deduce the N th-order golden section, which second-order gold section and filling theory of mixtures dense gradation in terms of the principle is the same, to common combination ratio of cement concrete, cement gradation macadam and bituminous concrete mixture with specific examples and second-order gold section are in good agreement, with a view to the second-order gold section principle found the optimal ratio of cement concrete, cement gradation macadam and Bituminous concrete mixture or by golden section method for fast or reduced with than the number of trials and effectively improve the quality of the mixtures material structure engineering.

N-order Fibonacci Sequence；golden section；mixtures ratio

2016-05-04

周琪(1981-)，男，浙江溫州人，高級(jí)工程師，工程碩士，E-mail：expway9@sina.com。

O15；U214.18

A doi：10.3969/j.issn.1671-234X.2016.02.006

1671-234X(2016)02-0024-05